《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)分析》課程簡(jiǎn)介課程編號(hào)：08014001、08014023、08014029課程名稱：數(shù)學(xué)分析

(1-3)

/MathematicsAnalysis(1-3)學(xué)分:5+6+6=17學(xué)時(shí)：80+96+96=272適用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)建議修讀學(xué)期：1-3開(kāi)課單位：數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系先修課程：初等數(shù)學(xué)考核方式：閉卷考試，平時(shí)30%，考試70%。教材與主要參考書(shū)目：教材：數(shù)學(xué)分析、華東師大編、高教出版社、2010（第4版）1．?dāng)?shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程.常庚哲.徐森林.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.19982．?dāng)?shù)學(xué)分析.陳紀(jì)修.高等教育出版社.2000內(nèi)容概述：本課程是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，乃至其他理工科專(zhuān)業(yè)的最重要的公共基礎(chǔ)課程。后繼課程如常微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、實(shí)變函數(shù)、力學(xué)分析、數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析等課程，均以本課程為基礎(chǔ)。本課程的目的除使學(xué)生掌握較深刻的極限理論與微積分學(xué)的相關(guān)知識(shí)外，對(duì)學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的能力、基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)進(jìn)行培養(yǎng)與鍛煉。學(xué)生在三個(gè)學(xué)期內(nèi)，要完成極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論等方面的基本概念、基本理論的學(xué)習(xí)任務(wù)，基本的運(yùn)算能力得到培養(yǎng)，并為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。Descriptionofcontent:Descriptionofcontent:Thiscourseisthemostimportantpublicfoundationcourseofbasicmathematics,appliedmathematicsandotherspecialtiesinscienceandengineering.Subsequentcourses,suchasordinarydifferentialequation,probabilityandstatistics,realvariablefunction,mechanicalanalysis,econometricanalysis,areallonthebasisofthiscourse.Thepurposeofthiscourseistomakestudentsmastermoreprofoundlylimitationtheoryandrelatedknowledgeofthedifferentialcalculus,besides,itaimstodevelopandtrainthestudents'abilityofanalyzingandsolvingproblemsaswellastheirbasicmathematicalquality.Withinthreesemesters,studentsmustfinishthestudyofbasicconceptsandbasictheoriessuchasthelimittheory,theunaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculustheory,seriestheory,inordertocultivatetheirbasicoperationability,andlaynecessarymathematicalbasisforlearningsubsequentcoursesandacquiringfurthermathematicalknowledge.《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)大綱一課程性質(zhì)、目的與任務(wù)數(shù)學(xué)分析是信息與計(jì)算科學(xué)和數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課。它不僅是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析并解決問(wèn)題的重要入門(mén)課程，也是后繼課程——微分方程、復(fù)變函數(shù)、微分幾何、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等的基礎(chǔ)。