(完整版)高三復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)專題

導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的基本知識1、導(dǎo)數(shù)的定義：2、導(dǎo)數(shù)的公式：=.（為常數(shù)）（）3、導(dǎo)數(shù)的運算法則：4、掌握兩個特殊函數(shù)（1）對勾函數(shù)（，）其圖像關(guān)于原點對稱（2）三次函數(shù)三次函數(shù)的圖像三次函數(shù)是關(guān)于M對稱的中心對稱圖導(dǎo)數(shù)的基本題型和方法1、、導(dǎo)數(shù)的意義：（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（2）導(dǎo)數(shù)的物理意義：2、、導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍。3、、函數(shù)的極值與最值：(1)求函數(shù)極值或最值；（2）由函數(shù)的極值或最值，求參數(shù)的值或參數(shù)的范圍。4、導(dǎo)數(shù)與不等式。通過研究函數(shù)的最值，進而證明不等式證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間A上成立是極值點方法一：構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間A上的最小值方法二：轉(zhuǎn)化為證明f(x)>g(x)在區(qū)間A恒成立,求參數(shù)取值范圍。構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間A上的最小值不等式f(x)>g(x)的解集為空集，求參數(shù)取值范圍。構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間A上的最小值不等式f(x)>g(x)的解集非空，求參數(shù)取值范圍。：構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間A上的最小值比較兩個代數(shù)式f(x)和g(x的大?。簶?gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間A上的最值，若最小值,解此不等式既得參數(shù)的范圍解此不等式既得參數(shù)的范圍解此不等式既得參數(shù)的范圍，則；若最大值，則5、討論討論函數(shù)f(x)零點（方程根）的個數(shù)：通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，畫出函數(shù)圖像，進而討論零點的個數(shù)三、習(xí)題精選：【例1】導(dǎo)數(shù)的意義(特別提醒利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率時要判斷點是否在已知的曲線上切點處的三個性質(zhì)）1、(2010·新課標全國)曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析：y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3－2＝1，∴切線方程為：y－0＝x－1，即y＝x－1.(A)2、（2012全國）曲線在點（1,1）處的切線方程為________【解析】∵，∴切線斜率為4，則切線方程為：.3、[2014·廣東]曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________．5x＋y＋2＝0[解析]∵y′＝－5ex，∴所求切線斜是k＝－5e0＝－5，∴切線方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.4、2014課標全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為0.則b=；分析：在第(1)問中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為f′(1)＝0，即可求出b的值；解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.由題設(shè)知f′(1)＝0，解得b＝1.5、(2011湖南)曲線y＝－在點M處的切線的斜率為()A．－B.C．－D.答案By′＝＝，故切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝＝，選B.6、[2014·江西]若曲線y＝xlnx上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________．(e，e)[解析]由題意知，y′＝lnx＋1，直線斜率為2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，令lnx＋1＝2，得x＝e，所以y＝elne＝e，所以P(e，e)．7、如果質(zhì)點A按規(guī)律s＝2t3(s的單位是m)運動，則在t＝3s時的瞬時速度為(C)A．6m/sB．18m/sC．54m/sD．81m/s解析：∵s′＝6t2，∴s′|t＝3＝54.8、已知曲線y=，則曲線過Q(1,0)點處的切線方程為9、若直線y＝3x＋1是曲線y＝x3－a的一條切線，求實數(shù)a=．解：設(shè)切點為P(x0，y0)，對y＝x3－a求導(dǎo)數(shù)得y′＝3x2，∴3x＝3，∴x0＝±1.當(dāng)x0＝1時，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)．又P(1,4)也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；當(dāng)x0＝－1時，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1，－2)．又P(－1，－2)也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.綜上可知，實數(shù)a的值為－3或1.10．[2014·江蘇]在平面直角坐標系xOy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數(shù))過點P(2，－5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是________．－3[解析]易知y′＝2ax－11、已知函數(shù)f(x)＝.根據(jù)題意有解得故a＋b＝－3.的圖象在點M(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0，則函數(shù)y＝f(x)=解：由函數(shù)f(x)的圖象在點M(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，f′(－1)＝－.∵f′(x)＝，∴即＝－.解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．