二維連續(xù)型隨機(jī)變量和其概率密度市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第1頁(yè)§3二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量（）聯(lián)合分布則稱(chēng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 聯(lián)合概率密度或概率密度．與一維隨機(jī)變量類(lèi)似，對(duì)于二維隨機(jī)變量,若存在定義域?yàn)檎麄€(gè)平面上非負(fù)函數(shù),使分布函數(shù)可表為： （3.1）第2頁(yè)按定義，概率密度含有以下性質(zhì)

(3)設(shè)是平面上區(qū)域，點(diǎn)落在內(nèi)概率為

(4)若在點(diǎn)連續(xù)，則有(1)(2)第3頁(yè)由性質(zhì)（4）和（1.1），如圖3-3，在連續(xù)點(diǎn)處有第4頁(yè)這表示若在點(diǎn)連續(xù)，則當(dāng)很小時(shí),即落在小長(zhǎng)方形內(nèi)概率近似地等于 幾何上表示空間一個(gè)曲面．由性質(zhì)（2）知，介于它和平面空間區(qū)域體積為1．由性質(zhì)（3），值等于以為底，以

為頂面曲頂柱體體積．（如圖3-4）第5頁(yè)例1若二維隨機(jī)變量含有概率密度

其中為區(qū)域面積，則稱(chēng)服從區(qū)域上均勻分布．尤其地，設(shè)在以圓點(diǎn)為中心、為半徑圓域上服從均勻分布，求二維聯(lián)合概率密度.解：第6頁(yè)解當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),其中為常數(shù)．由密度函數(shù)性質(zhì)得所以由此得二維聯(lián)合概率密度為第7頁(yè)例2設(shè)二維隨機(jī)變量含有概率密度

(1)求分布函數(shù)(2)求概率.解：第8頁(yè)解(2)將看作平面上隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)．即有,其中為平面上直線(xiàn)

及其下方部分，如圖3-5．于是（1）即有第9頁(yè)例3二維隨機(jī)變量聯(lián)合密度為

求(1)系數(shù);

(2)隨機(jī)變量落在圓

內(nèi)概率解：第10頁(yè)解

（1）由得

用極坐標(biāo)有：

（2）第11頁(yè)二、

二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布與二維離散型隨機(jī)變量類(lèi)似，在等式中，令得連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)由此得隨機(jī)變量邊緣概率密度函數(shù)

(3.2)同理可得隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù) （3.3）邊緣概率密度函數(shù) （3.4）第12頁(yè)例4設(shè)二維隨機(jī)變量在以圓點(diǎn)為中心、為半徑圓域上服從均勻分布，求及邊緣概率密度.解：第13頁(yè)在上面例1中，我們已經(jīng)求出二維聯(lián)合概率密度所以，按公式（3.2）得邊緣概率密度為同理可得邊緣概率密度為這里值得注意是，二維隨機(jī)變量在圓域上服從均勻分布，不過(guò)它們邊緣分布都不是均勻分布.第14頁(yè)例5設(shè)二維隨機(jī)變量概率密度函數(shù)為

求邊緣概率密度.解：第15頁(yè)解對(duì)任意當(dāng)或時(shí),對(duì)任意可知邊緣概率密度為：第16頁(yè)其中，其中都是常數(shù)，且.我們稱(chēng)為服從參數(shù)為二維正態(tài)分布（這五個(gè)參數(shù)意義將在下一章說(shuō)明），記為試求二維正態(tài)隨機(jī)變量邊緣概率密度.例6設(shè)二維隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度為解：第17頁(yè)解

于是：因?yàn)榈?8頁(yè)（令

對(duì)微分,看作常數(shù),從而，）同理第19頁(yè)我們看到二維正態(tài)分布兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，而且都不依賴(lài)于參數(shù)，亦即對(duì)于給定不一樣對(duì)應(yīng)不一樣二維正態(tài)分布，它們邊緣分布卻都是一樣.這一事實(shí)表明，僅由關(guān)于和關(guān)于邊緣分布，普通來(lái)說(shuō)是不能確定隨機(jī)變量和聯(lián)合分布.第20頁(yè)三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量條件分布設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度為怎樣要求這分布在條件下概率分布呢？因?yàn)檫@時(shí)服從連續(xù)型分布，所以不能直接利用乘法公式來(lái)定義條件分布.

