2020-2021學年新教材高中數(shù)學453函數(shù)模型的應(yīng)用課件新人教A版必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用2020_2021學年新教材高中數(shù)學453函數(shù)模型的應(yīng)用課件新人教A版必修第一冊必備知識·自主學習1.指數(shù)函數(shù)型模型(1)表達形式：f(x)=_____.(2)條件：a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1.導(dǎo)思在現(xiàn)實生活中，你見過哪些實際問題符合我們學過的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律？abx+c必備知識·自主學習1.指數(shù)函數(shù)型模型導(dǎo)思在現(xiàn)實生活中，你見過2.對數(shù)函數(shù)型模型(1)表達形式：f(x)=________.(2)條件：m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1.(3)本質(zhì)：現(xiàn)實生活中的實際問題符合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)變化規(guī)律.(4)應(yīng)用：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.mlogax+n2.對數(shù)函數(shù)型模型mlogax+n【思考】(1)我們常說指數(shù)增長、指數(shù)爆炸，對于指數(shù)型函數(shù)模型，還有沒有別的變化方式？提示：有，還有指數(shù)衰減.(2)我們知道當?shù)讛?shù)大于1時，對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，那么當?shù)讛?shù)小于1時，對數(shù)函數(shù)的變化有何特點？提示：當?shù)讛?shù)小于1時，對數(shù)函數(shù)的遞減速度越來越慢.【思考】【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)解決某一實際問題的函數(shù)模型是唯一的. (

)(2)對于一個實際問題，收集到的數(shù)據(jù)越多，建立的函數(shù)模型的模擬效果越好. (

)(3)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，結(jié)合已知的函數(shù)選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，這樣得到的函數(shù)模型的模擬效果較好. (

)【基礎(chǔ)小測】提示：(1)×.對于一個實際問題，可以選擇不同的函數(shù)模型，只是模擬效果有區(qū)別.(2)√.數(shù)據(jù)越多，模擬效果越好.(3)√.根據(jù)散點圖選擇函數(shù)模型，針對性較強，得到的函數(shù)模型的模擬效果較好.提示：(1)×.對于一個實際問題，可以選擇不同的函數(shù)模型，只2.數(shù)學學習的最終目標：讓學習者會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界.“雙11”期間，電商的優(yōu)惠活動很多，某同學借助于已學數(shù)學知識對“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動進行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價為a元，商家準備在節(jié)前連續(xù)2次對該商品進行提價且每次提價10%，然后在“雙11”活動期間連續(xù)2次對該商品進行降價且每次降價10%.該同學得到結(jié)論：最后該商品的價格與原來價格a元相比 (

)A.相等 B.略有提高C.略有降低 D.無法確定2.數(shù)學學習的最終目標：讓學習者會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)【解析】選C.商品的現(xiàn)價為：a(1+10%)2(1-10%)2=(1-0.01)2a<a，因此價格略有降低.【解析】選C.商品的現(xiàn)價為：a(1+10%)2(1-10%)3.(教材二次開發(fā)：例題改編)放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化.常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话?，所?jīng)歷的時間稱為它的半衰期，記為，剩余質(zhì)量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系是A(t)=.現(xiàn)測得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時間t變化的6次數(shù)據(jù)如下：t(單位時間)0246810A(t)32022616011580573.(教材二次開發(fā)：例題改編)t(單位時間)0246810A從以上記錄可知這種元素的半衰期約為_______個單位時間，剩余質(zhì)量隨時間變化的衰變公式為A(t)=_______.

【解析】從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個單位時間，由初始質(zhì)量為A0=320，則經(jīng)過時間t的剩余質(zhì)量為A(t)=A0·=320·(t≥0).答案：4

320·(t≥0)從以上記錄可知這種元素的半衰期約為_______個單位時間，關(guān)鍵能力·合作學習類型一應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)【題組訓練】

1.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))，若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是_______小時. (

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A.22 B.23 C.24 D.33關(guān)鍵能力·合作學習類型一應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學2.(2020·株洲高一檢測)英國物理學家和數(shù)學家艾薩克·牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.現(xiàn)把一杯溫水放在空氣中冷卻，假設(shè)這杯水從開始冷卻，x分鐘后物體的溫度f(x)滿足：f(x)=15+.則從開始冷卻，經(jīng)過5分鐘時間這杯水的溫度是_______.