所以所求的函數(shù)解析式是f(x)＝.12、（2010遼寧）已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是()(A)[0,)(B)（C）(D)解析：選D.，，即，13、設(shè)P為曲線C：y＝x2－x＋1上一點，曲線C在點P處的切線的斜率的范圍是[－1,3]，則點P縱坐標的取值范圍是________．解析：設(shè)P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.而g(a)＝a2－a＋1＝2＋，當(dāng)a＝時，g(a)min＝.a＝2時，g(a)max＝3，故P點縱坐標范圍是.【例2】函數(shù)的單調(diào)性1、（2014·湖北）函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．因為f(x)＝，所以f′(x)＝.當(dāng)f′(x)>0，即0<x<e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f′(x)<0，即x>e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)．2、設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)答案：x2則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為3．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函數(shù)，(B)∴f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3.4、(2014課標全國Ⅱ11)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)(D）解析：由f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即在x∈(1，＋∞)上恒成立．又當(dāng)x∈(1，＋∞)時，，故k≥1.故選D.5、(2014湖南)若0＜x1＜x2＜1，則(C)A．C．＞lnx2－lnx1B．＜lnx2－lnx1D．解析：設(shè)f(x)＝ex－lnx，則.當(dāng)x＞0且x趨近于0時，x·ex－1＜0；當(dāng)x＝1時，x·ex－1＞0，因此在(0,1)上必然存在x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，因此A，B不正確；設(shè)，當(dāng)0＜x＜1時，，所以g(x)在(0,1)上為減函數(shù)．所以g(x1)＞g(x2)，即，所以.故選C.6、若函數(shù)f(x)＝mx2＋lnx－2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：由題意可得：f′(x)＝2mx＋－2在(0，＋∞)上有f′(x)≥0恒成立，所以2mx＋－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≥－在(0，＋∞)上恒成立，設(shè)t(x)＝－＋＝－2＋1，只要求出t(x)在(0，＋∞)上的最大值即可．而當(dāng)＝1，即x＝1時，t(x)max＝1，所以2m≥1，即m≥.答案：7、已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0得ex≥a，當(dāng)a≤0時，有f′(x)＞0在R上恒成立；當(dāng)a＞0時，有x≥lna.綜上，當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)；當(dāng)a＞0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[lna，＋∞)．(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R時，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.故當(dāng)a≤0時，f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增．8、已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．解析：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則說明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0兩根在區(qū)間外，由此f′≤0，且f′≤0，由此可以解得a≥2.因此a的取值范圍是[2，＋∞)或用變量分離法9、【2012高考新課標文21】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=ex－ax－2求f(x)的單調(diào)區(qū)間【例3】函數(shù)的極值與最值1、函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2的極大值是2極小值是解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝22、(2014北京)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.，則f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值為解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0，得或.因為f(－2)＝－10，，，f(1)＝－1，所以f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值為.3、函數(shù)在上的值域是_______________，則f(x)的極小值為4、(2014陜西)設(shè)函數(shù)解析：，則，∴當(dāng)x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴x＝e時，f(x)取得極小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的極小值為2.5、已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么函數(shù)在[－2,2]上的最小值是(A)A．－37B．－29C．－5D．以上都不對解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時，f(x)＝m最大．∴m＝3，從而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值為－37.6、函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是(B)A．(0,3)B.C．(0，＋∞)D．(－∞，3)解析：令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±(a＞0，否則函數(shù)y為單調(diào)增函數(shù))．