對(duì)二維離散型隨機(jī)變量,設(shè),在隨機(jī)變量取得可能值條件下，隨機(jī)變量取它任一可能值條件概率由上述隨機(jī)事件條件概率公式可得：第21頁(yè)這就啟發(fā)我們，對(duì)于二維連續(xù)型分布，要求在條件下條件分布為以下連續(xù)型分布：定義設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度為關(guān)于邊緣密度為.若對(duì)于固定，則稱(chēng)為在條件下條件概率密度，記為

(3.5)稱(chēng)

為在條件下條件分布函數(shù)，第22頁(yè)記為或即顯然，條件概率密度滿(mǎn)足條件：（1）（2）第23頁(yè)類(lèi)似地，要求在條件下條件分布為一個(gè)連續(xù)型分布，它概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

這里為關(guān)于邊緣密度.(3.6)第24頁(yè)例7隨機(jī)變量在矩形域服從均勻分布，求及條件概率密度.解：第25頁(yè)解按題意含有聯(lián)合概率密度對(duì)于任意給定值，在條件下，

條件概率密度為對(duì)于任意給定值，在條件下，

條件概率密度為即均服從均勻分布.第26頁(yè)例8設(shè)二維隨機(jī)變量在以圓點(diǎn)為中心、為半徑圓域上服從均勻分布，分別求關(guān)于及條件概率密度.解：第27頁(yè)解我們有當(dāng)時(shí)：，

當(dāng)時(shí)：.

其中c為常數(shù).

得邊緣概率密度為由前面例5得二維聯(lián)合概率密度為第28頁(yè)同理得邊緣概率密度為所以按式（3.5）及（3.6）即得條件概率密度及條件概率密度由此可見(jiàn)，在條件下條件概率密度或者在條件下條件概率密度都是均勻分布.第29頁(yè)四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立性定義：設(shè)及，分別是二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù).若對(duì)全部有即

（3.7）則稱(chēng)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立.上面（3.7）式兩邊分別對(duì)和各微分一次，即得（3.8）從而，隨機(jī)變量是相互獨(dú)立充分必要條件為（3.8）幾乎處處成立.此處“幾乎處處成立”含義是：在平面上除去“面積”為零集合外處處成立.第30頁(yè)例9設(shè)二維隨機(jī)變量在上服從均勻分布，問(wèn)與是否相互獨(dú)立？例10設(shè)二維隨機(jī)變量含有概率密度

問(wèn)隨機(jī)變量和是否相互獨(dú)立？解：解：第31頁(yè)解易求得含有概率密度：

又得邊緣概率密度為實(shí)際上,如服從區(qū)域上均勻分布，則只有當(dāng)為矩形區(qū)域： 時(shí)，與分別服從上均勻分布，且與獨(dú)立，反之亦然.得邊緣概率密度為可見(jiàn),故隨機(jī)變量和不是獨(dú)立.第32頁(yè)解故有，因而隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立.第33頁(yè)例11二維正態(tài)隨機(jī)變量概率密度為

求證相互獨(dú)立等價(jià)于.解：第34頁(yè)證僅證實(shí)二維正態(tài)分布特殊情形，它概率密度為),.(121),()2()1(212222+￥<<-￥+￥<<-￥-=+---yxeyxfyxyxrrrp設(shè).這時(shí)概率密度為：第35頁(yè)作代換便得關(guān)于邊緣概率密度為即分布為同理可得關(guān)于邊緣概率密度為即分布也為第36頁(yè)所以，假如，則對(duì)于全部有，因而隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立.反之，假如隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，因?yàn)? 都是連續(xù)函數(shù)，故對(duì)于全部有令，這等式化成，從而.總而言之，得到以下結(jié)論：反之，即第37頁(yè)二維正態(tài)隨機(jī)變量，和相互獨(dú)立充分必要條件為.我們指出，假如隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則任一變量條件概率密度等于其邊緣概率密度.實(shí)際上，這時(shí)我們有第38頁(yè)以上所述關(guān)于二維隨機(jī)變量一些概念，輕易推廣到維隨機(jī)變量情況.上面說(shuō)過(guò)，對(duì)個(gè)實(shí)數(shù),元函數(shù)稱(chēng)為維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)或簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)，它也含有類(lèi)似于二維隨機(jī)變量分布函數(shù)性質(zhì).第39頁(yè)若存在非負(fù)函數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù)有則稱(chēng)為概率密度函數(shù).設(shè)分布函數(shù)為已知，則

維邊緣分布函數(shù)就隨之確定.第40頁(yè)比如關(guān)于、關(guān)于邊緣分布函數(shù)分別為第41頁(yè)又若為概率密度函數(shù).則