2.(2020·株洲高一檢測)英國物理學家和數(shù)學家艾薩克·牛【解析】1.選C.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))，該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，所以解得e11k=，所以該食品在33℃的保鮮時間：y=e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(小時).2.f(5)=15+50=15+50×(℃).答案：【解析】1.選C.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度【解題策略】利用已知函數(shù)模型解決實際問題(1)首先確定已知函數(shù)模型解析式中的未知參數(shù)；(2)利用已知函數(shù)模型相關(guān)的運算性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)解決實際問題；(3)涉及較為復(fù)雜的指數(shù)運算時，常常利用等式的兩邊取對數(shù)的方法，將指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算.【解題策略】【補償訓練】光線通過一塊玻璃，強度要損失10%.設(shè)光線原來的強度為k，通過x塊這樣的玻璃以后強度為y，則經(jīng)過x塊這樣的玻璃后光線強度為：y=k·0.9x，那么至少通過_____塊這樣的玻璃，光線強度能減弱到原來的以下(lg3≈0.477，lg2≈0.3) (

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A.12 B.13 C.14 D.15【補償訓練】【解析】選C.光線經(jīng)過1塊玻璃后，強度變?yōu)閥=(1-10%)k=0.9k，光線經(jīng)過2塊玻璃后，強度變?yōu)閥=(1-10%)0.9k=0.92k，光線經(jīng)過x塊玻璃后，強度變?yōu)閥=0.9xk.由題意0.9xk<，即0.9x<，兩邊同取對數(shù)，可得xlg0.9<lg，因為lg0.9<lg1=0，所以x>≈13.04，因為x∈N+，所以xmin=14.即至少通過14塊玻璃.【解析】選C.光線經(jīng)過1塊玻璃后，強度變?yōu)閥=(1-10%)類型二建立函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)【典例】為落實國家“精準扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2017年在其扶貧基地投入100萬元研發(fā)資金，用于蔬菜的種植及開發(fā)，并計劃今后十年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長10%.(1)寫出第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；(2)該企業(yè)從第幾年開始(2018年為第一年)，每年投入的資金數(shù)將超過200萬元？(參考數(shù)據(jù)lg0.11≈-0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301)類型二建立函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)四步內(nèi)容理解題意條件：2017年投入100萬元，十年內(nèi)每年投資增長率為10%結(jié)論：(1)寫出投入資金y與第x年的函數(shù)關(guān)系式及定義域(2)哪一年開始投入資金超過200萬元思路探求該企業(yè)投入資金的增長符合指數(shù)函數(shù)模型，先確定函數(shù)模型的關(guān)系式，再利用該函數(shù)模型解決問題四步內(nèi)容理解條件：2017年投入100萬元，十年內(nèi)每年投資增2020_2021學年新教材高中數(shù)學453函數(shù)模型的應(yīng)用課件新人教A版必修第一冊題后反思指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型是常用的函數(shù)模型，可直接設(shè)出或利用待定系數(shù)法求關(guān)系式.運算是關(guān)鍵也是難點.題后指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型是常用的函數(shù)模型，可直接設(shè)出或利用待定【解題策略】有關(guān)指數(shù)增長(衰減)問題(1)熟練應(yīng)用公式a(1±x)n，a>0，0<x<1，特別是增長(衰減)次數(shù)，審清如年初、年底等字眼.(2)對于比較復(fù)雜的問題，可以通過寫出前三、四次的表達式，找出規(guī)律后再寫第n次的.【解題策略】【跟蹤訓練】有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬噸，2016年的年增長率為50%，有專家預(yù)測，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長率增長，從第幾年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)【跟蹤訓練】【解析】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2015年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得y=400×(1+50%)n=400×，當y=4000時，有=10，兩邊取對數(shù)可得n(lg3-lg2)=1，所以n(0.4771-0.3010)=1，0.1761n=1，解得n≈6，所以從2015+6=2021年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.【解析】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2015年類型三實際問題中函數(shù)模型的選擇問題(數(shù)學建模)角度1根據(jù)費用(利潤)選擇函數(shù)模型

