幾何迭代法及其應(yīng)用

相關(guān)工作

幾何迭代算法的基本過程

插值型幾何迭代算法近型幾何迭代算法

幾何迭代方法的應(yīng)用07:55:11207:55:113相關(guān)工作相關(guān)工作

PIA:

Progressive

iteration

approximation(漸近迭代

近)→Geometric

iteration

method(幾何迭代法)

Hongwei

Lin,

Hujun

Bao,

Guojin

Wang.Totally

Positive

Bases

and

ProgressiveIteration

Approximation.

Computersand

Mathematics

with

Applications,50(3-4),

575-586,

2005.4.07:55:114相關(guān)工作07:55:115相關(guān)工作?等,數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)1975藺宏偉,王國(guó)瑾,

(2004)證明了非均勻三次B樣條曲線、曲面同樣具有迭代插值性質(zhì)，并且(2005)發(fā)現(xiàn)有歸一化全正基的混合曲線、曲面都有性質(zhì);Lin

H.

et.al.

Science

in

China

2004

,

Lin

H.

et.

al.

CMA,

2005Profit

and

lossmodificationHongwei

Lin,

Guojin

Wang,

Chenshi

Dong.

Constructing

Iterative

-Uniform

B-splineCurve

and

Surface

to

Fit

Data

Points.

SCIENCE

IN

CHINA,

Series

F,

47(3),

315-331,

2004.3Hongwei

Lin,

Hujun

Bao,

Guojin

Wang.

Totally

Positive

Bases

and

Progressive

Iterationputers

and

Mathematics

with

Applications,

50(3-4),

575-586,

2005.4.(SCI/EI)等(1975)以及deBoor(1979)分別發(fā)現(xiàn)了三次均勻樣條曲線的迭代插值性質(zhì)，齊先生稱其為盈虧修正;《分形》07:55:116相關(guān)工作等(1975)以及de

Boor(1979)分別發(fā)現(xiàn)了3次均勻B-spline的盈虧修正性質(zhì)

藺宏偉,

王國(guó)瑾, (2004)證明非均勻三次B樣條曲線曲面的盈虧修正性質(zhì)Lin

H.

et.

al.

Science

in

China,

2004

藺宏偉等（2005）年提出PIA:Progressive

iteration

approximationLin

H.

et.

al.

Computers

and

Mathematics

with

Applications,

2015

史利民和

(2006)證明了有理B樣條曲線、曲面同樣具有該性質(zhì);史利民等，數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2006

藺宏偉(2010)證明了混合曲線、曲面的局部性質(zhì);Lin

H.

CAGD2010和王國(guó)瑾(2011)證明了具有均勻參數(shù)的三角Bernstein-Bezier曲面具有PIA性質(zhì);Shen

J.

et.

al.

CAD

2011SPIA)

藺宏偉等(2011)提出了 近型的PIA算法,

稱為EPIA.Lin

H.

et

al.

Computers

&

Graphics

2011

鄧重陽(yáng)和藺宏偉(2013)設(shè)計(jì)了迭代極限是最小二乘解的PIA算Deng

and

Lin,CAD

201407:55:117相關(guān)工作

Delgado

J.等(2007)通過研究比較不同基函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了具有最快收斂速度的基函數(shù);Delgado

J.

et.al.

CAGD

2007

Lu

L.(2010)提出了

PIA算法，加快了收斂速度;Lu

L.

CAGD

2010

Frank(Fuhua)Cheng(2008)等人將算法推廣至Doo-Sabin和Loop細(xì)分曲面擬合，稱為Progressive

Interpolation

(PI)算法;Cheng

F.

et.

al.

GMP'08,

JCST

2009

Zhongxian

Chen等人證明了Catmull-Clark細(xì)分曲面的PI擬合算法的收斂性。Chen

Z.

et.

al.

