概率論-概率第四章第2節(jié)

例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？

a

甲儀器測(cè)量結(jié)果

a

乙儀器測(cè)量結(jié)果較好測(cè)量結(jié)果的均值都是a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門

同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：甲

射擊結(jié)果你認(rèn)為哪門乙

射擊結(jié)果射擊效果好一些呢?乙因?yàn)橐?/p>

的彈著點(diǎn)較集中在中心附近.

中

心中心為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨量取值在其均值附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是這一講要介紹的方差一、定義設(shè)X是一個(gè)隨量，若E[(X-E(X)]2存在，則稱D(X)=E[X-E(X)]2

(1)為X的方差.方差的算術(shù)平方根

D(

X

)

稱為標(biāo)準(zhǔn)差由于標(biāo)準(zhǔn)差與X具有相同的度量單位，在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用.若方差D(X)=0,則r.v

X

以概率1取常數(shù)值.量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)方差刻劃了隨期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差較??；若X的取值比較分散，則方差較大.D(X)=E[X-E(X)]2X為離散型，P(X=x

)=pk

k量X的函數(shù)由定義知，方差是隨g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.

2[

x

E(

X

)]2

f

(

x)dx,D(

X

)

kk

1k[

xk

E(

X

)]

p

,X為連續(xù)型，X~f(x)二、計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式展開(kāi)D(X)=E(X

2)-[E(X)]2證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X

2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X

2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X

2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)三、常見(jiàn)分布的方差1．（0-1）分布Xp0

11

p

p或

D(X

)

E(X

2

)

[E(X

)]2D(X

)

E{[

X

(0

p)2

(1

p)

(1

p)2

p

p(1

p)

p

p2

p(1

p)2．二項(xiàng)分布：X

~

b(n,

p)D(

X

)

np(1

p)現(xiàn)僅給出結(jié)論，后面介紹完性質(zhì)后再證明3．泊松分布：X

~

()k

P{X

k}

e(k

0,1,2,)k

0k!E(

X

2

)

k

2

k!ke

k

1

(k

2)!

k

1

(k

1)!k

1

e

keE(

X

)k

1(k

1)!

(k

11)

ke

e

2

e

e

e

2

D(

X

)

2

2

4．均勻分布：X

~

U

(a,b),

0 ,

other,

a

x

bf

(x)

1ba2a

bE(

X

)

2E(

X

)

123

D(

X

)

(b

a)2

a

ab

b2

2x f

(x)dx25．指數(shù)分布：

X

~

E(

)01,

x

0,

x

0

ef

(x)

x

0,E(

X

)

0

x1

x2e

dx02t

e

dt2

t

D(X

)

2x2

f

(x)dx

E(

X

2

)

0t

x

ttetdt

分部226．正態(tài)分布：X

~

N

(,

2

)12

22(

x

)2ef

(x)

x

DX

EX

EX

2

x

2

f

xdxx

t

22

2

x

2x

e

dx

1

2t22

dt

2

2t2

2

te2

2

e

0

2

1

2t

de22

dt

t

2

e

t

2

t

22

22

2四、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;n

n若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(若X1與X2

獨(dú)立，則D(X1+X2)=

D(X1)+D(X2);可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則D[

Xi

]

D(

Xi

)ni1n2i1

i

i

i

ii1

i1C D(

X

)C

X

]

D[X1與X2不獨(dú)立時(shí)，不成立4.D(X)=0

P(X=C)=1，這里C=E(X)xCP(X=

x)1下面用一例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用.例1

二項(xiàng)分布的方差設(shè)X~B(n,p),則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).i若設(shè)

X

1則如第i次試驗(yàn)成功i=1,2，…，n0

如第i次試驗(yàn)失敗n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)nX

X是ii1E(Xi)=P(Xi=1)=

p,

E(Xi2)=

p,故

D(Xi)=

E(Xi2)-[E(Xi)]2

=

p-

p2=

p(1-

p)于是D(Xi)=

E(Xi2)-[E(Xi)]2

=

p-

p2=

p(1-

p)i=1,2，…，n由于X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立nD(

X

)

D(

Xi

)i1=

np(1-

p)五、切

不等式設(shè)隨

量X有期望E(X)和方差

，2

則對(duì)于任給

>0,或由切

不等式可以看出，若

越2小，則事件{|X-E(X)|<

}的概率越大，即隨

量X集中在期望附近的可能性越大.

2P{|

X

E(

X

)

|

}

1

2

2

2P{|

X

E(

X

)

|

}

當(dāng)方差已知時(shí)，切

不等式給出了r.vX與它的期望的偏差不小于

的概率的估計(jì)式

.

如取

3

2

2P{|

X

E(

X

)

|

}

0.111

29

2P{|

X

E(

X

)

|

3

}

可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差

2存在，則r.v

X取值偏離E(X)超過(guò)3

的概率小于0.111.例1

已知正常

成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700

.利用切

不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率

.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200

X

9400)P(5200

X

9400)(2100)2D(

X

)=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)=

P(-2100

X-E(X)

2100)=

P{

|X-E(X)|

2