【典例】(2020·南京高一檢測)運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時，500千米/小時，每千米的運費分別為：20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(m>0)，運輸?shù)穆烦虨閟(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為y1(元)、y2(元)、y3(元).類型三實際問題中函數(shù)模型的選擇問題(數(shù)學建模)(1)請分別寫出y1，y2，y3的表達式.(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.【思路導(dǎo)引】(1)運輸總費用=每千米的費用×s+m×.(2)利用y1，y2，y3的表達式比較費用的大小.(1)請分別寫出y1，y2，y3的表達式.【解析】(1)y1=20s+，y2=10s+，y3=50s+.(2)因為m>0，s>0，故20s>10s，，所以y1>y2恒成立，故只需比較y2與y3的大小關(guān)系即可.令f(s)=y3-y2=40s-，故當40->0即m<時，f(s)>0，即y2<y3，此時選擇火車運輸費用最省；當40-<0即m>時，f(s)<0，即y2>y3，此時選擇飛機運輸費用最??；【解析】(1)y1=20s+，y2=10s+，當40-=0即m=時，f(s)=0，即y2=y3，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.當40-=0即m=時，f(s)=0，【變式探究】每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式、各種規(guī)模的義務(wù)植樹活動.某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，計劃今后5年內(nèi)擴大樹木面積，有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上年增加9%.你覺得哪個方案較好？【變式探究】【解析】(方案一)5年后樹木面積是10+1×5=15(萬平方米).(方案二)5年后樹木面積是10(1+9%)5≈15.386(萬平方米).因為15.386>15，所以方案二較好.【解析】(方案一)5年后樹木面積是10+1×5=15(萬平方角度2根據(jù)模擬效果選擇函數(shù)模型

【典例】(2020·鹽城高一檢測)據(jù)調(diào)查：人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據(jù)測，2015年、2016年、2017年大氣中的CO2濃度分別比2014年增加了1個單位、3個單位、6個單位.若用一個函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y=px2+qx+r(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)y=a·bx+c(其中a，b，c為常數(shù))，又知2018年大氣中的CO2濃度比2014年增加了16.5個單位，請問用以上哪個函數(shù)作模擬函數(shù)較好？角度2根據(jù)模擬效果選擇函數(shù)模型