本課程的基本內(nèi)容有極限理論、一元微積分學(xué)、多元微積分學(xué)和級(jí)數(shù)理論，分三學(xué)期學(xué)習(xí)，總學(xué)時(shí)272學(xué)時(shí)，總學(xué)分17學(xué)分（第一學(xué)期80學(xué)時(shí)，5學(xué)分，第二學(xué)期96學(xué)時(shí)，6學(xué)分，第三學(xué)期96學(xué)時(shí)，6學(xué)分）。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠正確理解數(shù)學(xué)分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法；正確理解實(shí)數(shù)理論、極限理論、一元函數(shù)微積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)和多元微積分等方面的系統(tǒng)知識(shí)和基本原理以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；深刻認(rèn)識(shí)極限的思想和方法，弄清不變與變，有限與無(wú)限，特殊與一般，抽象與具體的內(nèi)在關(guān)系；掌握數(shù)學(xué)分析中的論證方法和常用的分析技巧，具有運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法去觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高抽象思維和邏輯推理的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)；熟練掌握微積分學(xué)的基本運(yùn)算方法和運(yùn)算技巧，獲得本課程所要求的分析、論證、計(jì)算等方面的能力；對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)內(nèi)容有深刻的了解，以較高的觀點(diǎn)分析和處理好這些內(nèi)容；提高建立數(shù)學(xué)模型，并具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它專(zhuān)業(yè)課程打下必要的基礎(chǔ)，為創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供重要平臺(tái)。二教學(xué)內(nèi)容、基本要求及學(xué)時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容、基本要求：1．極限理論：這一部分是本課程的基礎(chǔ)，也是整個(gè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)；要求學(xué)生對(duì)極限語(yǔ)言有一定的了解。2．一元函數(shù)的連續(xù)性：該部分是學(xué)生第一次用極限理論描述函數(shù)性態(tài)，解決閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；對(duì)其理論要求一般了解。3．一元函數(shù)的可微性：該部分是本課程的核心第一個(gè)部分，是本課程的重點(diǎn)；要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；對(duì)導(dǎo)數(shù)的介值性定理要求一般了解。4．一元函數(shù)的中值定理及其應(yīng)用：要求學(xué)生熟練地掌握該部分內(nèi)容，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。5．不定積分：要求學(xué)生熟練掌握該部分內(nèi)容，這部分內(nèi)容是本課程的第二個(gè)重點(diǎn)。6．定積分：要求學(xué)生熟練掌握定積分的性質(zhì)、計(jì)算與應(yīng)用，這是該部分的重點(diǎn)；可積理論是該部分的難點(diǎn)，要求學(xué)生一般了解。7．要求對(duì)廣義積分的斂散性判別法一般的了解。8．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，要求熟練掌握該部分內(nèi)容；對(duì)于難點(diǎn)部分：條件收斂、一致收斂、和函數(shù)的分析性質(zhì)，要求掌握。9．對(duì)冪級(jí)數(shù)內(nèi)容，要求熟練地掌握；對(duì)于傅立葉級(jí)數(shù)，要求掌握該部分內(nèi)容。10．多元函數(shù)的極限與連續(xù)性、可微性、多元函數(shù)的極值：要求學(xué)生能模仿一元函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，寫(xiě)出多元函數(shù)的相應(yīng)的條件與結(jié)論，并從中找出一元函數(shù)與多元函數(shù)的差別以及多元函數(shù)的極值，這些是該部分的教學(xué)重點(diǎn)。11．重積分、曲線與曲面積分：該部分是重點(diǎn)部分，第二型曲線與第二型曲面積分是教學(xué)難點(diǎn)；對(duì)平面圖形的面積度量，要求一般了解。12．隱函數(shù)、條件極值：難點(diǎn)：隱函數(shù)定理；重點(diǎn)：條件極值。這一部分要求一般了解。13．對(duì)含參變量積分要求一般地了解；對(duì)G函數(shù)與B函數(shù)要求熟練地掌握。