若函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有極小值，則＜1，∴0＜a＜.7、∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點，則(A)A．a(chǎn)＜－1B．a(chǎn)＞－1C．a(chǎn)＞－D．a(chǎn)＜－解析：由y′＝(ex＋ax)′＝ex＋a＝0得ex＝－a，即x＝ln(－a)＞0?－a＞1?a＜－1.8、y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)＝lnx－ax則a的值等于，當(dāng)x∈(－2,0)時，f(x)的最小值為1，(D)A.B.C.D．1解析：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在(0,2)上的最大值為－1，當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a＞，∴0＜＜2.令f′(x)＞0，則x＜，∴f(x)在上遞增；令f′(x)＜0，則x＞，∴f(x)在上遞減，∴f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，∴l(xiāng)n＝0，得a＝1.9、函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍．解：f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．當(dāng)1－a2≥0時，f′(x)≥0，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點；當(dāng)1－a2＜0時，f′(x)＝0有兩個根，x1＝a－，x2＝a＋＜3.②.由題意知，2＜a－＜3，①或2＜a＋①式無解，②式的解為＜a＜，因此a的取值范圍是.或用二次函數(shù)根的分布做此題10、（2013年福建）已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線(2)求函數(shù)在點處的切線平行于軸,求的值;的極值;【答案】解:(Ⅰ)由又曲線,得.在點處的切線平行于軸,得,即,解得.(Ⅱ),①當(dāng)②當(dāng)時,,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值.時,令,得,.,;,.所以故在上單調(diào)遞減,在處取得極小值,且極小值為上單調(diào)遞增,在,無極大值.綜上,當(dāng)時,函數(shù)無極小值;當(dāng),在處取得極小值,無極大值.11、(2014四川)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值；分析：(1)先利用求導(dǎo)求出g(x)的解析式，再求出其導(dǎo)函數(shù)g′(x)，根據(jù)a的不同取值分類討論g′(x)的符號變化，判斷其單調(diào)性，從而求其最值；解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(shù)(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.當(dāng)x∈[0,1]時，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；時，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；時，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0,1)．所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1]上單調(diào)遞增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.綜上所述，當(dāng)時，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；當(dāng)當(dāng)時，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；時，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.【例4】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點1、若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：由f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，且當(dāng)x＜－1時，f′(x)＞0；當(dāng)－1＜x＜1時，f′(x)＜0；當(dāng)x＞1時，f′(x)＞0.所以當(dāng)x＝－1時函數(shù)f(x)有極大值，當(dāng)x＝1時函數(shù)f(x)有極小值．要使函數(shù)f(x)有3個不同的零點，只需滿足解之得－2＜a＜2.（或轉(zhuǎn)換成兩個函數(shù)的圖像來做）2、(2014課標全國Ⅰ12)已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是A．(2，＋∞)(C)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)解析：當(dāng)a＝0時，f(x)＝－3x2＋1存在兩個零點，不合題意；當(dāng)a＞0時，f′(x)＝3ax2－6x＝，令f′(x)＝0，得x1＝0，，，所以f(x)在x＝0處取得極大值f(0)＝1，在要使f(x)有唯一的零點，需處取得極小值，但這時零點x0一定小于0，不合題意；當(dāng)a＜0時，f′(x)＝3ax2－6x＝，令f′(x)＝0，得x1＝0，，這時f(x)在x＝0處取得極大值f(0)＝1，在要使f(x)有唯一零點，應(yīng)滿足處取得極小值，，解得a＜－2(a＞2舍去)，且這時零點x0一定大于0，滿足題意，故a的取值范圍是(－∞，－2)．3、已知函數(shù)．判斷函數(shù)零點的個數(shù)；解：，其定義域是∴令當(dāng)，即時，，解得時，或．，∴舍去．；當(dāng)．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間取得最大值，其值為上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=1時，函數(shù)當(dāng)時，，即．∴函數(shù)只有一個零點．4、(2014陜西)設(shè)函數(shù)，m∈R.，討論函數(shù)零點的個數(shù)；解析：由題設(shè)令g(x)＝0，得設(shè)(x＞0)，(x＞0)，(x≥0)，則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，當(dāng)x∈(0,1)時，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∴x＝1是φ(x)的唯一極值點，且是極大值點，因此x＝1也是φ(x)的最大值點，∴φ(x)的最大值為.