【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)已知條件確定兩個模擬函數(shù)的解析式，再利用2018年的測量值檢驗?zāi)M效果.【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)已知條件確定兩個模擬函數(shù)的解析式，再利用【解析】若以f(x)=px2+qx+r作模擬函數(shù)，則依題意得：解得所以f(x)=x2+x.若以g(x)=a·bx+c作模擬函數(shù)，則解得所以g(x)=-3.【解析】若以f(x)=px2+qx+r作模擬函數(shù)，利用f(x)，g(x)對2018年CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f(4)=10單位，g(4)=10.5單位，因為|f(4)-16.5|>|g(4)-16.5|，故g(x)=-3作模擬函數(shù)與2018年的實際數(shù)據(jù)較為接近，用g(x)=-3作模擬函數(shù)較好.利用f(x)，g(x)對2018年CO2濃度作估算，【解題策略】函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖.(2)通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線.(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制，為決策和管理提供依據(jù).【解題策略】【題組訓練】1.(2020·南通高一檢測)已知某觀光海域AB段的長度為3百公里，一超級快艇在AB段航行，經(jīng)過多次試驗得到其每小時航行費用Q(單位：萬元)與速度v(單位：百公里/小時)(0≤v≤3)的以下數(shù)據(jù)：v0123Q00.71.63.3【題組訓練】v0123Q00.71.63.3為描述該超級快艇每小時航行費用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=klogav+b.(1)試從中確定最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)該超級快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費用最少？并求出最少航行費用.為描述該超級快艇每小時航行費用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種【解析】(1)若選擇函數(shù)模型Q=0.5v+a，則該函數(shù)在v∈[0，3]上單調(diào)遞減，這與試驗數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型，若選擇函數(shù)模型Q=klogav+b，需v>0，這與試驗數(shù)據(jù)在v=0時有意義矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型；從而只能選擇函數(shù)模型Q=av3+bv2+cv，由試驗數(shù)據(jù)得a+b+c=0.7，①8a+4b+2c=1.6，②27a+9b+3c=3.3，③聯(lián)立①②③解得：a=0.1，b=-0.2，c=0.8；故所求函數(shù)解析式為Q=0.1v3-0.2v2+0.8v(0≤v≤3).【解析】(1)若選擇函數(shù)模型Q=0.5v+a，則該函數(shù)在v∈(2)設(shè)超級快艇在AB段的航行費用為y(萬元)，則所需時間為(小時)，其中：0<v≤3，結(jié)合(1)知，y=(0.1v3-0.2v2+0.8v)=0.3[(v-1)2+7]，所以當v=1時，ymin=2.1(萬元).故該超級快艇應(yīng)以1百公里/小時的速度航行才能使AB段的航行費用最少，為2.1萬元.(2)設(shè)超級快艇在AB段的航行費用為y(萬元)，2.李莊村某社區(qū)電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度，每度0.4元，超過30度時，超過部分按每度0.5元.方案二：不收管理費，每度0.48元.(1)求方案一收費L(x)元與用電量x(度)間的函數(shù)關(guān)系.(2)小李家九月份按方案一交費34元，問小李家該月用電多少度？(3)小李家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？2.李莊村某社區(qū)電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：【解析】(1)當0≤x≤30時，L(x)=2+0.4x；當x>30時，L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1，所以L(x)=(2)當0≤x≤30時，由L(x)=2+0.4x=34，解得x=80，舍去；當x>30時，由L(x)=0.5x-1=34，解得x=70，所以小李家該月用電70度.【解析】(1)當0≤x≤30時，L(x)=2+0.4x；(3)設(shè)按方案二收費為F(x)元，則F(x)=0.48x，當0≤x≤30時，由L(x)<F(x)，解得：2+0.4x<0.48x，解得：x>25，所以25<x≤30；當x>30時，由L(x)<F(x)，得：0.5x-1<0.48x，解得：x<50，所以30<x<50；(3)設(shè)按方案二收費為F(x)元，則F(x)=0.48x，當綜上，當25<x<50時，L(x)<F(x).故小李家月用電量在25度到50度范圍內(nèi)(不含25度、50度)時，選擇方案一比方案二更好.綜上，當25<x<50時，L(x)<F(x).課堂檢測·素養(yǎng)達標1.某網(wǎng)站開展了以核心價值觀為主題的系列宣傳活動，并將“社會主義核心價值觀”作為關(guān)鍵詞便于網(wǎng)民搜索.此后，該網(wǎng)站的點擊量每月都比上月增長50%，那么4個月后，該網(wǎng)站的點擊量和原來相比，增長為原來的 (

)A.2倍以上，但不超過3倍B.3倍以上，但不超過4倍C.4倍以上，但不超過5倍D.5倍以上，但不超過6倍課堂檢測·素養(yǎng)達標1.某網(wǎng)站開展了以核心價值觀為主題的系列宣【解析】選D.4個月后網(wǎng)站點擊量變?yōu)樵瓉淼乃允?倍以上，但不超過6倍.【解析】選D.4個月后網(wǎng)站點擊量變?yōu)樵瓉淼?.隨著新冠肺炎疫情在國內(nèi)已經(jīng)可控，部分商場開始重新營業(yè).某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物：(1)如不超過200元，則不予優(yōu)惠；(2)如超過200元但不超過500元，則全款按9折優(yōu)惠；(3)如超過500元，其中500元按9折給予優(yōu)惠，超過500元的部分按8折給予優(yōu)惠.某人兩次去購物，分別付款168元和423元，若他只去一次購買同樣價格的商品，則應(yīng)付款 (

