小學(xué)數(shù)學(xué)講義暑假五年級(jí)第11講比例模型超常體系

第十一講比例模型站牌五年級(jí)秋季頭模型級(jí)秋季級(jí)暑假級(jí)暑假級(jí)春季形中面積與線段之間的關(guān)系.釋義第9級(jí)上超常體系教師版1引入論述化歸的:“這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)且早已解決了的問(wèn)題用它？”所謂“化歸”就是將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。本講中的比例模型就是幾何計(jì)算中提煉出來(lái)的一個(gè)行之有效的化歸們一起來(lái)學(xué)習(xí)它吧！目標(biāo)1.掌握最基本的比例模型;2.會(huì)用兩次或多次比例模型解決較復(fù)雜的幾何問(wèn)題;3.能夠構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題．精講比例模型:(1) 同底,面積比等于高之比．

(2)2 第9級(jí)上超常體系教師版 同高,面積比等于底之比．

SABD

這個(gè)結(jié)論看起來(lái)很簡(jiǎn)單,但在許多和三角形面積比有關(guān)的題目中都能發(fā)揮巨大的作用,因?yàn)樗讶切蔚拿娣e比轉(zhuǎn)化為了線段的比思路1如圖,已知三角形ABC的面積為70,AF:ED=7:3,則三角形BCD的面積是多少？

(學(xué)案對(duì)應(yīng):超常1)【分析】同底,面積比等于高之比,因此

SBCD70

2如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，D在線段BC上．第9級(jí)上超常體系教師版3 【分析】同高，面積比等于底之比，所以，3倍.3(1)如圖,SADE1,其中AB=3AD,AC=2AE,則SABC__. (2)如圖,三角形ABC中,AB=5AD,AC=3AE,SADE1,則SABC__.A D E D B C B (3)如圖,

SADE1,則

SABC__.D B (4)如圖,AE=AC,AD=2AB,SADE1,則SABC__.4 第9級(jí)上超常體系教師版E D E A B C (5)如圖,

SADE1,則

SABC__.E B (學(xué)案對(duì)應(yīng):超常2)【分析】(1)連接BE．∵AB=3AD,∴SABE3SADE313．=2ABC

2SABE

236．

ABE

AD AB∴

S

,∴

SABC

15SADE

3 SABC

SADE

SACD

∵AD=2AB,∴

SABC

SACD15 SABC 圍棋中有定式的說(shuō)法，在圍棋中定式的定義為：在局部戰(zhàn)斗中，用最穩(wěn)妥的順序，而且能經(jīng)得住以后的檢驗(yàn)，從而被固定下來(lái)的就是定式。圍棋定式是百年來(lái)高手在下棋過(guò)程中總結(jié)出來(lái)具有優(yōu)勢(shì)的下法，在象棋殘局和五子棋中也有很多定式，如單兵難破士象全等等，一。但在對(duì)弈過(guò)程中不能機(jī)械、簡(jiǎn)單地應(yīng)用定式，要根據(jù)場(chǎng)合選擇合適的定式，還要按棋理來(lái)變通下法。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中也是這樣，當(dāng)碰到難題、不熟悉的題目時(shí)，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)楹?jiǎn)單題、熟悉的題，從而使問(wèn)題得以解決。但不能機(jī)械套用，要注意變化，即不要出第9級(jí)上超常體系教師版54如圖,D是BC上任意一點(diǎn),請(qǐng)你說(shuō)明:

S:SS:SBD:DC S2 ES3

S1S4

【分析】三角形BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底，所以有S1:S4BD:DC

S:SED:EA；三角形ACE與三角形CED同高， S:SED:EA，所以

S:SS:S；再利用內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積可得

S:SS:S

S:SS:SBD:DC. 5:

__③

SBGC

__

(2)已知:

bkbk(0,k1),求 aka

(3) 13 , 2

S1S3SS2

(4)如下圖：則

SABD

SACDABC

DO(學(xué)案對(duì)應(yīng):帶號(hào)1)【分析】(1)①AG:GCSAGD:SDCG

1:3．6 第9級(jí)上超常體系教師版SS ; 1(1122) 3SS ; 1(11223) 3SS ; 1(112233) 4SS ． 1(1122334) 4ABGBCG

ABGBCG，即SBCG，那么

SBGC6.ABDBCD

12 (2) b(1k) aka

(3)OB6如圖,在三角形ABC中,H,I,J是AB的四等分點(diǎn);D,E,F,G是BC的五等分點(diǎn)．已知個(gè)小三角形的面積為多少

SBDH1,那么每一 DEFG 【分析】若干個(gè)比例模型．SDHE1;

SHEI112;

SEIF

1(112)2;

GAC 7如圖,BC45,AC21,ABC被分成9個(gè)面積相等的小三角形,那么DIFK 第9級(jí)上超常體系教師版7 SS 42 2 ． (學(xué)案對(duì)應(yīng):帶號(hào)3)【分析】由題意可知,CD:BCS :SACD

7:9

,所以CD4535

BD BC10;又DI:DCSDIF:SDFC

2:5

,所以

FK10,所以DIFK141024．8如圖,四邊形ABCD中,DE:EF:FC3:2:1,BG:GH:AH3:2:1,AD:BC1:2,已知四邊形ABCD的面積等于4,則四邊形EFHG的面積 E FC E FC

