《最短路徑問題》軸對稱課件

最短路徑問題最短路徑問題如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？知識回顧選第②條兩點之間，線段最短如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在l上求一點P，使得PA+PB最?。畠牲c在一條直線異側這是為什么呢？兩點之間，線段最短連接AB，線段AB與直線l的交點P，就是所求．已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在l上求一點P，使得PA+探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？lAB探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海將軍飲馬問題精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？lAB將軍飲馬問題精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的探究將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語言重新描述一下問題嗎？探究將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能探究將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語言重新描述一下問題嗎？CC是l上一個動點，當點C在l的什么位置時，AC+BC最?。刻骄繉，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？一開始的時候我們就討論過點A，B在直線異側的情況，你還記得是怎么做的嗎？連接兩點，交點就是所求同側的情況也能直連接兩點嗎？不行探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？能不能把點在同側的問題轉化為點在異側的問題呢？提示：將點B“移”到l的另一側B′處，得滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等．你想到怎么做了嗎？探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？作法：作點B關于直線l的對稱點B′；連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．你能證明此時AC+BC最短嗎？B’探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動證明證明此時AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′，∵AC′+B′C′＞AB′,∴AC′+BC′＞AC+BC，即AC+BC最短．證明證明此時AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點歸納總結條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬問題直線同側的兩個定點和直線上一個動點問題特點求線段和最小求解思路利用軸對稱，化折為直

求解原理兩點之間，線段最短歸納總結條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬問題直線同側的兩個例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M，同時向A，B兩個居民小區(qū)送電.（1）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？在圖上標注位置，并說明理由．例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M，同時向A，B兩個居民小區(qū)送電.（2）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖（2）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？在圖上標注位置，并說明理由.作A的對稱點可以嗎？B’例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M練習如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點，在BC上求作一點M，使△PMQ的周長最短．提示：這本質上是“兩定一動”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點，在BC上練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．提示1：先把問題抽象為數(shù)學問題．提示2：這本質上是“兩定一動”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）你能把這個問題抽象成一個數(shù)學問題嗎？造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座抽象可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，交直線a于點M，當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小？抽象可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動分析這又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本類型就好了AM，MN，NB這三條線段的長度都會變化嗎？只有AM和NB會變，MN是不變的．所以當AM+NB最小時，AM+MN+NB最?。治鲞@又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本思考怎么把這個問題轉化為基本類型呢？你能證明這個結論嗎？將AM沿著垂直于河岸的方向平移一個河寬的距離到A'N．現(xiàn)在就變成基本類型了．怎么確定取最小時的N點呢？連接A’B，與直線b的交點就是所求．思考怎么把這個問題轉化為基本類型呢？你能證明這個結論嗎？將A證明證明：如圖，在直線b上取一個不與N重合的點N’，作M’N’⊥a于點M’，連接AM’,BN’，A’N’．由平移的性質可知，AM’=A’N’，AM=A’N∵A’N’+N’B＞A’B∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB證明證明：如圖，在直線b上取一個不與N重合的點N’，作M’N歸納總結造橋選址問題條件特點平行間的垂線段的端點到兩側定點的距離之和問題特點求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉移線段兩點之間，線段最短歸納總結造橋選址問題條件特點平行間的垂線段的端點到兩側定點的將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。崾?：利用軸對稱，化折為直．提示2：分別作A點關于OM，ON的對稱點．將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在將軍飲馬問題的變式答案：分別作點A關于OM，ON的對稱點A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點B、點C，則點B、點C即為所求．已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。畬④婏嬹R問題的變式答案：分別作點A關于OM，ON的對稱點A′將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內有一家牧民，點A處有一個馬廄，點B處是他的家，