PG

200807:55:118相關(guān)工作自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合

CAGD

2012大規(guī)模數(shù)據(jù)擬合SIAM

Journal

on

Scientific

Computing,

2013有質(zhì)量保持的六面體網(wǎng)格生成算法

CAD

2015基于幾何迭代的降階

近,

多項(xiàng)式

近,

及等距曲線生成JCAM

2011,

AMC

2013插值給定位置,切向量,和曲率向量的幾何迭代算法IEEE

TVCG

2012基于幾何迭代的B樣條曲面求交算法

IEEE

TVCG

2014保證拓?fù)湔_的B樣條曲面重建

CAD

2012基于幾何迭代的噪聲去除與對(duì)稱曲面生成

CAD

2012基于幾何迭代的B樣條體生成方法

CAGD

201507:55:11907:55:1110幾何迭代方法的基本過程插值算法07:55:1111近算法

兩種差向量：

Difference

vectorfordata

point

Difference

vectorforcontrol

point

兩個(gè)過程

Vector

distribution

Vect

athering07:55:111207:55:1113插值型幾何迭代算法07:55:1114混合曲線的迭代格式及收斂性????0

??

=

??0????

??給定初始點(diǎn)列*??0,??1,?,????+賦予遞增參數(shù)列??0

<??1

<?<????構(gòu)造初始混合曲線：????=0??其中,??0

=

????, ????

??

,

??

=

0,1,

?

,

??為基函數(shù).07:55:1115全正基混合曲線的迭代格式及收斂性????

??

=

????????

????混合曲線的PIA迭代序列為:????=0?????1

+

?????1??

??=????

(??)??0其中,

????

??

,

??

=

0,1,

?

,

??為基函數(shù).差向量序列為:??????

=

????

?

????

????

,

??

=

0,1,

?

,

??

=

0,1,

?全正基混合曲線的迭代格式及收斂性07:55:1116記????

=????,

????,

?

,

????0

1

??,上述迭代格式的矩陣形式為：????+1=??

?

??

????,??0

??0??1

??0?????

??0??0

??1??1

??1?????

??1??????0(????)??1(????)?????(????)其中,??為單位矩陣,07:55:1117??

=稱為基函數(shù)*????

??,??=0,1,?,??+在參數(shù)列*????,??=0,1,?,??+上的配置矩陣.全正基混合曲線的迭代格式及收斂性全正基混合曲線的迭代格式及收斂性??如果????

??,??=0,1,?,??為歸一化全正基(Normalized

Totally

PositiveBasis),則它的配置矩陣??為全正矩陣，它的特征值????,??=0,1,?,??滿足,0

<

????

<

1,

??

=

0,1,

?

,

??.根據(jù)上述結(jié)果可知,??

??

?

?? =

max

1

?

????

<

107:55:1218于是*????+收斂到0向量,

從而迭代曲線序列插值于給定數(shù)據(jù)點(diǎn)列*????,

??

=

0,1,

?

,

??+Bernstein基,B-spline基都是歸一化全正基,所以Bezier曲線,B-spline曲線的PIA迭代格式都收斂??數(shù)據(jù)點(diǎn)取齊次形式:

????

= ????????,

????????,

????????,

????

,

????

=

(????,

????,

????)齊次形式下的迭代格式與前述混合曲線的迭代格式一樣齊次形式差向量取為:????

=????

?????(????)設(shè)第??次迭

成的有理曲線的齊次形式為:?? =

*????

??

????

??

,

????

??

+????等價(jià)于:??????

=??

????

??

??

(??)????=0??

??

??????????(??)????=0

????,

??

??

=????=0

??????????

(??).NURBS曲線的迭代格式和收斂性07:55:1219NURBS曲線的迭代格式和收斂性可以證明：有理曲線的齊次坐標(biāo)形式的迭代格式收斂,lim

????

????

=

????,

??

=

0,1,

?

,

??.??→∞歐式空間中的迭代曲線也收斂,有,lim

????(????)=????,并且,lim

????(????)=????,??=0,1,?,??.??→∞

??→∞07:55:1220全正基混合曲線的迭代格式及收斂性迭代0次07:55:1921迭代4次迭代15次全正基混合曲面的迭代格式及收斂性給定一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)列??????,??=0,1,?,??,??=0,1,?,??賦予每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)??????參數(shù)值????,

????

,

滿足:??0

<

??1

<

?

<

????,

??0

<

??1

<

?

<

????構(gòu)造初始混合曲面:??0??0

????

??

????

??

,07:55:1922????,

??

=????=0

??=0

????????其中,

??0

=

??????,??

=

0,1,

?

,

??,

??

=

0,1,

?

,

??全正基混合曲面的迭代格式及收斂性??????,

??

=????????

????

??

????

