平面向量及三角形四心問(wèn)題

-.z.平面向量根本定理與三角形四心是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，，，求證：如圖2延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則圖1圖2推論是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的內(nèi)心是的外心是的垂心證明：如圖為三角形的垂心，同理得，**定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一"四心〞的相關(guān)向量問(wèn)題一．知識(shí)梳理：四心的概念介紹：(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；(2)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；(3)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)〔內(nèi)切圓的圓心〕，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；(4)外心：中垂線的交點(diǎn)〔外接圓的圓心〕，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。與"重心〞有關(guān)的向量問(wèn)題1是所在平面上的一點(diǎn)，假設(shè)，則是的()．A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心如圖⑴.MM圖⑵圖⑵圖⑴2是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的().A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，如圖⑵.3.O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足〔λ∈〔0，+∞〕〕，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的〔〕A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．垂心解：作出如圖的圖形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，∴=由加法法則知，P在三角形的中線上故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的重心應(yīng)選：B．與"垂心〞有關(guān)的向量問(wèn)題3是所在平面上一點(diǎn)，假設(shè)，則是的()A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】由，得，即，所以．同理可證，．∴是的垂心．如圖⑶.圖⑷圖⑷圖⑶4是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的()．A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心，如圖⑷.5假設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的()A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心BCHBCHA圖6得即同理，故H是△ABC的垂心與"內(nèi)心〞有關(guān)的向量問(wèn)題6為所在平面上的一點(diǎn)，且，，．假設(shè)，則是的()．A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心圖⑹圖⑹圖⑸【解析】∵，，則由題意得，∵，∴．∵與分別為和方向上的單位向量，∴與平分線共線，即平分．同理可證：平分，平分．從而是的內(nèi)心，如圖⑸.7是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的()．A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】由題意得，∴當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，如圖⑹.8假設(shè)O在△ABC所在的平面內(nèi)：=，則O是△ABC的〔〕A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心解：∵向量的模等于1，因而向量是單位向量∴向量、和等都是單位向量∴由向量、為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，∵可得AO在∠BAC的平分線上同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB，∴O是△ABC的內(nèi)心．應(yīng)選：C．與"外心〞有關(guān)的向量問(wèn)題8是所在平面上一點(diǎn)，假設(shè)，則是的()．A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心圖⑺圖⑺圖⑻【解析】假設(shè)，則，∴，則是的外心，如圖⑺。9是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的()。A．重點(diǎn) B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解析】由于過(guò)的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示垂直于的向量〔注意：理由見(jiàn)二、4條解釋。〕，所以在垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心，如圖⑻四心的相互關(guān)系設(shè)的外心為，則點(diǎn)為的垂心的充要條件是。設(shè)的外心為，則點(diǎn)為的重心的充要條件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心、重心、垂心分別為、、，則、、三點(diǎn)共線〔、、三點(diǎn)連線稱為歐拉線〕，且。相關(guān)題目10．設(shè)△ABC外心為O，重心為G．取點(diǎn)H，使．求證：〔1〕H是△ABC的垂心；〔2〕O，G，H三點(diǎn)共線，且OG：GH=1：2．【解答】證明：〔1〕∵△ABC外心為O，∴又∵∴則=?==