理論力學(xué)課件-第14章達(dá)朗貝爾原理

§14–1

慣性力·

質(zhì)點的動靜法§14–2

質(zhì)點系的動靜法§14–3

剛體慣性力系的簡化§14–4

繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力第十四章

原理§14–1

慣性力·

質(zhì)點的動靜法FmFNa1、慣性力的概念FI質(zhì)點運動微分方程ma

F

FNF

FN

ma

0FI

ma令質(zhì)點的慣性力FFm質(zhì)點運動微分方程F

FN

ma

0NaIF令

FI

ma質(zhì)點的慣性力F

FN

FI

02、質(zhì)點的動靜法----質(zhì)點的動靜法作用在質(zhì)點的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系。慣性力是虛加的，但對周圍相連的其他物體來說是真實受到的力。如圖，人用手推車時，車在加速運動過程中，人會感到受到力的作用，這個力是由于車具有慣性，力圖保持原來的運動狀態(tài)對人產(chǎn)生的反抗力，這就是慣性力。例題14-1列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角。。求車廂的加速度度

，相對于車廂aaa解：單擺受力情況如圖mgTIFT

mg

FIIF

ma

0在圖示

x

方向投影得運用質(zhì)點動靜法有Img

sin

F

cos

0x解得

a

g

tan-------擺式加速計的原理例題14-2半徑為R的圓柱面固定于地面，一質(zhì)量為m

的小球自圓柱面頂端從

開始往下純滾動，試問當(dāng)小球脫離圓柱面時角度

為多少？RRmgNFSFanaF

nIIF

解：小球在任意位置受力如圖小球的加速度如圖小球的慣性力如圖由質(zhì)點的動靜法，得I

I

SmgFNn

F

F

F

0在法線方向投影得mg

cos

F

F

n

0N

InFN

mg

cos

FI2

mg

cos

mRRmgNFSFanaF

nIFIFN

mg

cos

mR2用動能定理求小球運動的角速度21

mR2

0

mgR1cos

mR2

2mg1

cos

NF

3mg

cos

2mg令FN=0，得23

arccos力的合力

Fi

(i)

，則i設(shè)質(zhì)點系由n

個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點i，有Fi

FNi

FIi

0 (i

1,

2,......,

n)該式表明，質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的主動力、約束反力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點系的原理。把作用于質(zhì)點i

的所有力分為外力的合力F

(e)，內(nèi)(

i

1,2,......,

n

)Ii

F

0F

(e)

F

(i)i

i§14–2

質(zhì)點系的動靜法

Fi(i)

FIi

0

Fe()

iF

(e)

F

(i)i

i

F

0

(

i

1,2,......,

n

)Ii上式表明，質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的外力、內(nèi)力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。由靜力學(xué)知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對于任一點的主矩等于零，即

MO

(Fi

(e)

)

MO

(Fi

(i)

)

MO

(FIi

)

0=0

FIi

0

Fi

(i)

Fe()

i(e)

O

i

M

(F

)

MO(FIi

)

0上式表明，作用于質(zhì)點系上的所有外力與虛加在每個質(zhì)點上慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點系

原理的另一表述。對整個質(zhì)點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無關(guān)。應(yīng)用動靜法解題時，同靜力學(xué)一樣選取研究對象，畫受力圖（含慣性力），列平衡方程，求解。對質(zhì)點系，每個質(zhì)點均受到慣性力的作用，這些慣性力形成一個力系，利用靜力學(xué)的力系簡化理論，求出慣性力系的主矢和主矩，給解題會帶來方便，這里

剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動和平面運動時慣性力系的簡化。§14–3

剛體慣性力系的簡化FIR

miai剛體慣性力系主矢（與簡化中心的位置無關(guān)）

dt2

m

iid2ri

i

mr

dt2d2iim

m

rmdt2

d2mrC

dt2i

i

d2即：FIR

maC該式對剛體做任意運動都成立，即不管剛體作何種運動，其慣性力系的主矢大小都等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向始終與質(zhì)心加速度方向相反。剛體慣性力系主矩（與簡化中心的位置有關(guān)）剛體慣性力系主矩還與剛體的運動形式和剛體的質(zhì)量分布情況有關(guān)下面對作不同運動的剛體進(jìn)行慣性力系的簡化1、平移剛體以質(zhì)心

C

為慣性力系的簡化中心maF

CMIRaCaiFIiimiIRF通過剛體的質(zhì)心Cr

maICi

i

i

m

r

i

iCa

mrCCIC即得

Ma

0riC2、定軸轉(zhuǎn)動剛體只考慮有質(zhì)量對稱面且轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)量對稱面的轉(zhuǎn)動剛體。以質(zhì)量對稱面與轉(zhuǎn)動軸的交點O

為簡化中心OFIR

maC通過簡化中心Oan

CaCCIRFnIRF2FnIR

mOC

mOCFIROCIRFnIRFmiiaaiIiFnIiFO

IiIOM

M

F

nM

F

MFO

Ii

O

Ii

i

i

im

a

r

mi

ri

ri2

i

i

mr

MIO

JO符號表明慣性力系的主矩方向與角加速度方向相反。MIOrin思考1：均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，繞O軸轉(zhuǎn)動，偏心距為e。角速度及角加速度如圖，則其慣性力系向O點簡化結(jié)果為？eOCCaaCnFIRF

nIRMIOFIRF

nIR

me

me222

21mR

meM

IO思考2：均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，角速度及角加速度如圖，則其慣性力系向C點簡化結(jié)果為？MIOFIR

maC

0C2ICM

1

mR2思考3：均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，角速度如圖，則其慣性力系向C點簡化結(jié)果為？CFIR

