3.1基本不等式和最大值最小值市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

3.3（1）

基本不等式（2）基本不等式最大值與最小值第1頁對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,(x-y)2≥0總是成立,即x2

-2xy+y2

≥0所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立

假如a,b都是正數(shù)，那么,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.設(shè)則由這個(gè)不等式可得出以下結(jié)論:一.基本不等式第2頁注意：1．這個(gè)定理適用范圍：2．語言表述：兩個(gè)正數(shù)算術(shù)平均數(shù)大于它們幾何平均數(shù)。上述不等式稱為基本不等式,其中稱為a,b算術(shù)平均數(shù),稱為a,b幾何平均數(shù).第3頁對(duì)基本不等式幾何解釋:以a+b為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，過C作弦DEAB,則從而,而半徑當(dāng)且僅當(dāng)C與O重合,即a=b時(shí)等號(hào)成立ADBEOCab第4頁其中正確推導(dǎo)為(

)A．①②

B．②③C．③④

D．①④例1第5頁例2已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.≥2；第6頁1．不等式m2＋1≥2m中等號(hào)成立條件是(

)A．m＝1

B．m＝±1C．m＝－1 D．m＝02．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，則(

)A．a(chǎn)b≤4 B．a(chǎn)b≥4C．a(chǎn)b≤1 D．a(chǎn)b≥1練習(xí)第7頁第8頁第9頁

已知兩個(gè)正數(shù)x，y，求x+y與積xy最值.(1)xy為定值p，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x+y有最小值_____；(2)x+y為定值s，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值_____

.積定和小和定積大二.基本不等式最大值與最小值第10頁例3.以下函數(shù)中，最小值為2有那些?

(1)(2)(3)(4)(5)(6)第11頁變式.已知證實(shí)：例4.設(shè)x,y為正實(shí)數(shù)，且2x+5y=20，求最大值.想一想:錯(cuò)在哪里？例5.已知函數(shù)，求函數(shù)最小值和此時(shí)x取值．利用均值不等式過程中，忽略了“正數(shù)”這個(gè)條件．第12頁1．已知函數(shù)，求函數(shù)最小值．用均值不等式求最值，必須滿足“定值”這個(gè)條件．練習(xí)第13頁用均值不等式求最值,必須注意“相等”條件.假如取等條件不成立,則不能取到該最值，那么用什么方法求最小值第14頁正：兩項(xiàng)必須都是正數(shù)；

定：求兩項(xiàng)和最小值，它們積應(yīng)為定值；求兩項(xiàng)積最大值，它們和應(yīng)為定值。等：等號(hào)成立條件必須存在.

注意:在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，應(yīng)把握三點(diǎn)：“一正、二定、三相等、四最值”.當(dāng)條件不完全具備時(shí)，應(yīng)創(chuàng)造條件.第15頁例4：設(shè)a,b均為正數(shù),證實(shí)不等式:注：變換形式再證第16頁對(duì)這一不等式幾何解釋:以a+b為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，過C作弦DD’AB,過C作CEOD于E,則在Rt△OCD中,由射影定理可知,即

A

BD’D

Cab由DC≥DE,得當(dāng)且僅當(dāng)C與O重合,即a=b時(shí),等號(hào)成立OE第17頁例5：設(shè)a,b均為正數(shù),證實(shí)不等式:對(duì)這一不等式幾何解釋:書本p89思索交流注：1.采取放縮法證實(shí)，證實(shí)思想很主要。2.在放縮時(shí)不能過分放縮，也不能放縮不足第18頁2.了解四個(gè)“平均數(shù)”大小關(guān)系；a，b∈R+，則

其中當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).三.基本不等式鏈調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)或平方平均數(shù)第19頁(1)已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求xy最大值.方法1:基本不等式法方法2:減元結(jié)構(gòu)函數(shù)結(jié)構(gòu)法下面請(qǐng)大家來研究以下幾個(gè)問題:第20頁

(3)．y=2x,(0<x<1),求y最大值(4)．已知a、b是正數(shù)，且a2+=1，求a最大值.(2)已知a、b是實(shí)數(shù)，且a+b=4,求2a+2b最小值當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),2a+2b取得最小值8.第21頁1變形:函數(shù)最小值是＿＿＿．(4)．已知，則函數(shù)

最大值是＿＿．第22頁練習(xí):求函數(shù)最大值；第23頁用代換法結(jié)構(gòu)基本不等式第24頁方法1方法2第25頁解題心得:根式問題能夠平方轉(zhuǎn)化.注意一題多解.方法1:利用基本不等式根式:利用平方轉(zhuǎn)化方法2:求二次函數(shù)定區(qū)間上最值第