學(xué)時(shí)分配課程內(nèi)容教學(xué)要求重點(diǎn)(☆)難點(diǎn)(Δ)學(xué)時(shí)安排實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)上機(jī)學(xué)時(shí)備注第一章、函數(shù)(12學(xué)時(shí))實(shí)數(shù)與確界原理A4函數(shù)與初等函數(shù)A8第二章數(shù)列極限(8學(xué)時(shí))數(shù)列極限的—N定義A☆Δ2數(shù)列極限的性質(zhì)A☆Δ2數(shù)列極限存在條件A☆Δ4第三章函數(shù)極限(14學(xué)時(shí))“x”函數(shù)極限C2“xa”函數(shù)極限A☆2函數(shù)極限的性質(zhì)A☆Δ4極限的存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限A☆2無(wú)窮大與無(wú)窮小、無(wú)窮小比較A4第四章函數(shù)的連續(xù)性(8學(xué)時(shí))函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)分類(lèi)A☆2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性A☆2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)B☆Δ4第五章導(dǎo)數(shù)與微分(12學(xué)時(shí))導(dǎo)數(shù)的概念A(yù)2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則A☆2反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則A☆Δ2隱函數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)B☆Δ2高階導(dǎo)數(shù)A☆2函數(shù)的微分A☆Δ1微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用B1第六章、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(14學(xué)時(shí))中值定理A☆Δ2導(dǎo)數(shù)的介值性定理C2羅必塔法則A2泰勒公式A☆Δ2函數(shù)的單調(diào)性判別法A☆2函數(shù)的最大值與最小值A(chǔ)☆Δ2曲線的凸性與拐點(diǎn)與函數(shù)圖形的描繪A2第七章、實(shí)數(shù)的完備性(4學(xué)時(shí))4閉區(qū)間套定理B☆Δ有限覆蓋定理B☆ΔCauchy收斂準(zhǔn)則B☆Δ致密性定理、單調(diào)有界原理CΔ上、下極限CΔ實(shí)數(shù)完備性的等價(jià)命題的討論CΔ數(shù)學(xué)分析實(shí)驗(yàn)（一）（8學(xué)時(shí)）8Mathematica軟件簡(jiǎn)介（一）C11數(shù)列極限與生長(zhǎng)模型C11飛機(jī)安全降落曲線的確定C11一元函數(shù)圖形的繪制C11第八章、不定積分(10學(xué)時(shí))10原函數(shù)、不定積分、不定積分的性質(zhì)A☆直接積分法A☆換元積分法A☆分部積分法A☆幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分CΔ第九章、定積分(14學(xué)時(shí))14定積分概念A(yù)☆Δ可積條件CΔ定積分性質(zhì)BΔ可積函數(shù)類(lèi)BΔ微積分基本定理A☆定積分計(jì)算方法A☆第十章、定積分的應(yīng)用(12學(xué)時(shí))12定積分的應(yīng)用中的微元法A☆平面圖形的面積B旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積B平面曲線的弧長(zhǎng)A☆Δ平面曲線的曲率C定積分在物理中的某些應(yīng)用C第十一章、非正常積分(10學(xué)時(shí))10無(wú)窮積分概念A(yù)無(wú)窮積分的斂散性A☆瑕積分B第十二章、無(wú)窮級(jí)數(shù)(10學(xué)時(shí))10數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)A☆正項(xiàng)級(jí)數(shù)A一般項(xiàng)級(jí)數(shù)A絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)C☆級(jí)數(shù)的乘積運(yùn)算C☆第十三章、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(10學(xué)時(shí))10函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂A☆函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)A☆第十四章、冪級(jí)數(shù)(10學(xué)時(shí))10冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與性質(zhì)A☆函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)A☆第十五章、Fourier級(jí)數(shù)(12學(xué)時(shí))12傅立葉級(jí)數(shù)A☆收斂定理BΔ周期為2的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)A☆周期為2lC數(shù)學(xué)分析實(shí)驗(yàn)（二）（8學(xué)時(shí)）8Mathematica軟件簡(jiǎn)介（二）C泰勒公式與函數(shù)逼近C定積分的近似計