)A.472.8元 B.510.4元 C.522.8元 D.560.4元2.隨著新冠肺炎疫情在國內(nèi)已經(jīng)可控，部分商場開始重新營業(yè).某【解析】選D.購物500元應(yīng)付款500×0.9=450(元)，設(shè)第二次購物的原價為a，則200<a<500，故0.9a=423，解得a=470.故兩次購物原價為168+470=638(元).若一次購物638元，則應(yīng)付款500×0.9+138×0.8=560.4(元).【解析】選D.購物500元應(yīng)付款500×0.9=450(元)3.某種高耗能產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的速度遞減，那么經(jīng)過x年(x∈N+)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足 (

)A.y=a(1-5%x) B.y=a+5%C.y=a(1-5%)x-1 D.y=a(1-5%)x【解析】選D.經(jīng)過1年，y=a(1-5%)，經(jīng)過2年，y=a(1-5%)2，…，經(jīng)過x年，y=a(1-5%)x.3.某種高耗能產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的速度遞減，那4.某種細菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍，且該種細菌的繁殖規(guī)律為y=ekt，其中k為常數(shù)，t表示時間(單位：小時)，y表示繁殖后細菌總個數(shù)，經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖，個數(shù)變?yōu)開______.

【解析】由題意知，當t=時，y=2，即2=，所以k=2ln2，所以y=e2tln2.當t=5時，y=e2×5×ln2=210=1024.即經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖，個數(shù)變?yōu)?024.答案：10244.某種細菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍，且該種細菌的繁殖規(guī)5.(教材二次開發(fā)：例題改編)已知C14的半衰期為5730年(是指經(jīng)過5730年后，C14的殘余量占原始量的一半).設(shè)C14的原始量為a，經(jīng)過x年后的殘余量為b，殘余量b與原始量a的關(guān)系如下：b=ae-kx，其中x表示經(jīng)過的時間，k為一個常數(shù).現(xiàn)測得湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土時C14的殘余量約占原始量的76.7%.請你推斷一下馬王堆漢墓的大致年代為距今_______年.(已知log20.767≈-0.4，ln2≈0.69)

5.(教材二次開發(fā)：例題改編)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用2020_2021學年新教材高中數(shù)學453函數(shù)模型的應(yīng)用課件新人教A版必修第一冊必備知識·自主學習1.指數(shù)函數(shù)型模型(1)表達形式：f(x)=_____.(2)條件：a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1.導(dǎo)思在現(xiàn)實生活中，你見過哪些實際問題符合我們學過的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律？abx+c必備知識·自主學習1.指數(shù)函數(shù)型模型導(dǎo)思在現(xiàn)實生活中，你見過2.對數(shù)函數(shù)型模型(1)表達形式：f(x)=________.(2)條件：m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1.(3)本質(zhì)：現(xiàn)實生活中的實際問題符合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)變化規(guī)律.(4)應(yīng)用：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.mlogax+n2.對數(shù)函數(shù)型模型mlogax+n【思考】(1)我們常說指數(shù)增長、指數(shù)爆炸，對于指數(shù)型函數(shù)模型，還有沒有別的變化方式？提示：有，還有指數(shù)衰減.(2)我們知道當?shù)讛?shù)大于1時，對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，那么當?shù)讛?shù)小于1時，對數(shù)函數(shù)的變化有何特點？提示：當?shù)讛?shù)小于1時，對數(shù)函數(shù)的遞減速度越來越慢.【思考】【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)解決某一實際問題的函數(shù)模型是唯一的. (

)(2)對于一個實際問題，收集到的數(shù)據(jù)越多，建立的函數(shù)模型的模擬效果越好. (

)(3)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，結(jié)合已知的函數(shù)選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，這樣得到的函數(shù)模型的模擬效果較好. (