??????=0??混合曲面的PIA迭代序列為:????=0??=?????1

+

?????1????

????????

??

????(??)??=0??=0差向量序列為:????????=

??????

?

????

????

,

????

,

??

=

0,1,

?????將????

按下標(biāo)的字典序組織成一維數(shù)組:????

=????07:55:192300

01

0??

10

1??

??0,

????

,

?

,

????

,

????

,

?

,

????

,

?

,

????????,

?

,

????

.矩陣形式的迭代格式為:????+1

=??

?

??

????

= ??

?

?????

????其中,?為Kronecher積,??為??方向上的配置矩陣:??

=??0

??0???0(????)??1(??0)???1(????)?

????(??0)?

??

????(????)N為??方向上的配置矩陣:??0

??0??1(??0)?????(??0)??

=

??????0(????)??1(????)?????(????)全正基混合曲面的迭代格式和收斂性07:55:2024全正基混合曲面的迭代格式和收斂性設(shè)矩陣??,??的特征值分別為??

??,??(??),則Kronecher積矩陣?????的特征值為,??

????? =

??

??

??

??

.由于矩陣??,??都是歸一化全正矩陣,所以,0

≤

??

??

?

?? =

1

?

??

??

??

?? <

1,因此,具有全正基混合曲面的PIA迭代格式收斂.Bezier曲面,B-spline曲面的PIA迭代格式都是收斂的.07:55:2025全正基混合曲面的迭代格式和收斂性迭代0次07:55:2426迭代3次迭代15次三角B-B曲面的迭代格式及收斂性

當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值均勻排列時(shí)：?jiǎn)巫兞緽ernstein算子????:??

0,1→

??,0,1-:????1

?

??????

?????????????????

??

=????=0,????的特征值為:

??

=

??!

1?????

!

??!07:55:2427,

??

=

0,1,

?

,

??.三角B-B曲面的迭代格式及收斂性有??+1

??≥2

個(gè)變量的Bernstein算子????為:????????+1

=????1????1

?

??????

1?

?? ?

?

?????

1?????????(??1,?,????,?????1???????)??

??

??????=0

??

=????=0其中,??是一個(gè)有??+1個(gè)變量的函數(shù),并且,??

=

??1,

??2,

?

,

????

,

??

=??????

,????=

??!

.??1!??2!?????!

?????1???????

!算子????可以被對(duì)角化,且它的任一特征值必屬于單變量Bernstein算子????的特征值組成的集合,???????

!

??!07:55:2428????

=

??!

1

,

??

=

0,1,

?

,

??.

.07:55:2429三角B-B曲面的迭代格式及收斂性三角B-B曲面的PIA迭代格式的迭代矩陣為?????,其中,??為單位矩陣,??為上述Bernstein算子對(duì)應(yīng)的矩陣由于Bernstein算子的特征值大于0,且小于等于1,根據(jù)算子與其對(duì)應(yīng)矩陣的關(guān)系,矩陣A的特征值也大于0且小于等于1所以,?????的譜半徑小于1,

從而均勻參數(shù)的三角B-B曲面的PIA迭代格式收斂.三角B-B曲面的迭代格式及收斂性

當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)值非均勻排列時(shí)：

已經(jīng)證明了四次及四次以下的三角B-B曲面的PIA迭代格式是收斂的;

一般情況下的收斂性，還沒有證明07:55:2430收斂速度假設(shè)N為迭代矩陣,線性迭代法的收斂速度有兩個(gè)指標(biāo)來衡量:k次迭代的平均收斂速度:??

??????=

?????????漸進(jìn)收斂速度:??

?? =

lim

??

??????→∞07:55:2431=

???????(??)在PIA迭代格式中,迭代矩陣為?????,所以收斂速度與?????的譜半徑有關(guān),譜半徑越小,收斂速度越快07:55:2432收斂速度如前所述,具有歸一化全正基的混合曲線曲面的PIA迭代格式都收斂如下三種基,B-spline基,Bernstein基,和Said-Ball基都是歸一化全正基,所以,這三種基函數(shù)生成的混合曲線曲面的PIA迭代格式都收斂在具有全正基的函數(shù)空間中,歸一化B基形成的混合曲線曲面的PIA迭代格式的收斂速度最快迭代加速---方法PIA迭代格式可以通過對(duì)差向量

來加速收斂:????+1

=

????

