2023學(xué)年湖南省長郡中學(xué)高考數(shù)學(xué)三模試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，，則（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．3．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，且，，則（）A． B． C． D．4．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．5．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．6．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，，，為拋物線上三點(diǎn)，若，則（）.A．9 B．6 C． D．7．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．108．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度9．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-110．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．11．某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（）A． B． C． D．12．已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積為______.14．函數(shù)的最大值與最小正周期相同，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______.15．設(shè)集合，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為______．16．執(zhí)行以下語句后，打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知：，：，：.（1）求與的極坐標(biāo)方程（2）若與交于點(diǎn)A，與交于點(diǎn)B，，求的最大值.18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.19．（12分）某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，在進(jìn)場購物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？若在購物體驗(yàn)滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品，求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并說明理由；（Ⅱ）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成的角．21．（12分）在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大??；（2）若，為外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值.22．（10分）已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【答案解析】

原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【題目詳解】解：由及正弦定理得.因?yàn)?，所以代入上式化簡?由于，所以.又，故.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.2、C【答案解析】

由程序語言依次計(jì)算，直到時(shí)輸出即可【題目詳解】程序的運(yùn)行過程為當(dāng)n=2時(shí)，時(shí)，，此時(shí)輸出.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題3、A【答案解析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及，計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)?所以，所以，故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.4、C【答案解析】

過作于，連接，易知，，從而可證平面，進(jìn)而可知，當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，可得，再由，求出的最大值即可.【題目詳解】在和中，，所以，則，過作于，連接，顯然，則，且，又因?yàn)?，所以平面，所以，?dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上（不在左右頂點(diǎn)），其中長軸長為10，焦距長為8，所以的最大值為橢圓的短軸長的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.5、C【答案解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】設(shè)函數(shù)，，因?yàn)?，所以，或，因?yàn)闀r(shí)，，或時(shí)，，，其圖象如下：當(dāng)時(shí)，至多一個(gè)整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.6、C【答案解析】

設(shè)，，，由可得，利用定義將用表示即可.【題目詳解】設(shè)，，，由及，得，故，所以.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.7、C【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，，故選：C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.8、C【答案解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【題目詳解】為得到，將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），故可得；再將向左平移個(gè)單位長度，故可得.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.9、B【答案解析】

由題意，代入解方程即可得解.【題目詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.10、B【答案解析】

由可得，所以，故選B．11、A【答案解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【題目詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.12、A【答案解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計(jì)算即可.【題目詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

求得等邊三角形的外接圓半徑，利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【題目詳解】設(shè)是等邊三角形的外心，則球心在其正上方處.設(shè)，由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【題目詳解】∵，則函數(shù)的最大值為2，周期，的最大值與最小正周期相同，，得，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，得，即函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間，利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間．15、【答案解析】

可看出，這樣根據(jù)即可得出，從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1．【題目詳解】解：，或，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，由圖可知與無交點(diǎn)，無解，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程無解，屬于基礎(chǔ)題．16、1【答案解析】

根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【題目詳解】程序在運(yùn)行過程中各變量的取值如下所示：是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán)，所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：1故答案為：1．【答案點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為：（2）【答案解析】

（1）根據(jù)，代入即可轉(zhuǎn)化.（2）由：，可得，代入與的極坐標(biāo)方程求出，從而可得，再利用二倍角公式、輔助角公式，借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】（1）：，，的極坐標(biāo)方程為：，，的極坐標(biāo)方程為：，（2）：，則（為銳角），，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào).【答案點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析（2）【答案解析】

（1）根據(jù)，求導(dǎo)，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負(fù)，求導(dǎo)，分，，三種情況討論求解.【題目詳解】（1）因?yàn)椋裕睿瑒t，所以是的增函數(shù)，故，即.因?yàn)樗?，①?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，則若，則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則若，則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當(dāng)時(shí)，，使得，即，但當(dāng)時(shí)，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù))在上單調(diào)遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【答案點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.19、有的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；.【答案解析】

由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有個(gè)，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個(gè)，進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【題目詳解】解析：由題得所以，有的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)．獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)．其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)．所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)案例、卡方分布、概率等基本知識(shí)，考查概率統(tǒng)計(jì)基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．20、（1）見解析（2）【答案解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，得到故且，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的法向量為，和平面的法向量，利用向量的夾角公式，求得，進(jìn)而得到為直線與平面所成的角，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）在棱上存在點(diǎn)，使得平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．理由如下：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，由題意，且，且，故且.所以，四邊形為平行四邊形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題意知，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，，所以取，顯然可取平面的法向量，由題意：，所以.由于平面，所以在平面內(nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，易知在中，，從而，所以直線與平面所成的角為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線與平面所成角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成，著重考查了分析問題和解答問題的能力.21、（1）（2）【答案解析】

（1）根據(jù)正弦定理化簡等式可得，即；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進(jìn)而可得最值.【題目詳解】（1），由正弦定理得：在中，，則，即，，即.（2）在中，又，則為等邊三角形，又，-當(dāng)時(shí)，四邊形的面