是草地的邊沿，

是一條筆直的河流.每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處.請在圖上畫出牧民行走的最短路線(保留作圖痕跡).將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內有一家牧民，點A處有一個馬廄，將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內部的一個定點，點E、F分別是OA、OB上的動點，（1）要使得△PEF的周長最小，試在圖上確定點E、F的??????????位置;（2）若OP=4，要使得△PEF的周長為4，則∠AOB=_____°．答案：（2）30°．將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內部的一個角內一點出發(fā)的折線如圖，點A是∠MON內的一點，在射線OM上作點??P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小.提示：試一試對稱．答案：作點A關于OM的對稱點A’，然后過A’作ON的垂線，交OM于P，交ON于Q．A’Q最短的原理是什么？垂線段最短角內一點出發(fā)的折線如圖，點A是∠MON內的一點，在射線OM角內一點出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點M、N分別是線段BD、BC上的兩個動點，請在圖上找到CM+MN最小時，M，N點的位置．提示：試一試對稱．答案：作點C關于BD的對稱點C’，然后過C’作BC的垂線，交BD于M，交BC于N．角內一點出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點M、N分別總結這節(jié)課我們學到了什么？條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬問題直線同側的兩個定點和直線上一個動點問題特點求線段和最小求解思路利用軸對稱，化折為直求解原理兩點之間，線段最短總結這節(jié)課我們學到了什么？條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬總結這節(jié)課我們還學到了什么？造橋選址問題條件特點平行間的垂線段的端點到兩側定點的距離之和問題特點求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉移線段兩點之間，線段最短總結這節(jié)課我們還學到了什么？造橋選址問題條件特點平行間的垂線美術字與軸對稱美術字與軸對稱利用軸對稱設計圖案利用軸對稱設計圖案利用軸對稱設計圖案利用軸對稱設計圖案等腰三角形中相等的線段等腰三角形中相等的線段復習鞏固下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，找出它們的對稱軸.復習鞏固下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，找出它們的對稱軸.復習鞏固畫出下列軸對稱圖形的對稱軸復習鞏固畫出下列軸對稱圖形的對稱軸復習鞏固如圖，D，E分別是AB，AC的中點，CD⊥AB，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E.求證AC=AB.復習鞏固如圖，D，E分別是AB，AC的中點，CD⊥AB，復習鞏固如圖所示的點A，B，C，D，E中，哪兩個點關于x軸對稱？哪兩個點關于y軸對稱？點C和點E關于x軸對稱嗎？為什么？復習鞏固如圖所示的點A，B，C，D，E中，哪兩個點關于x復習鞏固如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延長CB至D，使DB=BA，延長BC至E，使CE=CA，連接AD，AE.求∠D，∠E，∠DAE的度數(shù).復習鞏固如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB復習鞏固如圖，AD=BC，AC=BD，求證：△EAB是等腰三角形.復習鞏固如圖，AD=BC，AC=BD，求證：△EAB是等復習鞏固復習鞏固綜合應用試確定如圖所示的正多邊形的對稱軸的條數(shù)，一般地，一個正n邊形有多少條對稱軸？綜合應用試確定如圖所示的正多邊形的對稱軸的條數(shù)，一般地，一個綜合應用如圖，從圖形Ι

到圖形Ⅱ是進行了平移還是軸對稱？如果是軸對稱，找出對稱軸；如果是平移，是怎樣平移？綜合應用如圖，從圖形Ι

到圖形Ⅱ是進行了平移還是軸對稱？如果綜合應用如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高.求證：AD垂直平分EF.綜合應用如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是綜合應用如圖，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點D，E，F(xiàn)，使AD=BE=CF.求證△DEF是等邊三角形.綜合應用如圖，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點D，E拓廣探索在紙上畫五個點，使任意三個點組成的三角形都是等腰三角形.這五個點應該怎樣畫？拓廣探索在紙上畫五個點，使任意三個點組成的三角形都是等腰三角拓廣探索如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD.求證DB=DE.拓廣探索如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC拓廣探索如圖，△ABC是等腰三角形，AC=BC，△BDC和△ACE分別為等邊三角形，AE與BD相較于F，連接CF并延長，交AB于點G.求證：G為AB的中點.拓廣探索如圖，△ABC是等腰三角形，AC=BC，△BDC拓廣探索如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑.拓廣探索如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河最短路徑問題最短路徑問題如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？知識回顧選第②條兩點之間，線段最短如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在l上求一點P，使得PA+PB最?。畠牲c在一條直線異側這是為什么呢？兩點之間，線段最短連接AB，線段AB與直線l的交點P，就是所求．已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在l上求一點P，使得PA+探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？lAB探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海將軍飲馬問題精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？lAB將軍飲馬問題精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的探究將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語言重新描述一下問題嗎？探究將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能探究將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語言重新描述一下問題嗎？CC是l上一個動點，當點C在l的什么位置時，AC+BC最??？探究將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．你能探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？一開始的時候我們就討論過點A，B在直線異側的情況，你還記得是怎么做的嗎？連接兩點，交點就是所求同側的情況也能直連接兩點嗎？不行探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？能不能把點在同側的問題轉化為點在異側的問題呢？提示：將點B“移”到l的另一側B′處，得滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等．你想到怎么做了嗎？探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？作法：作點B關于直線l的對稱點B′；連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．你能證明此時AC+BC最短嗎？B’探究如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動證明證明此時AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′，∵AC′+B′C′＞AB′,∴AC′+BC′＞AC+BC，即AC+BC最短．證明證明此時AC+CB最短證明：如圖，在直線l上任取一點歸納總結條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬問題直線同側的兩個定點和直線上一個動點問題特點求線段和最小求解思路利用軸對稱，化折為直