)【基礎(chǔ)小測】提示：(1)×.對于一個實際問題，可以選擇不同的函數(shù)模型，只是模擬效果有區(qū)別.(2)√.數(shù)據(jù)越多，模擬效果越好.(3)√.根據(jù)散點圖選擇函數(shù)模型，針對性較強，得到的函數(shù)模型的模擬效果較好.提示：(1)×.對于一個實際問題，可以選擇不同的函數(shù)模型，只2.數(shù)學學習的最終目標：讓學習者會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界.“雙11”期間，電商的優(yōu)惠活動很多，某同學借助于已學數(shù)學知識對“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動進行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價為a元，商家準備在節(jié)前連續(xù)2次對該商品進行提價且每次提價10%，然后在“雙11”活動期間連續(xù)2次對該商品進行降價且每次降價10%.該同學得到結(jié)論：最后該商品的價格與原來價格a元相比 (

)A.相等 B.略有提高C.略有降低 D.無法確定2.數(shù)學學習的最終目標：讓學習者會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)【解析】選C.商品的現(xiàn)價為：a(1+10%)2(1-10%)2=(1-0.01)2a<a，因此價格略有降低.【解析】選C.商品的現(xiàn)價為：a(1+10%)2(1-10%)3.(教材二次開發(fā)：例題改編)放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化.常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)歷的時間稱為它的半衰期，記為，剩余質(zhì)量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系是A(t)=.現(xiàn)測得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時間t變化的6次數(shù)據(jù)如下：t(單位時間)0246810A(t)32022616011580573.(教材二次開發(fā)：例題改編)t(單位時間)0246810A從以上記錄可知這種元素的半衰期約為_______個單位時間，剩余質(zhì)量隨時間變化的衰變公式為A(t)=_______.

【解析】從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個單位時間，由初始質(zhì)量為A0=320，則經(jīng)過時間t的剩余質(zhì)量為A(t)=A0·=320·(t≥0).答案：4

320·(t≥0)從以上記錄可知這種元素的半衰期約為_______個單位時間，關(guān)鍵能力·合作學習類型一應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)【題組訓練】

1.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))，若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是_______小時. (

)

A.22 B.23 C.24 D.33關(guān)鍵能力·合作學習類型一應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學2.(2020·株洲高一檢測)英國物理學家和數(shù)學家艾薩克·牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.現(xiàn)把一杯溫水放在空氣中冷卻，假設(shè)這杯水從開始冷卻，x分鐘后物體的溫度f(x)滿足：f(x)=15+.則從開始冷卻，經(jīng)過5分鐘時間這杯水的溫度是_______.

2.(2020·株洲高一檢測)英國物理學家和數(shù)學家艾薩克·牛【解析】1.選C.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))，該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，所以解得e11k=，所以該食品在33℃的保鮮時間：y=e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(小時).2.f(5)=15+50=15+50×(℃).答案：【解析】1.選C.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度【解題策略】利用已知函數(shù)模型解決實際問題(1)首先確定已知函數(shù)模型解析式中的未知參數(shù)；(2)利用已知函數(shù)模型相關(guān)的運算性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)解決實際問題；(3)涉及較為復(fù)雜的指數(shù)運算時，常常利用等式的兩邊取對數(shù)的方法，將指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算.【解題策略】【補償訓練】光線通過一塊玻璃，強度要損失10%.設(shè)光線原來的強度為k，通過x塊這樣的玻璃以后強度為y，則經(jīng)過x塊這樣的玻璃后光線強度為：y=k·0.9x，那么至少通過_____塊這樣的玻璃，光線強度能減弱到原來的以下(lg3≈0.477，lg2≈0.3) (

)

