誤差傳播定律02課件

§5.3誤差傳播定律

在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關系計算出來，這時函數(shù)中誤差與觀測值中誤差必定有一定的關系。闡述這種關系的定律稱為誤差傳播定律。

倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)函數(shù)形式§5.3誤差傳播定律倍數(shù)函數(shù)函數(shù)形式1 在實際測量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測到的，而是間接觀測到的，即觀測其它未知量，并通過一定的函數(shù)關系間接計算求得的。非線性函數(shù) 表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。例如：h=a-b線性函數(shù)

誤差傳播定律： 在實際測量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測到的，而是間2設非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨立觀測值；為獨立觀測值的中誤差。

求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)設非線性函數(shù)的一般式為：一、一般函數(shù)3函數(shù)的真誤差和獨立觀測值的真誤差之間的關系式。函數(shù)的真誤差和獨立觀測值的真誤差之間的關系式。4假如對各獨立觀測值觀測了n次，則可列出n個真誤差關系式：………………假如對各獨立觀測值觀測了n次，則可列出n個真誤差關系式：……5以上等式兩邊平方后相加：對n個式取總和：以上等式兩邊平方后相加：對n個式取總和：6上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項為0，則：<<前面各項上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項為07所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關系式：考慮所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關系式：考慮8求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關系式，對函數(shù)進行全微分：3、寫出中誤差的關系式：1、列出獨立觀測值的函數(shù)式：求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關系式，對函數(shù)進9[例]已知：測量斜邊D′=50.00±0.05m，測得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D解：1.函數(shù)式2.全微分3.求中誤差

[例]已知：測量斜邊D′=50.00±0.05m，測得傾角α101.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點間長度=168.5mm0.2mm,計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差例：量得地形112.線性函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設有某線性函數(shù)其中、、分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對上式全微分：由中誤差式得：2.線性函數(shù)的中誤差設有函數(shù)式例：設有某線性函12

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術平均值的中誤差式

由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。函數(shù)式3.算術平均值的中誤差式由于等精度觀134.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當?shù)染扔^測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

4.和或差函數(shù)的中誤差函數(shù)式：當?shù)染扔^測時：例：測定A14觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術平均值

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總15例1：測得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，求周長及周長中誤差。返回例1：測得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，16

▓

觀測值的算術平均值(最或是值)▓用觀測值的改正數(shù)v計算觀測值的中誤差(即:白塞爾公式)▓算術平均值的相對中誤差

第四節(jié)等（同）精度直接觀測平差▓觀測值的算術平均值(最或是值)第四節(jié)等（同）精度17一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術平均值為該量的最或是值：

設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L=一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)證明算術平18當觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術平均值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。L≈X當觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當觀測次數(shù)無限多時，觀19精度評定比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的部分是相等的，即在與中：精度評定——用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：精度評定比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的即在20證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內相等對上式取n項的平21證明兩式根號內相等中誤差定義:白塞爾公式:證明兩式根號內相等中誤差白塞爾22解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數(shù)V計算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表，求其算術平均值及觀測值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測值VVV備注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數(shù)V計例：對某水平23

例5-2某一段距離共丈量了六次，結果如表下所示，求算術平均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。測次

觀測值/m觀測值改正數(shù)v/mmvv

計算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046返回例5-2某一段距離共丈量了六次，結果如24第五節(jié)誤差傳播定律的應用用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？

?=(1+2+3)-180解：由題意：最大閉合差即2m=15,則m=7.5每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：第五節(jié)誤差傳播定律的應用用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形25誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(1)測量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度26誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(2)測量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度27作業(yè):1．用20m鋼尺進行距離丈量，已知一整尺段之中誤差為±0.005m，今用該尺測量直線AB，其D往=99.972m，D返=99.988m，求其平均距離D之中誤差。2．用J2經(jīng)緯儀對一個角測量了6個測回，其結果為：53°49′15″（11″，22″，16″，18″，14″），求算術平均值、觀測值的中誤差和算術平均值的中誤差。3．在等精度觀測中，對一個角度測了4個測回，得其平均值之中誤差為±15″，若使平均值中誤差小于±10″，則至少應觀測多少個測回？4.設有函數(shù)Z=L*cosA式中L=121.11m±0.06mm,A=78°49′18″±20.5