【分析】運(yùn)用三角形面積與底和高的關(guān)系解題．連接AC、AE、GC、GE,因?yàn)镈E:EF:FC

3:2:1

,BG:GH:AH

3:2:1

在ABC中,

S

SABC

AED

ACD

AEH

HEG

在CEG中,

SCFG

SBCGSAEDSAGCESABCD

SABCBCG

ACD

SACD

BCD

2,

SAGCE

SAEH

SHEG

SEFG

SHEG

SHEG

SEFG

SEFG

SHEG

SEFG

SEFGH 2 的面積占總面積的幾分之幾？8 第9級(jí)上超常體系教師版EF B EF

【分析】連接BD,ED,BH．由比例模型可知:BDEABD

BDH

SBEDHSABCD ．在,

SEFHG

SBEDH 23

ABCD

ABCD爬框已知乙螞蟻的速度和甲螞蟻的速度之比為:，求此長(zhǎng)方形框架的周長(zhǎng)。點(diǎn)總結(jié)比例模型:(1) 同底,面積比等于高之比．

(2)第9級(jí)上超常體系教師版9 同高,面積比等于底之比．

SABD

1.如圖,

CD

B E 【分析】如上圖,

3S =S 4

3243

1S =S 22.圖中三角形ABC的面積是180平方厘米,D是BC的中點(diǎn),AD=3AE,EF=3BF．那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？ 【分析

,ABC同高,所以面積的比為底的比,有

所以

18090

(平方厘米)．同理有

9030

3022.5

(米)．即三角形AEF的面積是22.5平方厘米．3.在右圖中,已知CF2DF,DEEA,△BCF的面積為2,四邊形BFDE的面積為4,求△ABE的面10第9級(jí)上超常體系教師版積. 【分析】連接BD,根據(jù)CF2DF,

△BDF

S△BCF

21

,因此

△ABE

S△BDE

4.如圖,S△ABC1BCBD,AC4EC,DGGSSE,AFFG．求SFGS．AFG S B D【分析】比例模型(同高)的反復(fù)應(yīng)用．最后求得

S△FGS

21

作業(yè)1.如圖,E在AD上,AD垂直BC,AD12厘米,DE3厘米．求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？

高,ED是三角形EBC的高,于是:三角形ABC的面積BC122BC6三角形EBC的面積BC32BC1.5所以三角形ABC的面積是三角形EBC的面積的4倍．2.如圖,三角形ABC中,DC2BD,CE3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米,三角形ABC的面積是多少？第9級(jí)上超常體系教師版11AEB D 【分析】∵CE3AE,∴AC4AE,SADC4SADE;

S

SADC

6

3.如圖在

△

中,D,E分別是

AB,AC上的點(diǎn),且

AD:AB

2:5

,AE:AC

4:7

△ADE

平方厘米,求△ABC的面積． 【分析】連接

△ADE △ABE

AD:AB

2:5(24):(54)

△ABE△ABC

AE:AC

4:7(45):(75)

,所以 △ADE △ABC

(24):(75)△ADE

份,則S△ABC△ADE

16平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,△ABC的面積是70平方厘米4.如圖,三角形ABC被分成四個(gè)小三角形,其中三個(gè)小三角形的面積在圖中已經(jīng)標(biāo)出,那么三角形ABC的總面積為多少？12B 【分析 , 5.圖中的四邊形土地的總面積是52公頃,兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形,其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？12第9級(jí)上超常體系教師版D6 E A 【分析】由比例可知,三角形ABE的面積最大．

SABE76

(5267)216.等腰ABC中,ABAC12cm,BD、DE、EF、FG把它的面積5等分,求AF、FD、DC、AG、GE、EB的長(zhǎng).

【分析】設(shè)

SABC5,則每個(gè)小三角形面積都是1.

BDE

5112

7.如圖,一個(gè)邊長(zhǎng)為120cm的等邊三角形被分成了面積相等的五塊,那么,AB=______cm. C 【分析】如右上圖,△ACE是△CDE面積的3倍,所以AC=3CD,AC=120÷4×3=90cm,易知AB=BC,所以=908.如圖,四邊形ABCD中,AE:EF:FB=1:2:4,CH:GH:GD=1:2:4,已知四邊形EFHG的面積等于20,則四邊形ABCD的面積= D G H 【分析】同例題分析．陰影部分占全部圖形的62220．因此總面積為7076 第9級(jí)上超常體系教師版13班學(xué)案【超常班學(xué)案1】如圖四邊形土地的總面積是48平方米,三條線把它分成了4個(gè)小三角形,其中2個(gè)小三角形的面積分別是7平方米和9平方米．那么最大的一個(gè)三角形的面積是________平方米.底,．因此最大的三角形的面積為97(4879)18(平方米)【超常班學(xué)案2】如圖,三角形ABC被分成了甲、乙兩部分,BDDC4,BE3,AE6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾 甲D 【分析】連接AD．∵BE3,AE6,BE

BDE

又∵BDDC4,

S

SABC

BDE

ABD

【超常班學(xué)案3】如圖,在三角形ABC中,H,I,J是AB的四等分點(diǎn);D,E,F,G是BC的五等分點(diǎn)．已知SABC1,那么每一個(gè)小三角形的面積為多少？14第9級(jí)上超常體系教師版SS ; 1(1122) 3SS ; 1(11223) 3SS ; 1(112233) 4SS ． 1(1122334) 4 DEFG SDHE1;

SHEI112;

SEIF

1(112)2;

:20,110,10,20,203,15,1法2:從右往左計(jì)算．SAGC

SABC SAJG (1) SJFG (1) ．依次類推 20,10,【超常班學(xué)案4】如圖,四邊形ABCD中,E,F,G為AB的四等分點(diǎn)．H,I,J為CD的四等分點(diǎn)．其中兩．A EFG 0.80.9D H I J ,1第9級(jí)上超常體系教師版15123班學(xué)案

AO1,并且ABDSCBD

A O 【分析】ABD