A.12 B.13 C.14 D.15【補償訓練】【解析】選C.光線經(jīng)過1塊玻璃后，強度變?yōu)閥=(1-10%)k=0.9k，光線經(jīng)過2塊玻璃后，強度變?yōu)閥=(1-10%)0.9k=0.92k，光線經(jīng)過x塊玻璃后，強度變?yōu)閥=0.9xk.由題意0.9xk<，即0.9x<，兩邊同取對數(shù)，可得xlg0.9<lg，因為lg0.9<lg1=0，所以x>≈13.04，因為x∈N+，所以xmin=14.即至少通過14塊玻璃.【解析】選C.光線經(jīng)過1塊玻璃后，強度變?yōu)閥=(1-10%)類型二建立函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)【典例】為落實國家“精準扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2017年在其扶貧基地投入100萬元研發(fā)資金，用于蔬菜的種植及開發(fā)，并計劃今后十年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長10%.(1)寫出第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；(2)該企業(yè)從第幾年開始(2018年為第一年)，每年投入的資金數(shù)將超過200萬元？(參考數(shù)據(jù)lg0.11≈-0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301)類型二建立函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)四步內(nèi)容理解題意條件：2017年投入100萬元，十年內(nèi)每年投資增長率為10%結(jié)論：(1)寫出投入資金y與第x年的函數(shù)關(guān)系式及定義域(2)哪一年開始投入資金超過200萬元思路探求該企業(yè)投入資金的增長符合指數(shù)函數(shù)模型，先確定函數(shù)模型的關(guān)系式，再利用該函數(shù)模型解決問題四步內(nèi)容理解條件：2017年投入100萬元，十年內(nèi)每年投資增2020_2021學年新教材高中數(shù)學453函數(shù)模型的應(yīng)用課件新人教A版必修第一冊題后反思指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型是常用的函數(shù)模型，可直接設(shè)出或利用待定系數(shù)法求關(guān)系式.運算是關(guān)鍵也是難點.題后指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型是常用的函數(shù)模型，可直接設(shè)出或利用待定【解題策略】有關(guān)指數(shù)增長(衰減)問題(1)熟練應(yīng)用公式a(1±x)n，a>0，0<x<1，特別是增長(衰減)次數(shù)，審清如年初、年底等字眼.(2)對于比較復(fù)雜的問題，可以通過寫出前三、四次的表達式，找出規(guī)律后再寫第n次的.【解題策略】【跟蹤訓練】有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬噸，2016年的年增長率為50%，有專家預(yù)測，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長率增長，從第幾年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)【跟蹤訓練】【解析】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2015年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得y=400×(1+50%)n=400×，當y=4000時，有=10，兩邊取對數(shù)可得n(lg3-lg2)=1，所以n(0.4771-0.3010)=1，0.1761n=1，解得n≈6，所以從2015+6=2021年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會超過4000萬噸.【解析】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2015年類型三實際問題中函數(shù)模型的選擇問題(數(shù)學建模)角度1根據(jù)費用(利潤)選擇函數(shù)模型

【典例】(2020·南京高一檢測)運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時，500千米/小時，每千米的運費分別為：20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(m>0)，運輸?shù)穆烦虨閟(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為y1(元)、y2(元)、y3(元).類型三實際問題中函數(shù)模型的選擇問題(數(shù)學建模)(1)請分別寫出y1，y2，y3的表達式.(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.【思路導(dǎo)引】(1)運輸總費用=每千米的費用×s+m×.(2)利用y1，y2，y3的表達式比較費用的大小.(1)請分別寫出y1，y2，y3的表達式.【解析】(1)y1=20s+，y2=10s+，y3=50s+.(2)因為m>0，s>0，故20s>10s，，所以y1>y2恒成立，故只需比較y2與y3的大小關(guān)系即可.令f(s)=y3-y2=40s-，故當40->0即m<時，f(s)>0，即y2<y3，此時選擇火車運輸費用最??；當40-<0即m>時，f(s)<0，即y2>y3，此時選擇飛機運輸費用最省；【解析】(1)y1=20s+，y2=10s+，當40-=0即m=時，f(s)=0，即y2=y3，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.當40-=0即m=時，f(s)=0，【變式探究】每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式、各種規(guī)模的義務(wù)植樹活動.某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，計劃今后5年內(nèi)擴大樹木面積，有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上年增加9%.你覺得哪個方案較好？【變式探究】【解析】(方案一)5年后樹木面積是10+1×5=15(萬平方米).(方案二)5年后樹木面積是10(1+9%)5≈15.386(萬平方米).因為15.386>15，所以方案二較好.【解析】(方案一)5年后樹木面積是10+1×5=15(萬平方角度2根據(jù)模擬效果選擇函數(shù)模型