+

??????,

??

=

0,1,

?

,

??,

??

=

0,1,

?

;??

??

???迭代格式的矩陣形式為????+1=??

?

????

????,

??

=

0,1,

?

;當(dāng)??

=21+????????(??)時(shí),

迭代格式取得最大收斂速度.此時(shí),迭代矩陣的譜半徑為:??

??

?

????1+????????(??)=

1?????????(??).07:55:243307:55:2434幾何迭代方法的局部性質(zhì)Hongwei

Lin.

Local

progressive-iterative

approximation

format

for

blending

curvesand

patches.

Computer

Aided

Geometric

Design,

27(4),

322-339,

2010.幾何迭代方法的局部性質(zhì)PIA方法的局部性質(zhì):在迭代過程中,僅調(diào)整部分控制頂點(diǎn),則,極限曲線曲面僅插值給定數(shù)據(jù)的相應(yīng)子集幾何迭代算法的局部性質(zhì)將控制頂點(diǎn)分為兩部分,移動(dòng)控制頂點(diǎn)的指標(biāo)??∈*??0,??1,?,????+,固定控制頂點(diǎn)的指標(biāo)??∈*??0,??1,?????+僅調(diào)整移動(dòng)控制頂點(diǎn),記07:55:2636??????

= ????,

????

= ????

,

????

,

?

,

????

,

????

,

????

,

?

,

??????

??

??0

??1

??

??

??0

??1

????幾何迭代算法的局部性質(zhì)局部PIA迭代格式的矩陣形式為,????+1

=

??????,其中,??

=??

??10 ??

?

??2,??1,??2為配置矩陣,1?? =

???,2?? =

???????

??07:55:2637?

??????(??)?

??????????0

(??)????0????0

??????0????1

??????1????1

??????1??????.幾何迭代算法的局部性質(zhì)??如果上述矩陣??2非奇異,移動(dòng)控制頂點(diǎn)????,??∈*??0,??1,?,????+對(duì)應(yīng)的曲線上??→∞的點(diǎn)收斂于數(shù)據(jù)點(diǎn)????,即,lim

????(????)

=

????.??當(dāng)??→∞時(shí),相應(yīng)于固定控制頂點(diǎn)的差向量????收斂,極限為:??

??????

=

??0

+

????0,矩陣Λ可表示為,1Λ

=

??

???1????????,1

11???0

1???1,

?

,11???????,07:55:2638其中,??為??2的特征向量組成的矩陣.幾何迭代算法的局部性質(zhì)應(yīng)用局部PIA格式,3次B-spline曲線插值3個(gè)頂點(diǎn)(紅色)07:55:2639幾何迭代算法的局部性質(zhì)已經(jīng)證明,雙3次B-spline和NURBS曲面也具有局部PIA性質(zhì).07:55:2640幾何迭代方法的局部性質(zhì)局部性質(zhì)是幾何迭代方法的一大優(yōu)點(diǎn),有了局部性質(zhì),可以:分別控制每個(gè)點(diǎn)的擬合精度達(dá)到對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的自適應(yīng)擬合可以用來求解一類帶等式約束的優(yōu)化問題07:55:264107:55:2642細(xì)分曲面的幾何迭代算法細(xì)分曲面的幾何迭代算法細(xì)分曲面:從初始網(wǎng)格出發(fā),根據(jù)細(xì)分規(guī)則,生成光滑曲面.07:55:2643細(xì)分曲面的幾何迭代算法插值型細(xì)分曲面:例如,Butterfly細(xì)分曲面,改進(jìn)的Butterfly細(xì)分曲面,以及Kobbelt細(xì)分曲面優(yōu)點(diǎn):易于實(shí)現(xiàn),插值于初始控制網(wǎng)格頂點(diǎn)缺點(diǎn):對(duì)控制網(wǎng)格質(zhì)量較為敏感

近型細(xì)分曲面:例如,Loop細(xì)分曲面,Doo-Sabin細(xì)分曲面,Catmull-Clark細(xì)分曲面優(yōu)點(diǎn):生成曲面光順性較好缺點(diǎn):收縮較為明顯為了改善

近型細(xì)分曲面收縮的缺點(diǎn),

常常使其極限曲面插值給定數(shù)據(jù)點(diǎn)07:55:2644細(xì)分曲面的幾何迭代算法??設(shè)第k次的控制網(wǎng)格為????,控制網(wǎng)格頂點(diǎn)為??????