(jì)算C無(wú)窮級(jí)數(shù)與函數(shù)逼近C第十六章、多元函數(shù)的極限與連續(xù)(12學(xué)時(shí))12點(diǎn)集、點(diǎn)集的極限點(diǎn)、平面點(diǎn)集的完備性CΔ多元函數(shù)的的基本概念B☆多元函數(shù)的極限、累次極限A☆Δ多元函數(shù)的連續(xù)性A☆有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)B☆Δ第十七章、多元函數(shù)微分學(xué)(18學(xué)時(shí))18偏導(dǎo)數(shù)、混合高階偏導(dǎo)數(shù)AΔ全微分及其應(yīng)用A☆多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)法則AΔ方向?qū)?shù)與梯度A☆微分在幾何上的應(yīng)用B多元函數(shù)的泰勒公式BΔ多元函數(shù)的極值與求法A☆第十八章、隱函數(shù)與向量函數(shù)(12學(xué)時(shí))12隱函數(shù)的存在性定理與求導(dǎo)公式CΔ隱函數(shù)組的存在性與雅可比行列式CΔ反函數(shù)組的存在性CΔ條件極值A(chǔ)☆向量函數(shù)的概念、連續(xù)性、可微性簡(jiǎn)介CΔ第十九章、含參量積分(10學(xué)時(shí))10含參量正常積分所定義的函數(shù)的性質(zhì)BΔ含參量非正常積分所定義的函數(shù)的性質(zhì)BΔEuler積分A☆Δ第二十章、曲線積分(8學(xué)時(shí))8第一型曲線積分A☆第二型曲線積分A☆兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系C第二十一章、重積分(20學(xué)時(shí))20二重積分的概念與可積條件B二重積分的計(jì)算A☆Green公式A☆Δ二重積分的換元積分法A☆Δ三重積分的概念與計(jì)算B三重積分的換元積分法A☆Δ重積分的應(yīng)用B第二十二章、曲面積分(8學(xué)時(shí))8對(duì)面積的曲面積分A☆對(duì)坐標(biāo)的曲面積分A☆Δ兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系C高斯公式A☆斯托克斯公式A☆Δ8數(shù)學(xué)分析實(shí)驗(yàn)（三）（8學(xué)時(shí)）8Mathematica軟件簡(jiǎn)介（三）C11鯊魚(yú)襲擊目標(biāo)的前進(jìn)路徑C11多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較C11重積分計(jì)算C11（教學(xué)要求：A—熟練掌握；B—掌握；C—了解）三、建議實(shí)驗(yàn)（上機(jī)）項(xiàng)目及學(xué)時(shí)分配參見(jiàn)教學(xué)內(nèi)容、基本要求及學(xué)時(shí)分配四教學(xué)方法與教學(xué)手段教學(xué)方法：講授、討論；教學(xué)手段：多媒體、黑板演算等手段。五考核方式閉卷考試，平時(shí)作業(yè)、課堂討論30%，期末考試70%。六教材與主要參考書(shū)目教材：數(shù)學(xué)分析、華東師大編、高教出版社、2010（第4版）主要參考書(shū)目：1.劉玉璉，傅沛仁編．?dāng)?shù)學(xué)分析講義.北京：高等教育出版社，1996.2.陳紀(jì)修，於崇華，金路編．?dāng)?shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社，2000.3.陳傳璋等編．?dāng)?shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社，1983.4.北京大學(xué)編．?dāng)?shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社，1986.5.鄧東皋，尹小玲編．?dāng)?shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程.北京：高等教育出版社，1999.6.吉林大學(xué)編．?dāng)?shù)學(xué)分析.北京：人民教育出版社，1978.7.裴禮文編．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法.北京：高等教育出版社，1993.8.華羅庚編．高等數(shù)學(xué)引論（第一卷）.北京：科學(xué)出版社，1979.9.R.柯朗，F(xiàn).約翰，劉嘉善等譯．微積分和數(shù)學(xué)分析引論.北京：科學(xué)出版社，2001.10.Ｐ.Ｍ.菲赫金哥爾茲著．微積分學(xué)教程（三卷八分冊(cè)）.北京：人民教育出版社，1958.11.吉米多維奇，李榮凍譯．?dāng)?shù)學(xué)分析習(xí)題集.北京：高等教育出版社，1958.12.G.波利亞，G.金貴編．?dāng)?shù)學(xué)分析中的問(wèn)題與定理.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981.13.盧丁，趙慈庚，蔣鐸譯．?dāng)?shù)學(xué)分析原理.北京：高等教育出版社，1979.14.[美]WalterRudin/著．PrinciplesofMathematicalAnalysys(影印版).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.15.[美]TomM.Apostol/著．MathematicalAnalysys(影印版).北京：機(jī)械工業(yè)出版