2021年湖南省長(zhǎng)沙市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021年湖南省長(zhǎng)沙市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A．－4

B．－2

C．0

D．2參考答案：C目標(biāo)函數(shù)可化簡(jiǎn)為：y=2x-4+z,根據(jù)圖像得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)C（2，0）時(shí)取得最小值，代入得到.

2.已知向量與向量的夾角為，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D試題分析：，當(dāng)然也可數(shù)形結(jié)合考點(diǎn)：向量的模3.若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組則z=|x|+2y的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．14參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題E5當(dāng)x時(shí)，2y=-x+z表示的是斜率為-1截距為z的平行直線系，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1,5）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大，=1+2=11，當(dāng)x<0時(shí)，2y=x+z表示的是斜率為-1截距為z的平行直線系,當(dāng)過(guò)點(diǎn)（-4,5）時(shí)，=4+2=14.

【思路點(diǎn)撥】利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值．4.將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)f(x)，則A．f(x)在單調(diào)遞減

B．f(x)在單調(diào)遞減C．f(x)在單調(diào)遞增

D．f(x)在單調(diào)遞增參考答案：A5.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：C6.已知向量，滿足：，且（）．則向量與向量的夾角的最大值為

【

】A．

B．

C．

D．參考答案：7.已知a,b∈R,且ab≠0，則在下列四個(gè)不等式中，不恒成立的是(

)A. B.C. D.參考答案：B略8.設(shè)，是虛數(shù)學(xué)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念充分、必要條件A2L4B若a=0，b=0，則復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，所以充分性不滿足，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則必有a=0，所以必要性滿足，則選B.【思路點(diǎn)撥】判斷充分、必要條件，可先分清條件與結(jié)論，由條件能推出結(jié)論，則充分性滿足，由結(jié)論能推出條件，則必要性滿足.9.長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再相關(guān)向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行運(yùn)算．【解答】解析：建立坐標(biāo)系如圖．則A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2）．=（﹣1，0，2），A=（﹣1，2，1），cos＜＞═．所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為．故選B10.已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x|，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則求解．【解答】解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x|，∴a=f（log0.53）==3，b=f（log25）==5，c=f（0）=20=1，∴a，b，c的大小關(guān)系為c＜a＜b．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)f(z)=2z(cos+icos)，這里z是復(fù)數(shù)，用A表示原點(diǎn)，B表示f(1+i)，C表示點(diǎn)-，則∠ABC=

。參考答案：12.已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在區(qū)間[0，2]上存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是．參考答案：0＜m＜3+4【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在區(qū)間[0，2]上的最小值、最大值，由題意構(gòu)造不等式解得范圍．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求導(dǎo)f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]內(nèi)，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞增，則f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在區(qū)間[0，2]上存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形是構(gòu)成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案為：0＜m＜3+4．13.拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線方程為

▲

．參考答案：由橢圓方程可知，所以，即，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，所以。所以拋物線的方程為。14.下列選項(xiàng)敘述：

①.命題“若，則”的逆否命題是“若，則”

②.若命題：，則：

③.若為真命題，則，均為真命題

④.“”是“”的充分不必要條件其中正確命題的序號(hào)有＿＿＿＿＿＿＿參考答案：①②④15.若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)的值為

．參考答案：416.如圖，在直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn)，且，則

．參考答案：417.已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：(－2,1)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=ax2－(1+a)x+lnx(a≥0)．(1)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a=0時(shí)，關(guān)于x方程f(x)=mx在區(qū)間[1，e2]上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m取值范圍．參考答案：

19.如圖，是一個(gè)半圓柱與多面體ABB1A1C構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面，且，P為弧上（不與A1，B1重合）的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：PA1⊥平面；（2）若四邊形ABB1A1為正方形，且，，求二面角的余弦值.參考答案：解：（1）在半圓柱中，平面，所以.因?yàn)槭巧系酌鎸?duì)應(yīng)圓的直徑，所以.因?yàn)?，平面，，所以平?（2）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，.所以，.平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以可取，所以.由圖可知二面角為鈍角，所以所求二面角的余弦值為.

20.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙,是⊙的直徑，于點(diǎn),平分.

（Ⅰ）證明：是⊙的切線

（Ⅱ）如果,求.

參考答案：（Ⅰ）連結(jié)OA，則OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以O(shè)A∥即CE．因?yàn)锳E⊥CE，所以O(shè)A⊥AE．所以AE是⊙O的切線． ……5分21.某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式．（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】綜合題．【分析】（1）根據(jù)賣(mài)出一枝可得利潤(rùn)5元，賣(mài)不出一枝可得賠本5元，即可建立分段函數(shù)；（2）（i）X可取60，70，80，計(jì)算相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）求出進(jìn)17枝時(shí)當(dāng)天的利潤(rùn)，與購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)當(dāng)天的利潤(rùn)比較，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)n≥16時(shí)，y=16×（10﹣5）=80；當(dāng)n≤15時(shí)，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，當(dāng)日需求量n=14時(shí)，X=60，n=15時(shí)，X=70，其他情況X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列為X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)的期望為y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)模型的建立，考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．22.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D為AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC1⊥平面AB1C；（2）求證：BC1∥平面A1CD．參考答案：證明：（1）∵三棱柱ABC﹣A