??,∞首先,計(jì)算對(duì)應(yīng)于控制頂點(diǎn)????在細(xì)分曲面上的極限位置??????

??

??,∞其次,計(jì)算差向量????

=??0

???????

??

??然后,計(jì)算新控制頂點(diǎn)位置????+1

=????

+????,從而得到新控制網(wǎng)格????+107:55:2645細(xì)分曲面的幾何迭代算法經(jīng)過上述幾何迭代過程產(chǎn)生的極限細(xì)分曲面插值于初始控制網(wǎng)格頂點(diǎn).07:55:2646細(xì)分曲面幾何迭代算法的局部性質(zhì)將控制頂點(diǎn)集合分成固定頂點(diǎn)集合與移動(dòng)頂點(diǎn)集合迭代過程僅針對(duì)移動(dòng)頂點(diǎn)集合提供一種形狀控制

,

可生成豐富的幾何形狀07:55:2647近型幾何迭代算法Hongwei

Lin,Zhiyu

Zhang.

An

extended

iterative

format

for

theprogressive-iterationputers

&

Graphics,

35(5),

967-975,

2011.Chong Deng,

Hongwei

Lin.Progressive

and

iterative

approximation

for

leastsquares

B-spline

curve

and

surface

fitting.

Computer-Aided

Design,

47(1),

32-44,2014.07:55:264807:55:2649EPIA:

Extended

Progressive-Iterative

ApproximationHongwei

Lin,

Zhiyu

Zhang.

An

extended

iterative

format

for

theprogressive-iterationapproximation.

Computers

&

Graphics,35(5),

967-975,

2011.基本思想數(shù)據(jù)點(diǎn)分組,每組對(duì)應(yīng)一個(gè)控制點(diǎn)兩種差向量：Difference

vector

for

data

point（DVD）Difference

vector

for

controlpoint

（DVC）兩個(gè)過程:Vector

distributionVect

athering??Vector

distribution:每個(gè)DVD乘以一個(gè)權(quán)因子????????,分配到它對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)上Vectathering:

所有分配到某個(gè)控制點(diǎn)的DVD取

平均，得到它的DVC??

??????????????

=

??

??

????07:55:2650EPIA的收斂性迭代矩陣??=?????,(當(dāng)權(quán)因子取1時(shí)),其中,??

=??0(????

)07:55:2651??

∈??0

0

00??

∈??0

0????(????

)??

∈??0

0

0

1??0

1??1??1∈??1

??0(????

1

)?

1??0

1??1

1??0

1??1??1∈??1

????(????

1

)?1????????0(????

)??

∈????

??1????????1(????

)??1∈??1???1(????

)

???1(????1)

?????

∈????

??1??????????(????

)??

∈????

??可以證明,??是歸一化全正矩陣因此,迭代矩陣??的譜半徑小于1,EPIA收斂EPIA:

近曲線插值某些點(diǎn)可以選擇插值某些點(diǎn)，使算法更靈活初始控制多邊形和初始曲線迭代10次最小二乘法生成的擬合曲線07:55:2652EPIA:擬合結(jié)果07:55:2653LSPIA:

Least-Squares

Progressive-Iterative

ApproximationChong Deng,

Hongwei

Lin.

Progressive

and

iterative

approximation

for

leastsquares

B-spline

curve

and

surface

fitting.

Computer-Aided

Design,

47(1),

32-44,

2014.07:55:2654LSPIA的迭代格式和收斂性??控制頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的差向量為：??????

=????

??????????

????LSPIA的迭代格式,

對(duì)應(yīng)

因子????

=????

????

,

也就是說,第??個(gè)控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基函數(shù)在第??個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值????處的取值07:55:2655LSPIA的迭代格式和收斂性1

2

??記:

Δ??

= Δ??,

Δ??,

?

,

Δ????,則LSPIA迭代格式的矩陣形式為:Δ??+1=??

?

Λ??????

Δk其中,??為單位矩陣,Λ

=

????????,1

1??∈??0

??0(????)

??∈??1

??1(????),

?

,1??∈????

????(????),??為配置矩陣,??

=??0(??0)??1(??0)?????(??0)??0(??1)??1(??1)?????