maC

02M

1

mR2

0IC思考4：均質(zhì)直桿AB，質(zhì)量為m，長為2L，桿OA長為

L，質(zhì)量不計，繞O軸轉(zhuǎn)動，角速度及角加速度如圖，則慣性力系向O點簡化結(jié)果為？OABCaCCanFIRIRF

nIOMFIRF

nIR

2mL

2mL

23IOM

7

mL2IC剛體隨質(zhì)心的平移

M

1

03、平面運動剛體只考慮有質(zhì)量對稱面，而且剛體在平行于該平面的某一平面內(nèi)運動。以質(zhì)心

C

為慣性力系的簡化中心F

maIRC通過剛體的質(zhì)心C剛體平面運動C

J

IC剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動M

2故：M

IC

JC1、平移剛體以質(zhì)心為簡化中心F

maIRCMIC

0通過剛體的質(zhì)心C2、定軸轉(zhuǎn)動剛體以轉(zhuǎn)軸和質(zhì)量對稱面的交點O為簡化中心F

maIR

CMIO

JO通過簡化中心O3、平面運動剛體以質(zhì)心為簡化中心IR

CF

ma通過簡化中心CMIC

JC剛體慣性力系的簡化結(jié)果剛體平面運動微分方程eCx

ixFeCy

iyFma

ma

eM

F

C

C

iyJ

eixIRxFIRy

iyF

F

F

eeIC

C

iyM

F

M

Fx

0

Fy

0

M

A

Fi

0平面運動剛體的動平衡方程可求加速度和約束力例題14-1已知:均質(zhì)桿的質(zhì)量為m

，長為l

，繞定軸O

轉(zhuǎn)動的角速度為

，角加速度為

。求：慣性力系向點Ｏ簡化的結(jié)果(方向在圖上畫出)OACaCaCnIRF

nIRFM

IO2F

nIR

1

ml2FIR2

1

ml3IOM

1

ml

2例題14-2已知:均質(zhì)桿的質(zhì)量為m

，長為l

，可繞定軸O

轉(zhuǎn)動。求：桿OA由水平位置

瞬間的角加速度及支座O的約束反力。OCA解：OCAIRFIOMFIR2

1

mlml

213M

IO

FOxFOymga

xF

0OxF

0

F

0IRF

F

mg

0y

OyOM

F

0

MIO2

mg

l

0CFOx

0OyF

1

mg4

3g2L例題14-30B均質(zhì)桿AB長l

，質(zhì)量m，B端與水平面光滑接觸，桿由與平面成0=450

角位置落下。求開始落下時桿AB的角加速度及地面支持力。A解：桿AB受力如圖（水平方向質(zhì)心運動守恒）0BAmgFNCIRFMICaCIR

CF

ma2121CICM

J

ml

FN

mg

FIR

0

MC

F

0

Fy

020IC

M

0NF

l

cos下面建立運動學(xué)補充方程0BAmgFNCaCIRFMIC

Fy

0

MC

0F

lFN

mg

FIR

0FN

2

cos0

M

IC

0下面建立運動學(xué)補充方程aCaBaBCCBC2a

l

2a2

g5

l

6N5F

2

mg例題14-4在圖示系統(tǒng)中，已知：擺錘

A

的重量為

P，擺長為l，掛于輪心上，勻質(zhì)輪C的重量為Q，半徑為r，在水平面上作純滾動。試用動靜法求單擺在θ位置無初速

的瞬時，圓輪輪心C的加速度。CA解：1）以系統(tǒng)為研究對象，其運動分析如圖CMICACCaaCaACACaA

aC

aAC

an

C

AC

a

aC系統(tǒng)受力如圖SBFBNBFQIRCFIRAF

rIRAF

eAPM

IC2g

QraC

2g

Qr

2CF

Qa

gIRC

CF

rAC

Pl

gIRAF

eC

Pa

gIRACMICACaCaCaACCFSBBFNBQIRCFIRAF

rIRAF

eAPF

0

M

B

l

cos

r

P

l

sinFeIRAIC

M

F

r

Fr

l

r

cos

0IRAIRCICCFIRC

QaC

gF

rM

Qra

2g

Pl

gFC

Pa

gACIRAeIRA未知量？

M

C

F

0

l

0eF

eIRA

l

cos

P

l

sin

FIRAFrAC

Pl

gIRAFC

Pa

geIRA2）以單擺為研究對象，其運動和受力分析分析如圖AC未知量？ACaCaACFCxF

rIRAIRAF

ePFCy

l

cos

r

P

l

sinF

eIRA

M

IC

F

r

Fr

l

r

cos

0IRC

IRAMIC

QraC

2gFIRC

QaC

gF

rAC

Pl

gIRAF

eC

Pa

gIRA

l

0eF

eIRA

l

cos

P

l

sin

FIRA

P

sin

2

g3Q

2P

sin2

aCA例題14-4在圖示系統(tǒng)中，已知：擺錘

A

的重量為

P，擺長為l，掛于輪心上，勻質(zhì)輪C的重量為Q，半徑為r，在水平面上作純滾動。試用動靜法求單擺在θ位置無初速

的瞬時，圓輪輪心的加速度。C

P

sin

2

g3Q

2P

sin2

aC在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體A和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，（不計滾動摩擦）。試求：(1)鼓輪的角加速度？

(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力？AOM例題14-5解：方法1

用

原理求解取O為研究對象，虛加慣性力偶，畫受力圖AOQFOxFOyMO

OIOM

J

O2

g

1

Q

R2列方程：

M

0

MO

(F

)

0

,

FT

R

MIOMIOFTo,

FOx

FT

cos

0

Fx

0

Fy

0,

FOy

Q

FT

sin

0AOMMIAFT'PFNAFSFIA分析A，虛加慣性力及慣性力偶，畫受力圖A

AIAA2

gM

J

1

P

R2IAAgF

P

aPR

sin

FIA

R

FT

'

