偏微分方程在計(jì)算流體中的應(yīng)用

偏微分方程在計(jì)算流體中的應(yīng)用——pb06001032張凌肖這學(xué)期我選了一門(mén)研究生課——計(jì)算流體力學(xué)，在學(xué)習(xí)這門(mén)課的過(guò)程中，我充分感覺(jué)到了偏微分方程的重要，因?yàn)闊o(wú)論哪一章，都滲透著偏微分方程的思想，沒(méi)有偏微分方程，計(jì)算流體這門(mén)課顯得支離破碎。下面我就拿一個(gè)特殊的計(jì)算流體方程舉例子。因?yàn)橛?jì)算流體這門(mén)課的教材是英文的，所以有些專(zhuān)有名詞我將只寫(xiě)出英文，還請(qǐng)多包涵。

我要說(shuō)的是Shallow-waterequation，它是典型的雙曲線(xiàn)方程，它是源于Navier-Stokesequation，形如（1.1）和（1.2），——（1.1）——（1.2）它模擬了海峽，湖泊，河流以及海水中水流的流動(dòng)形式。大氣和海洋中的流體的核心模型是由Shallow-waterequation組成的。接下來(lái)我將分六個(gè)方面說(shuō)明偏微分方程在Shallow-waterequation中的應(yīng)用。一、Shallow-waterequation中的控制方程對(duì)于一維的Shallow-waterequation來(lái)說(shuō)（1.1）和（1.2）可以簡(jiǎn)化成（1.3）和（1.4）?！?.3）——（1.4）U是流體的平均深度，d是水深，g表示重力加速度，H是底部的高度，而C是Chezy摩擦系數(shù)。二、Shallow-waterequation的分類(lèi)（1.3）和（1.4）可以轉(zhuǎn)化成（1.5），——（1.5），其中，，，而（1.5）的性質(zhì)體現(xiàn)在特征值問(wèn)題（1.6）?！?.6）我們有——(1.7)，如果——（1.8）成立。由于我們已經(jīng)找到兩個(gè)實(shí)線(xiàn)性獨(dú)立向量，系統(tǒng)（1.5）是雙曲線(xiàn)型的。而且，特征向量可以通過(guò)線(xiàn)性運(yùn)算簡(jiǎn)化成——（1.9）三、Shallow-waterequation的特征線(xiàn)在thefrozencoefficient的情形下，有wave-likesolution，其中和由于沿著曲線(xiàn)，，且，時(shí)，W=const。而上面的曲線(xiàn)就是特征線(xiàn)，這與偏微教材第一章所介紹的特征線(xiàn)在概念和性質(zhì)上是統(tǒng)一的。四、Shallow-waterequation的對(duì)角化我們先引入新的變量Z，使得，我們令，則（1.5）變形成（2.1），——（2.1）這樣，是一個(gè)對(duì)角陣，使得（2.1）變成一個(gè)獨(dú)立的方程組。我們?cè)谶x取矩陣B是有技巧的，令B等于F的特征向量的組合，，，而且Z滿(mǎn)足等式，進(jìn)而，我們得到，——（2.2），所以（2.1）變形成（2.3）——（2.3）五、Shallow-waterequation的波動(dòng)性我們先假設(shè)H是恒定的，并忽略摩擦力作用，這樣（2.3）就變成了（2.4）——（2.4）因此沿著特征線(xiàn)，，=const，而且沿著特征線(xiàn)，，=const。我們稱(chēng)變量和是黎曼不變量。我們不妨把和看作擁有速度和的信號(hào)。是由重力引起的。其中，叫做celerity，叫做Froudenumber。接下來(lái)，我們來(lái)考慮調(diào)和波，=const,這是（2.5）的解，如果。如果，那么存在非零解。之后，引入了很多波動(dòng)性的新的概念，解釋起來(lái)很麻煩，就不在這里一一介紹了。六、Shallow-waterequation的初邊值條件Shallow-waterequation的初邊值條件的討論與《偏微分方程》中第四十頁(yè)到第四十一頁(yè)所討論的內(nèi)容是完全一致的，在那里，引入了“影響區(qū)域”，“決定區(qū)域”，還有“依賴(lài)區(qū)域”的概念，本文就不一一介紹了。其實(shí)，關(guān)于Shallow-waterequation的內(nèi)容并沒(méi)有介紹完，因?yàn)楹竺娴膬?nèi)容涉及到偏微分方程數(shù)值解和有限元的理論，所以，就不在這里詳細(xì)闡述。不過(guò)，由上面的六個(gè)方面可以看出，Shallow-waterequation的基礎(chǔ)是建立在偏微分方程知識(shí)的熟練