又φ(0)＝0，結(jié)合y＝φ(x)的圖像(如圖)，可知①當(dāng)②當(dāng)③當(dāng)時，函數(shù)g(x)無零點；時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；時，函數(shù)g(x)有兩個零點；④當(dāng)m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)g(x)無零點；當(dāng)當(dāng)或m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；時，函數(shù)g(x)有兩個零點．5、(2014北京)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍；解析：設(shè)過點P(1，t)的直線與曲線y＝f(x)相切于點(x0，y0)，則，且切線斜率為，所以切線方程為因此，．整理得，設(shè)g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，則“過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同零點”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．g(x)與g′(x)的情況如下：x(－∞，0)＋0(0,1)－1(1，＋∞)＋g′(x)g(x)0t＋30t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的極大值，g(1)＝t＋1是g(x)的極小值．當(dāng)g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時，此時g(x)在區(qū)間(－∞，1]和(1，＋∞)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點．當(dāng)g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1時，此時g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點．當(dāng)g(0)＞0，且g(1)＜0，即－3＜t＜－1時，因為g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分別在區(qū)間[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1個零點．由于g(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個零點．綜上可知，當(dāng)過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切時，t的取值范圍是(－3，－1)．【例5】導(dǎo)數(shù)與不等式1、已知函數(shù)f(x)＝x3－求c的取值范圍．x2＋bx＋c.若f(x)在x＝1時取得極值，且x∈[－1,2]時，f(x)＜c2恒成立，解：由題意，x＝1是方程3x2－x＋b＝0的一個根，設(shè)另一根為x0，則∴∴f(x)＝x3－x2－2x＋c，f′(x)＝3x2－x－2，當(dāng)x∈當(dāng)x∈時，f′(x)＞0；時，f′(x)＜0；x∈(1,2)時，f′(x)＞0；∴當(dāng)x＝－時，f(x)有極大值又f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，＋c，即當(dāng)x∈[－1,2]時，f(x)的最大值為f(2)＝2＋c，∵對x∈[－1,2]時，f(x)＜c2恒成立，∴c2＞2＋c，解得c＜－1或c＞2，故c的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞)．2、已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)與(1，＋∞)上是減函數(shù)，且f′＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范圍．解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)與(1，＋∞)上是減函數(shù)，可知x＝0和x＝1是f′(x)＝0的解，∴即解得∴f′(x)＝3ax2－3ax.又由f′＝，得f′＝－＝，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3＋3x2.或x≥1.(2)由f(x)≤x，得－2x3＋3x2≤x，即x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤又f(x)≤x在區(qū)間[0，m](m＞0)上恒成立，∴0＜m≤.3、當(dāng)lnx＜ax在(0，＋∞)上恒成立時，求a的取值范圍．解：設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．f′(x)＝－a.∵x＞0，所以當(dāng)a≤0時，f′(x)＝－a＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a≤0時，f(x)＝lnx－ax＜0在(0，＋∞)上不恒成立當(dāng)a＞0時，f(x)在故f(x)在上f′(x)＝－a＞0，f(x)在上f′(x)＝－a＜0，上是增函數(shù)，f(x)在上是減函數(shù)．f(x)在x＝處取得最大值ln－1，因此ln－1＜0，即a＞時，f(x)＜lnx－ax＜0在(0，＋∞)上恒成立，即lnx＜ax在(0，＋∞)上恒成立．所以當(dāng)lnx＜ax在(0，＋∞)上恒成立時，a的取值范圍為.4、設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的值為________．解析：若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立；當(dāng)x＞0，即x∈(0,1]時，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－.設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝，所以g(x)在區(qū)間因此g(x)max＝g上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，＝4，從而a≥4.當(dāng)x＜0，即x∈[－1,0)時，同理a≤g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，－.∴g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上可知a＝4.(或看做函數(shù)x來做)5、(2014遼寧，文12)當(dāng)x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(C)．A．[－5，－3]B．C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析：∵當(dāng)x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，即當(dāng)x∈[－2,1]時，不等式ax3≥x2－4x－3(*)恒成立．(1)當(dāng)x＝0時，a∈R.