基礎力學教程04扭轉(zhuǎn)

第四章扭轉(zhuǎn)材料力學1§4–1概述§4–2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§4–3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§4–4等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應力·強度分析§4–5等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件第三章扭轉(zhuǎn)2§4–1概述軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA3扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應變（）：直角的改變量。mmOBA4§4–2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、傳動軸的外力偶矩

傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關系：其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）53扭矩的符號規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。二、扭矩及扭矩圖1扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx64扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT7

扭矩圖常用與軸線平行的x坐標表示橫截面的位置，以與之垂直的坐標表示相應橫截面的扭矩，把計算結(jié)果按比例繪在圖上，正值扭矩畫在x軸上方，負值扭矩畫在x軸下方。這種圖形稱為扭矩圖。A輪為主動輪，輸入功率，B、C、D為從動輪，輸出功率分別為試求各段扭矩。[例1]圖示傳動軸，轉(zhuǎn)速8解：1、計算外力偶矩9T2、T3為負值說明實際方向與假設的相反。2、分段計算扭矩，分別為（圖c）（圖d）（圖e）3、作扭矩圖1011[例2]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計算外力偶矩12nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設）13③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––14§4–3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。152.實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。16acddxbdy′′①無正應力②橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4.與的關系：微小矩形單元體如圖所示：17二、薄壁圓筒剪應力大?。?/p>

A0：平均半徑所作圓的面積。18三、剪應力互等定理：

上式稱為剪應力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdy′′tz19四、剪切虎克定律：

單元體的四個側(cè)面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。20T=m剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。21式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。22§4–4等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應力·強度條件等直圓桿橫截面應力①變形幾何方面②物理關系方面③靜力學方面1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：23二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力：1.變形幾何關系：距圓心為任一點處的與到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。24Ttmaxtmax2.物理關系：虎克定律：代入上式得：253.靜力學關系：TOdA令代入物理關系式得：26—橫截面上距圓心為處任一點剪應力計算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。27單位：mm4，m4。③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實心圓截面：DdO28對于空心圓截面：dDOd29④應力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應用廣泛。30⑤確定最大剪應力：由知：當Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：31三、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([]

稱為許用剪應力。)強度計算三方面：①校核強度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：32[例3]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應力[]=30MPa,試校核其強度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核剪應力強度③此軸滿足強度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx33[例4]汽車的主傳動軸，由45號鋼的無縫鋼管制成，外徑，壁厚工作時的最大扭矩，若材料的許用切應力，試校核該軸的強度。解：1、計算抗扭截面系數(shù)主傳動軸的內(nèi)外徑之比抗扭截面系數(shù)為342、計算軸的最大切應力3、強度校核主傳動軸安全35[例5]如把上題中的汽車主傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確定實心軸的直徑，并比較空心軸和實心軸的重量。解：1、求實心軸的直徑，要求強度相同，即實心軸的最大切應力也為，即

362、在兩軸長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比等于兩軸橫截面面積之比，即：由此題結(jié)果表明，在其它條件相同的情況下，空心軸的重量只是實心軸重量的31%，其節(jié)省材料是非常明顯的。討論：37§4–5等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式知：長為l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為38二、單位扭轉(zhuǎn)角：或三、剛度條件或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。[]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。39剛度計算的三方面：①校核剛度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：有時，還可依據(jù)此條件進行選材。40