??1??????0(????)??1(????)?????(????)07:55:275607:55:2757LSPIA的迭代格式和收斂性如果矩陣A非奇異，那么，矩陣ΛATA是對(duì)稱正定矩陣并且它的無窮大范數(shù)小于等于1于是，矩陣ΛATA的特征值大于0小于等于1,

LSPIA迭代格式收斂LSPIA迭代的極限曲線曲面收斂到最小二乘擬合曲線曲面LSPIA:擬合結(jié)果初始控制點(diǎn)列取為：首末控制點(diǎn)與輸入點(diǎn)列首末點(diǎn)相同，其他控制點(diǎn)取為同一個(gè)點(diǎn)(100,1)07:55:2758細(xì)分曲面的近型幾何迭代算法07:55:275907:55:2760幾何迭代算法的應(yīng)用幾何迭代算法的應(yīng)用應(yīng)用于數(shù)據(jù)擬合領(lǐng)域:自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合大規(guī)模數(shù)據(jù)擬合應(yīng)用于網(wǎng)格生成領(lǐng)域:有質(zhì)量保證的平面四邊網(wǎng)格生成算法有質(zhì)量保持的六面體網(wǎng)格生成算法應(yīng)用于幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算領(lǐng)域:基于幾何迭代的降階

近,

多項(xiàng)式

近,

及等距曲線生成插值給定位置,切向量,和曲率向量的幾何迭代算法基于幾何迭代的B樣條曲面求交算法應(yīng)用于逆向工程領(lǐng)域:保證拓?fù)湔_的B樣條曲面重建基于幾何迭代的噪聲去除與對(duì)稱曲面生成基于幾何迭代的B樣條體生成方法07:55:276107:55:2762幾何迭代算法的應(yīng)用幾何迭代法應(yīng)用的基本思路：由于迭代法有了幾何意義，在迭代過程中，可以加入幾何約束，逐步改善運(yùn)算結(jié)果07:55:2763數(shù)據(jù)的自適應(yīng)擬合Hongwei

Lin.

Adaptive

Fitting

by

theProgressive-iterative

Approximation.

ComputerAidedGeometric

Design,

29(7),

463-473,

2012.自適應(yīng)的數(shù)據(jù)擬合技術(shù)基于局部性質(zhì)的自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合07:55:2764將數(shù)據(jù)點(diǎn)分為兩部分,活動(dòng)點(diǎn)和固定點(diǎn).活動(dòng)點(diǎn)為擬合精度未滿足要求的點(diǎn),固定點(diǎn)為擬合精度滿足要求的點(diǎn).只調(diào)整活動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn),固定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)不動(dòng).自適應(yīng)的數(shù)據(jù)擬合技術(shù)07:55:276507:55:2766大規(guī)模數(shù)據(jù)(圖像)擬合Hongwei

Lin,

Zhiyu

Zhang.

An

efficient

method

for

fittinglarge

data

sets

using

T-splines.

SIAM

Journal

on

Scientific

Computing,

35(6),

A3052-A3068,

2013.12.

.幾何迭代用于大規(guī)模圖像擬合T樣條擬合節(jié)點(diǎn)

方法PIA算法的并行實(shí)現(xiàn)（4核8線程）07:55:2767幾何迭代用于大規(guī)模圖像擬合迭代速度與未知量個(gè)數(shù)無關(guān)PIA算法易于并行實(shí)現(xiàn)07:55:2768幾何迭代用于大規(guī)模圖像擬合Yixin

Chen,Washington

University

in

St.Louis

（2013.12，

第一屆大數(shù)據(jù)學(xué)術(shù)會(huì)議，

）07:55:2769幾何迭代用于大規(guī)模圖像擬合

11747X5400RMS

error=3.73 time=318分鐘原始圖像07:55:2770從T-mesh中恢復(fù)的圖像大規(guī)模圖像擬合07:55:2771大規(guī)模圖像擬合原始圖像07:55:2772從T-mesh中恢復(fù)的圖像time=81分鐘Gauss-Seidel

1492分鐘Conjugate

Gradient

2193分鐘3674X2449RMS

=

5.88大規(guī)模圖像擬合07:55:2773大規(guī)模圖像擬合1680X1050 RMS

=

3.89time=30分鐘Gauss-Seidel

711分鐘Conjugate

Gradient

1327分鐘07:55:2774大規(guī)模圖像擬合1600X1200

RMS

=

2.07time=46分鐘07:55:2775大規(guī)模圖像擬合07:55:2776有洞數(shù)據(jù)的擬合07:55:2777有質(zhì)量保證的四邊網(wǎng)格和六面體網(wǎng)格生成算法78Hongwei

Lin,

Hongwei

Liao,

Chong Deng.

