《機械優(yōu)化設計》復習題答案

《機械優(yōu)化設計》復習題解答一、填空題1f(X)=100(x2-x22+(1-

)2的最優(yōu)解時，設X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一步迭1 1代的搜索方向為[-47,-50]T。2、機械優(yōu)化設計采用數(shù)學規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。kk3、當優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。kk4、應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點，它們的函數(shù)值形成高－低－高 趨勢。5、包含n個設計變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。16、函數(shù)

XTHXBTXC的梯度為HX+B。27Gn×nnd0，d1，滿足(d0)TGd1=0，則d0、d1之間存在共軛關(guān)系。8、 設計變量 、 目標函數(shù) 、 約束條件 是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù) f(x,x1 2

)，若在x0

(x ,x10

)點處取得極小值，其必要條件是，充分條件是 ( 正定 。10、 庫恩-塔克 條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。11f(x)x210x36[a,b]，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為[-2.36 10] 。12、優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的基本要素有設計變量、 目標函數(shù) 、 約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk=H1g

，其計算量大，且要求初始點在極小點附近位置。14、將函數(shù)f(X)=x2+x2-xx-10x-4x+60 表示成1XTHXBTXC 的形式1 2 12 1 2 2。15H，向量d1，向量d2d1THd2=0，向量d1d2H共軛。16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點。17、采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即求最優(yōu)步長。18、與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值（下降）的方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值（化為零）的方向。19、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b，中間插入兩個點a

,b,a

b計算出f

fb

，則縮短后的搜索區(qū)間為（ab）

1 1 1 1 1 11120、由于確定（搜索方向）和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解方法。1（消元法（拉格朗日法）。2、優(yōu)化問題中的二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變（小）。3、優(yōu)化設計中，可行設計點位（可行域內(nèi)）內(nèi)的設計點。4、方向?qū)?shù)定義為函數(shù)在某點處沿某一方向的（變化率）5n（n)個。6（邊界）或等式約束曲面。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷X為 。D內(nèi)點；內(nèi)點外點；外點內(nèi)點；外點外點；內(nèi)點3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題只含有等式的優(yōu)化問題含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題

[1,為 ，

2

51[ , 224、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[ab]，中間插入兩個點a1、b1a1<b1D。A B [b1，b][a1，b][a，b1]5、D不是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。A設計變量B約束條件C目標函數(shù)D最佳步長6xk+1=kkk▽f(kC。A.Hk之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對稱正定7fXAA、最速上升方向CD、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)。A梯度法B牛頓法CD 坐標輪換法9fXRfXRG(X)RB。正定半正定負定半負定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯誤的是D，假設要求在區(qū)間[a，b]插入兩點α1、α2，且α1<α2。AB、α1=b-λ（b-a）C、α1=a+λ（b-a）D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值A方向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值B方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值C方向。AB、下降C、不變D12、二維目標函數(shù)的無約束極小點就是B。A、等值線族的一個共同中心B0C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為B向量。相切正交成銳角共軛14、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是A。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點應選擇一個離約束邊界較遠的點。D初始點必須在可行域內(nèi)三、問答題（看講義）1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理?區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法?（2）、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標函數(shù)結(jié)合?最優(yōu)解3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計算機通過反復迭代計算求得最佳步長因子的近似值4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)量比較大。?5、寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。6、什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？四、解答題1、試用梯度法求目標函數(shù)f(X)=1.5x

2+0.5x2-xx-2x

的最優(yōu)解，設初始點x(0)=[-2，4]T,選ε=0.2迭代一步）。

1 2 12 1解：首先計算目標函數(shù)的梯度函數(shù) ,計算當前迭代點的梯度向量值梯度法的搜索方向為, 因此在迭代點x(0)的搜索方向[12，－6]T在此方向上新的迭代點為：==令，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長新的迭代點為當前梯度向量的長度,因此繼續(xù)進行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f(X)=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設初始點x(0)=[2,1]T。解1：（注：題目出題不當，初始點已經(jīng)是最優(yōu)點，解2是修改題目后解法。）牛頓法的搜索方向為的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣不用搜索，當前點就是最優(yōu)點。

,因此首先求出當前迭代點x(0)解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當。以下修改求解題目的初始點，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點x(0)=[1,2]T作為初始點，重新采用牛頓法計算頓法的搜索方向為,因此首先求出當前迭代點x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：初始點梯度向量：海色矩陣：海色矩陣逆矩陣：當前步的搜索方向為：＝新的迭代點位于當前的搜索方向上：=＝ ＝令，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長新的迭代點為當前梯度向量的長度,因此繼續(xù)進行迭代。第二迭代步：因此不用繼續(xù)計算，第一步迭代已經(jīng)到達最優(yōu)點。這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點。3、設有函數(shù)f(X)=x

2+2x2-2xx-4x

，試利用極值條件求其極值點和極值。1 2 12 1解：首先利用極值必要條件找出可能的極值點：令＝求得 ,是可能的極值點。利用充分條件正定（或負定）確認極值點。因此 正定,是極小點，極值為f(X*)=-84、求目標函數(shù)f(X)=x12+x1x2+2x22+4x1+6x2+10的極值和極值點。解法同上5、試證明函數(shù)f(X)=2x12+5x22+x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點[1，1，-2]T處具有極小值。解：必要條件：將點[1，1，-2]T帶入上式，可得充分條件正定。

＝40因此函數(shù)在點[1，1，-2]T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2s.t. g2(X)=－x1－2x2＋4≥0g3(X)=x1≥0g4(X)=x2≥0XKuhn-Tucker條件成立。Xg1(X)＝0g2(X)g3(X)g4(X)因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。起作用約束函數(shù)梯度的非負線性組合。＝＝ ,求解線性組合系數(shù)得到 均大于0XKuhn-Tucker條件成立7、設非線性規(guī)劃問題K-TX*0解法同上

為其約束最優(yōu)點。8、已知目標函數(shù)為f(X)=x1+x2，受約束于：g1(X)=-x12+x2≥0g2(X)=x1≥0寫出內(nèi)點罰函數(shù)。解：內(nèi)點罰函數(shù)的一般公式為其中：r(1)>r(2)>r(3)…>r(k)…>0 是一個遞減的正值數(shù)列r(k)＝Cr(k-1)， 0＜C＜1因此罰函數(shù)為：9f(X)=(x1-1)2+(x2+2)2g2(X)=2-x1-x2≥0g3(X)=x1≥0g4(X)=x2≥0試寫出內(nèi)點罰函數(shù)。解法同上106mx一個無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一