(2)當(dāng)0＜x≤1時，由(*)得恒成立．設(shè)，則.當(dāng)0＜x≤1時，x－9＜0，x＋1＞0，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增．當(dāng)0＜x≤1時，可知a≥f(x)max＝f(1)＝－6.(3)當(dāng)－2≤x＜0時，由(*)得.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝9(舍)．∴當(dāng)－2≤x＜－1時，f′(x)＜0，當(dāng)－1＜x＜0時，f′(x)＞0，∴f(x)在[－2，－1)上遞減，在(－1,0)上遞增．∴x∈[－2,0)時，f(x)min＝f(－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a≤f(x)min＝－2.綜上所述，當(dāng)x∈[－2,1]時，實數(shù)a的取值范圍為－6≤a≤－2.故選C.【例6】用導(dǎo)數(shù)比較大小設(shè)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）求的取值范圍，使得【分析】（1）先求出原函數(shù)＜對任意＞0成立．，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）對任意＞0成立的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題．【解】（1）由題設(shè)知當(dāng)∈（0，1）時，當(dāng)∈（1，+∞）時，，∴令0得=1，的單調(diào)減區(qū)間。的單調(diào)遞增區(qū)間，＜0，＞0，是減函數(shù)，故（0，1）是是增函數(shù)，故（1，+∞）是因此，=1是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值為(2)，設(shè)，則，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即（3）由（1）知的最小值為1，所以，，對任意是函數(shù)，成立即從而得?！纠?】函數(shù)的圖像1、已知函數(shù)的圖象如右下圖所示(其中的導(dǎo)函數(shù))，下面四個圖象中的圖象大致是(C）2、(2013浙江)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如右圖所示，則該函數(shù)的圖象是(B)．答案：解析：由導(dǎo)函數(shù)圖象知，函數(shù)f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)．當(dāng)x∈(－1,0)時f′(x)由小到大，則f(x)圖象的增長趨勢由緩到快，當(dāng)x∈(0,1)時f′(x)由大到小，則f(x)的圖象增長趨勢由快到緩，故選B.3、、若函數(shù)【A】的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是A．B．C．D．4、（08福建11）如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（A）答案A由圖形語言，不妨設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(－b，－a)和(0，a)上為增函數(shù)(b＞a＞0)．在(－a，0)和(a，b)上為減函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在(－b，－a)和(0，a)上有f′(x)＞0.在(－a，0)和(a，b)上有f′(x)＜0，∴函數(shù)y＝f′(x)的圖象在(－b，－a)上時在x軸上方，在(－a，0)上時在x軸下方，在(0，a)上時在x軸上方，在(a，b)上時在x軸下方．故選A.5、（08全國一2）汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是（A）答案A剛開始時，瞬時速度在變大，即曲線上對應(yīng)切線的斜率變大；加速行駛過程中，瞬時速度變大得更快；勻速行駛過程中，速度不變，即曲線上對應(yīng)切線的斜率不變；減速行駛過程中，瞬時速度在變小，即曲線上對應(yīng)切線的斜率變小，故選A.6、（浙江理8）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（D）【分析】：檢驗易知A、B、C均適合，D中不管哪個為均不成立。7、(2010·青島模擬)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的圖象如圖，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)極大值的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案：B8、設(shè)f(x)是一個三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是y＝x·f′(x)的圖象的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是A．f(1)與f(－1)C．f(2)與f(－2)(D)B．f(－1)與f(1)D．f(－2)與f(2)解析：由y＝x·f′(x)的圖象知±2是y＝f′(x)的兩個零點，設(shè)f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．當(dāng)x＞2時，xf′(x)＝ax(x－2)·(x＋2)＞0，∴a＞0.由f′(x)＝a(x－2)(x＋2)知f(－2)是極大值，f(2)是極小值，故選D.10、(2012重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是()答案C∵f(x)在x＝－2處取得極小值，∴在x＝－2附近的左側(cè)f′(x)<0，當(dāng)x<－2時，xf′(x)>0.在x＝－2附近的右側(cè)f′(x)>0，當(dāng)－2<x<0時，xf′(x)<0，故選C.11、(2011浙江)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)的圖象是()答案D設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則f′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]．因為x＝－1是F(x)的一個極值點，所以F′(－1)＝0，得出f′(－1)＋f(－1)＝0，在選項D中，由圖象觀察得到f(－1)＞0,f′(－1)＞0，所以f(－1)＋f′(－1)＞0與f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．故選D.12、(2012長春名校聯(lián)考，10，5分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A．f(b)>f(c)>f(d)C．f(c)>f(b)>f(a)B．f(b)>f(a)>f(e)D．