Filling

Triangular

Mesh

Model

withAll-Hex

Mesh

by

Volume

Subdivision

Fitting.

Technical

Report,TR-ZJUCAD-2012-002,UniversityHongwei

Lin,Sinan

Jin,Hongwei

Liao,

et

al.Quality

Guaranteed

All-Hex

MeshGeneration

by

a

Constrained

Volume

Iterative

Fitting

Algorithm

.

Computer-AidedDesign,

67-68,

107-117,

2015.Hongwei

Lin,

Qun

Jian,

Sinan

Jin.

Generating

quality

guaranteed

quadrilateral

mesh

onan

n0-7s:5i5d:2e7d

region

with

geometric

iterative

fitting.

Submitted有質(zhì)量保證的六面體網(wǎng)格模型生成算法比值大于零的網(wǎng)格，才是在有限元分析中,只有六面體網(wǎng)格頂點(diǎn)處有效網(wǎng)格，可以用于有限元計(jì)算.很多六面體生成算法,雖然可以生成質(zhì)量很好的六面體網(wǎng)格,但是不能從理論上保證生成的六面體網(wǎng)格頂點(diǎn)處的

比值都大于零.07:55:2779有質(zhì)量保證的六面體網(wǎng)格模型生成算法邊界四邊形網(wǎng)格擬合邊界網(wǎng)格頂點(diǎn)的移動(dòng)擴(kuò)散到 網(wǎng)格頂點(diǎn)頂點(diǎn)的移動(dòng)受限,保證生成的六面體網(wǎng)格頂點(diǎn)處的比值大于零07:55:2780有質(zhì)量保證的六面體網(wǎng)格生成算法Hongwei

Lin,

Hongwei

Liao,

Chong

Deng.

Filling

Triangular

Mesh

Model

with

All-Hex

Mesh

byVolume

Subdivision

Fitting.

Technical

Report,

TR-ZJUCAD-2012-002,

University07:55:2781有質(zhì)量保證的六面體網(wǎng)格模型生成算法Hongwei

Lin,

Sinan

Jin,Hongwei

Liao,

et

al.Quality

Guaranteed

All-Hex

MeshGeneration

by

a

Constrained

Volume

Iterative

Fitting

Algorithm

.

Computer-AidedDesign,

67-68,

107-117,

2015..07:55:2782有質(zhì)量保證的六面體網(wǎng)格生成算法

優(yōu)點(diǎn)：

算法簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)

自動(dòng)化程度高，人工交互少

從理論上保證生成

比值大于零的有效網(wǎng)格

缺點(diǎn)：

生成的六面體網(wǎng)格依賴于初始控制網(wǎng)格

生成的六面體網(wǎng)格中有極少數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)處的比值很小

對(duì)這些點(diǎn)的位置進(jìn)行輕微擾動(dòng)，再用Mesquite進(jìn)行優(yōu)化，可以顯著提高最小

比值07:55:2783有質(zhì)量保證的六面體網(wǎng)格生成算法生成的六面體網(wǎng)格中有極少數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)處的比值很小對(duì)這些點(diǎn)的位置進(jìn)行輕微擾動(dòng)，再用

Mesquite進(jìn)行優(yōu)化，可以顯著提高最小雅克比值07:55:2884有質(zhì)量保證的六面體網(wǎng)格生成算法Comparison

with

existing

method07:55:2885有質(zhì)量保證的四邊形網(wǎng)格生成算法07:55:2886有質(zhì)量保證的四邊形網(wǎng)格生成算法07:55:288707:55:2888幾何迭代方法插值位置，切向量和曲率向量S.

Okaniwa,A.

Nasri,

Hongwei

Lin,

A.Abbas,

Y.

Kineri,

T.

Maekawa.

Uniform

B-splineCurve

Interpolation

with

Prescribed

Tangent

and

Curvature

Vectors.

IEEETransactionson

Visualiza