″,試求Z的中誤差.作業(yè):1．用20m鋼尺進行距離丈量，已知一整尺段之中誤差為±28§5.3誤差傳播定律

在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關系計算出來，這時函數(shù)中誤差與觀測值中誤差必定有一定的關系。闡述這種關系的定律稱為誤差傳播定律。

倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)函數(shù)形式§5.3誤差傳播定律倍數(shù)函數(shù)函數(shù)形式29 在實際測量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測到的，而是間接觀測到的，即觀測其它未知量，并通過一定的函數(shù)關系間接計算求得的。非線性函數(shù) 表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。例如：h=a-b線性函數(shù)

誤差傳播定律： 在實際測量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測到的，而是間30設非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨立觀測值；為獨立觀測值的中誤差。

求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)設非線性函數(shù)的一般式為：一、一般函數(shù)31函數(shù)的真誤差和獨立觀測值的真誤差之間的關系式。函數(shù)的真誤差和獨立觀測值的真誤差之間的關系式。32假如對各獨立觀測值觀測了n次，則可列出n個真誤差關系式：………………假如對各獨立觀測值觀測了n次，則可列出n個真誤差關系式：……33以上等式兩邊平方后相加：對n個式取總和：以上等式兩邊平方后相加：對n個式取總和：34上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項為0，則：<<前面各項上式兩邊除以n，得式：由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項為035所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關系式：考慮所以并根據(jù)中誤差公式即代入上式，得中誤差關系式：考慮36求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關系式，對函數(shù)進行全微分：3、寫出中誤差的關系式：1、列出獨立觀測值的函數(shù)式：求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟：2、寫出真誤差關系式，對函數(shù)進37[例]已知：測量斜邊D′=50.00±0.05m，測得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D解：1.函數(shù)式2.全微分3.求中誤差

[例]已知：測量斜邊D′=50.00±0.05m，測得傾角α381.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點間長度=168.5mm0.2mm,計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差例：量得地形392.線性函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設有某線性函數(shù)其中、、分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對上式全微分：由中誤差式得：2.線性函數(shù)的中誤差設有函數(shù)式例：設有某線性函40

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術平均值的中誤差式

由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。函數(shù)式3.算術平均值的中誤差式由于等精度觀414.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當?shù)染扔^測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

4.和或差函數(shù)的中誤差函數(shù)式：當?shù)染扔^測時：例：測定A42觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術平均值

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總43例1：測得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，求周長及周長中誤差。返回例1：測得圓形半徑r＝1.465m，已知中誤差m＝±2mm，44

▓

觀測值的算術平均值(最或是值)▓用觀測值的改正數(shù)v計算觀測值的中誤差(即:白塞爾公式)▓算術平均值的相對中誤差

第四節(jié)等（同）精度直接觀測平差▓觀測值的算術平均值(最或是值)第四節(jié)等（同）精度45一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術平均值為該量的最或是值：

設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L=一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)證明算術平46當觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術平均值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。L≈X當觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當觀測次數(shù)無限多時，觀47精度評定比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的部分是相等的，即在與中：精度評定——用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：精度評定比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的即在48證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內相等對上式取n項的平49證明兩式根號內相等中誤差定義:白塞爾公式:證明兩式根號內相等中誤差白塞爾50解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數(shù)V計算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表，求其算術平均值及觀測值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測值VVV備注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數(shù)V計例：對某水平51

例5-2某一段距離共丈量了六次，結果如表下所示，求算術平均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。測次

觀測值/m觀測值改正數(shù)v/mmvv

計算123456平均148.643148.590