f(c)>f(e)>f(d)答案C依題意得，當(dāng)x∈(－∞，c)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(c，e)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0.因此，函數(shù)f(x)在(－∞，c)上是增函數(shù)，在(c，e)上是減函數(shù)，在(e，＋∞)上是增函數(shù)，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，選C.【例8】綜合題1、已知函數(shù)（1）當(dāng)．時，判斷函數(shù)在區(qū)間零點的個數(shù)；（2）若函數(shù)解：（Ⅰ）當(dāng)上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．，其定義域是時，∴令當(dāng)，即，解得時，或．，∴舍去．時，；當(dāng)．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間取得最大值，其值為上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=1時，函數(shù)當(dāng)時，，即．∴函數(shù)只有一個零點．（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域為∴………8分1當(dāng)時，時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……9分2當(dāng)?shù)葍r于，即此時的單調(diào)遞減區(qū)間為．依題意，得解之得．綜上，實數(shù)的取值范圍是法二：①當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……9分②當(dāng)立，時，要使函數(shù)只要在區(qū)間上是減函數(shù)，只需時恒成立，在區(qū)間解得上恒成，且綜上，實數(shù)的取值范圍是2、設(shè)函數(shù).（1）若x＝（2）若時，取得極值，求的值；在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍.解：，（1）因為時，時，取得極值，所以，即故．此時是極大值點.（2）(1)當(dāng)?shù)亩x域為.方程的判別式,,即時，,在內(nèi)恒成立,此時為增函數(shù).(2)當(dāng),即或時，要使在定義域內(nèi)為增函數(shù),只需在內(nèi)有即可,設(shè)，由得,所以.由(1)(2)可知,若（或參變分離）3、已知函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，的取值范圍是.的圖像如圖所示。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)在處的切線方程為的解析式；，求函數(shù)，方程（Ⅲ）若有三個不同的根，求實數(shù)的取值范圍.解：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為(Ⅰ)如圖可知：函數(shù)（3分）的圖像過點（0，3），且得…………(Ⅱ)依題意所以且解得……（8分）（Ⅲ）依題意由①…………（9分）若方程有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足②……（10分）由①②得：所以當(dāng)時方程有三個不同的根…………（12分）4、已知函數(shù)（I）若，判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（II）若函數(shù)在內(nèi)存在極值，求實數(shù)m的取值范圍。解：（I）顯然函數(shù)定義域為（0，+）若m=1，由導(dǎo)數(shù)運算法則知令當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減。（II）由導(dǎo)數(shù)運算法則知，令當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減。故當(dāng)有極大值，根據(jù)題意5、已知函數(shù)（I）若曲線（II）求函數(shù)其中.在處的切線與直線平行，求的值；在區(qū)間上的最小值.解：，.（I）由題意可得，解得，此時，在點處的切線為，與直線平行.故所求值為1.（II）由①當(dāng)可得，在，時，時，上恒成立，所以在上遞增，所以在上的最小值為.②當(dāng)....................................8分＋－0極小在由上表可得在上的最小值為.......................................9分上遞減.③當(dāng)所以時，在上恒成立，所以在上的最小值為......................................11分綜上討論，可知：當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，時，在在在上的最小值為上的最小值為上的最小值為；；.…12分時，6、已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng).時，求函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.解：（Ⅰ）由題意可知，函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)在當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為上是單調(diào)函數(shù).上恒成立，即.……4分（Ⅱ）由題意可得，函數(shù)①若為上是單調(diào)增函數(shù)，則在在上恒成立，又在上單調(diào)遞減，，故.②若為上是單調(diào)減函數(shù)，則在上恒成立，不可能.綜上可知：的取值范圍為.……………12分7、已知函數(shù)在處取得極值。（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求證：對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有；（Ⅲ）若過點解：（Ⅰ）可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍。，依題意，，即，解得經(jīng)檢驗符合。（Ⅱ）當(dāng)時，，故在區(qū)間上為減函數(shù)，∵對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有（Ⅲ），∵曲線方程為，∴點不在曲線上，設(shè)切點為M(x0,y0)，則點M的坐標滿足。因，故切線的斜率為。，整理得∵過點A(1,m)可作曲線的三條切線，∴關(guān)于的方程有三個實根?！?分設(shè)由，則，，得或在上單調(diào)遞增，在（0,1）上單調(diào)遞減。∴函數(shù)的極值點為，…………11分∴關(guān)于方程有三個實根的充要條件是，解得故所求的實數(shù)a的取值范圍是8、已知函數(shù)……12分（）．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在在上的最的大值；（2）當(dāng)函數(shù)單調(diào)時，求