安徽省定遠(yuǎn)縣三中2023學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20203．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A． B．C． D．4．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn)，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．已知無窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤7．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要8．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．9．正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知x，y滿足不等式，且目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋}：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，12．設(shè)一個(gè)正三棱柱，每條棱長(zhǎng)都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（在線段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為.14．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15．已知函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，則在區(qū)間上的取值范圍為_______．16．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)；當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，若點(diǎn)恰好在圓上，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）第十三屆全國(guó)人大常委會(huì)第十一次會(huì)議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國(guó)家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識(shí)與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系，對(duì)某試點(diǎn)社區(qū)抽取戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表．分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)已知在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有關(guān)？說明你的理由；（2）已知在試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，隨機(jī)選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).（Ⅰ）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.（Ⅱ）求二面角的余弦值.21．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：.22．（10分）設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為______.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【題目詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、C【答案解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可．【題目詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【答案點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，掌握輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．3、C【答案解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，故選C．4、D【答案解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【題目詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.5、A【答案解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)，再求出，利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！绢}目詳解】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列的公比為2，則無窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A?！敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。6、A【答案解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【題目詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、A【答案解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【題目詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因?yàn)楹愠闪?，故可以推出且，若成立，?dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)楹愠闪?，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、D【答案解析】

對(duì)于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集；對(duì)于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【題目詳解】,,.故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.9、C【答案解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計(jì)算長(zhǎng)度，設(shè)球半徑為，則，解得，得到答案.【題目詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.10、B【答案解析】

作出可行域，對(duì)t進(jìn)行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值，即可求解.【題目詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時(shí)，可行域即為如圖中的△OAM，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z＝9x+6y在的交點(diǎn)（）處取得最大值，此時(shí)Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【答案點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.11、D【答案解析】

根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【答案解析】

由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識(shí)可得選項(xiàng).【題目詳解】由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，∴當(dāng)時(shí)，，故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識(shí)，得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由題意，可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2；體積為；兩個(gè)半球的半徑都為1，則兩個(gè)半球的體積為；則所求幾何體的體積為.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的組合體.14、【答案解析】

先求得與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，即方程有解.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為，因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以與的圖象有交點(diǎn)，方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解，即，的圖象有交點(diǎn)，是過定點(diǎn)的直線，其斜率為，若，則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn)，滿足題意；若，設(shè)，相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，切線斜率為，由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，，的圖象有交點(diǎn)，此時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱性，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).15、【答案解析】

先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可.【題目詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，，所?故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題，難度較難.對(duì)形如的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令，然后根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域，同時(shí)要注意新元的范圍.16、【答案解析】

連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進(jìn)而求出的取值范圍，可求得的范圍.【題目詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，設(shè)點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)殡S著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【答案解析】

(Ⅰ)時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值不等式的定義去掉絕對(duì)值，求不等式的解集即可；(Ⅱ)不等式的解集為，等價(jià)于，求出在的最小值即可．【題目詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式化為，解得，即時(shí),不等式化為，不等式恒成立，即時(shí),不等式化為，解得，即綜上所述，不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對(duì)任意恒成立當(dāng)時(shí)，取得最小值為實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用問題，屬于常規(guī)題型．18、（1）；（2）或【答案解析】

（1）由橢圓的定義可知，焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為，從而求出.寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求出和，從而寫出橢圓的方程；（2）設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，由可知點(diǎn)為的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可將點(diǎn)用P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示.由點(diǎn)在圓O上，知點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足圓O的方程，得式.為直線l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，用韋達(dá)定理表示，將其代入方程，再利用求得的范圍，最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：（1）由題意知.，直線的方程為∵直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為解得或(舍去)，∴橢圓的方程為（2）設(shè).∴點(diǎn)為的重心，∵點(diǎn)在圓上，由得，代入方程，得，即由得解得.或【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)，標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，其中重心坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于較難的題.19、（1）有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．見解析（2）分布列見解析，期望為1．【答案解析】

（1）由在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為可得列聯(lián)表，然后計(jì)算后可得結(jié)論；（2）由已知的取值分別為，分別計(jì)算概率得分布列，由公式計(jì)算出期望．【題目詳解】解：（1）根據(jù)在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為，可得分類意識(shí)強(qiáng)的有戶，故可得列聯(lián)表如下：分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)因?yàn)榈挠^測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．（2）現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，則0，1，2，3，故，，，，則的分布列為．【答案點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力．20、（Ⅰ）存在點(diǎn)