【典例】(2020·鹽城高一檢測)據(jù)調(diào)查：人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據(jù)測，2015年、2016年、2017年大氣中的CO2濃度分別比2014年增加了1個單位、3個單位、6個單位.若用一個函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y=px2+qx+r(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)y=a·bx+c(其中a，b，c為常數(shù))，又知2018年大氣中的CO2濃度比2014年增加了16.5個單位，請問用以上哪個函數(shù)作模擬函數(shù)較好？角度2根據(jù)模擬效果選擇函數(shù)模型

【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)已知條件確定兩個模擬函數(shù)的解析式，再利用2018年的測量值檢驗?zāi)M效果.【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)已知條件確定兩個模擬函數(shù)的解析式，再利用【解析】若以f(x)=px2+qx+r作模擬函數(shù)，則依題意得：解得所以f(x)=x2+x.若以g(x)=a·bx+c作模擬函數(shù)，則解得所以g(x)=-3.【解析】若以f(x)=px2+qx+r作模擬函數(shù)，利用f(x)，g(x)對2018年CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f(4)=10單位，g(4)=10.5單位，因為|f(4)-16.5|>|g(4)-16.5|，故g(x)=-3作模擬函數(shù)與2018年的實際數(shù)據(jù)較為接近，用g(x)=-3作模擬函數(shù)較好.利用f(x)，g(x)對2018年CO2濃度作估算，【解題策略】函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖.(2)通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線.(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制，為決策和管理提供依據(jù).【解題策略】【題組訓練】1.(2020·南通高一檢測)已知某觀光海域AB段的長度為3百公里，一超級快艇在AB段航行，經(jīng)過多次試驗得到其每小時航行費用Q(單位：萬元)與速度v(單位：百公里/小時)(0≤v≤3)的以下數(shù)據(jù)：v0123Q00.71.63.3【題組訓練】v0123Q00.71.63.3為描述該超級快艇每小時航行費用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=klogav+b.(1)試從中確定最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)該超級快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費用最少？并求出最少航行費用.為描述該超級快艇每小時航行費用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種【解析】(1)若選擇函數(shù)模型Q=0.5v+a，則該函數(shù)在v∈[0，3]上單調(diào)遞減，這與試驗數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型，若選擇函數(shù)模型Q=klogav+b，需v>0，這與試驗數(shù)據(jù)在v=0時有意義矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型；從而只能選擇函數(shù)模型Q=av3+bv2+cv，由試驗數(shù)據(jù)得a+b+c=0.7，①8a+4b+2c=1.6，②27a+9b+3c=3.3，③聯(lián)立①②③解得：a=0.1，b=-0.2，c=0.8；故所求函數(shù)解析式為Q=0.1v3-0.2v2+0.8v(0≤v≤3).【解析】(1)若選擇函數(shù)模型Q=0.5v+a，則該函數(shù)在v∈(2)設(shè)超級快艇在AB段的航行費用為y(萬元)，則所需時間為(小時)，其中：0<v≤3，結(jié)合(1)知，y=(0.1v3-0.2v2+0.8v)=0.3[(v-1)2+7]，所以當v=1時，ymin=2.1(萬元).故該超級快艇應(yīng)以1百公里/小時的速度航行才能使AB段的航行費用最少，為2.1萬元.(2)設(shè)超級快艇在AB段的航行費用為y(萬元)，2.李莊村某社區(qū)電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度，每度0.4元，超過30度時，超過部分按每度0.5元.方案二：不收管理費，每度0.48元.(1)求方案一收費L(x)元與用電量x(度)間的函數(shù)關(guān)系.(2)小李家九月份按方案一交費34元，問小李家該月用電多少度？(3)小李家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？2.李莊村某社區(qū)電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：【解析】(1)當0≤x≤30時，L(x)=2+0.4x；當x>30時，L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1，所以L(x)=(2)當0≤x≤30時，由L(x)=2+0.4x=34，解得x=80，舍去；當x>30時，由L(x)=0.5x-1=34，解得x=70，所以小李家該月用電70度.【解析】