R

MIA

0C列方程：

Fx

0FT

'FIA

FS

P

sin

0

MC

(F

)

0AOMACoaAFT

R

MIO

M

0FOx

FT

cos

0FOy

Q

FT

sin

0PR

sin

FIA

R

FT

'

R

MIA

0FT

'FIA

FS

P

sin

0OIOM

1

Q

R22

g1

PR2

AM

IA

2

gPFIA

g

aA運動學(xué)關(guān)系aA

R

A

ROA

O聯(lián)立求解得(Q

3P)RF

P(3M

QR

sin

)(Q

3P)R2

2(M

PR

sin

)

gTO(Q

3P)RF

P(M

PR

sin

)

P(3M

QR

sin

)

cos

(Q

3P)R

P(3M

QR

sin

)

sin

Q(Q

3P)RFFSOyOxAOMFTFOxFOyoFS方法2

用動力學(xué)普遍定理求解OMo(1)

用動能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為研究對象W

M

PR

sin

(M

PR

sin

)：為鼓輪轉(zhuǎn)過的任意角度T1

CAO2T

T

T(為常量，假設(shè)初始有運動)22O2

2g1

QOT

R

2A2

g

2

2gA

AT

1

P

v2

1

P

R2

oAAOMoW

(M

PR

sin

)：為任意角度T1

CT2

TO

TA動能定理(Q

3P)R2(為常量，假設(shè)初始有運動)224g(Q

3P)ROoAAT2

T1

W4g2O

C

(M

PR

sin

)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，整理得

2(M

PR

sin

)

g(Q

3P)R2O2gQR2O

M

TRP(3M

QR

sin

)(Q

3P)RFT

OFTQFOxFOyMo(2)

用動量矩定理求繩子拉力取輪O為研究對象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得O

2(M

PR

sin

)

g(Q

3P)R2(3)

用質(zhì)心運動定理求解軸承O處支反力取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運動定理：MaCx

FxMaCy

Fy0

FOx

FT

cos0

FOy

Q

FT

sin

P(3M

QR

sin

)

sin

Q(Q

3P)R

cosP(3M

QR

sin

)(Q

3P)RFFOx

OyOFTQFOxFOyMo于是解得FT

P(3M

QR

sin

)(Q

3P)R(4)

用相對質(zhì)心動量矩定理求摩擦力取圓柱體A為研究對象，由相對質(zhì)心動量矩定理得J

AA

FS

RAPFNAFSCaA

FT'RFS

A

AJ

A

2(M

PR

sin

)

g(Q

3P)R2O

于是得

P(M

PRsin)

(Q

3P)R(1)鼓輪的角加速度？

(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力？AOM例題14-5方法3：1、用動能定理求鼓輪的角加速度2、用動靜法求約束反力（繩子拉力、軸承O處反力和摩擦力）例題14-6均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由

自O(shè)點開始滾動。平板對水平線的傾角為

，試求OA=S

時平板在O點的約束反力。板的重力略去不計。OCSAOCSACv解：(1)

用動能定理求速度，加速度T1

022

g

2

2gCT

1

P

v力的功為W

PS

sin

由動能定理，得C2

1

P

R2

2

3P

v

24g

0

PS

sin4g3P

v2COCSAaC

0

PS

sin4g3P

v2C兩邊對時間

t

求導(dǎo)數(shù)，則：3Ca

2

g

sin(2)

用原理求約束反力3R

2g

sin取系統(tǒng)為研究對象虛加慣性力和慣性力偶IRFMICOxFOyFOMPOCSAaCg

sin23aC

3R2g

sinIRFMICOxFFOyOMCIR列方程：CICM

J

g

3F

P

a

2P

sin22

g

3R1

P

2g

R

sin

PRsin3F

0Fy

0MO

(F)

0xP列方程：Fx

0Fy

0MO

(F)

03F

P

2P

sin

sin