求解原理兩點之間，線段最短歸納總結條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬問題直線同側的兩個例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M，同時向A，B兩個居民小區(qū)送電.（1）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？在圖上標注位置，并說明理由．例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M，同時向A，B兩個居民小區(qū)送電.（2）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖（2）所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？在圖上標注位置，并說明理由.作A的對稱點可以嗎？B’例題某供電部門準備在輸電干線上連接一個分支線路，分支點為M練習如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點，在BC上求作一點M，使△PMQ的周長最短．提示：這本質上是“兩定一動”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點，在BC上練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．提示1：先把問題抽象為數(shù)學問題．提示2：這本質上是“兩定一動”

求線段和最小的將軍飲馬問題．練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）你能把這個問題抽象成一個數(shù)學問題嗎？造橋選址問題如圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座抽象可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，交直線a于點M，當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最?。砍橄罂梢园押拥膬砂犊闯蓛蓷l平行線a和b，N為直線b上的一個動分析這又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本類型就好了AM，MN，NB這三條線段的長度都會變化嗎？只有AM和NB會變，MN是不變的．所以當AM+NB最小時，AM+MN+NB最?。治鲞@又是求線段和最小的問題，你能想到什么呢？能變成這種基本思考怎么把這個問題轉化為基本類型呢？你能證明這個結論嗎？將AM沿著垂直于河岸的方向平移一個河寬的距離到A'N．現(xiàn)在就變成基本類型了．怎么確定取最小時的N點呢？連接A’B，與直線b的交點就是所求．思考怎么把這個問題轉化為基本類型呢？你能證明這個結論嗎？將A證明證明：如圖，在直線b上取一個不與N重合的點N’，作M’N’⊥a于點M’，連接AM’,BN’，A’N’．由平移的性質可知，AM’=A’N’，AM=A’N∵A’N’+N’B＞A’B∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+N’B＞AM+NB∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB證明證明：如圖，在直線b上取一個不與N重合的點N’，作M’N歸納總結造橋選址問題條件特點平行間的垂線段的端點到兩側定點的距離之和問題特點求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉移線段兩點之間，線段最短歸納總結造橋選址問題條件特點平行間的垂線段的端點到兩側定點的將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。崾?：利用軸對稱，化折為直．提示2：分別作A點關于OM，ON的對稱點．將軍飲馬問題的變式已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在將軍飲馬問題的變式答案：分別作點A關于OM，ON的對稱點A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點B、點C，則點B、點C即為所求．已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。畬④婏嬹R問題的變式答案：分別作點A關于OM，ON的對稱點A′將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內有一家牧民，點A處有一個馬廄，點B處是他的家，

是草地的邊沿，

是一條筆直的河流.每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處.請在圖上畫出牧民行走的最短路線(保留作圖痕跡).將軍飲馬問題的變式如圖，牧區(qū)內有一家牧民，點A處有一個馬廄，將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內部的一個定點，點E、F分別是OA、OB上的動點，（1）要使得△PEF的周長最小，試在圖上確定點E、F的??????????位置;（2）若OP=4，要使得△PEF的周長為4，則∠AOB=_____°．答案：（2）30°．將軍飲馬問題的變式如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內部的一個角內一點出發(fā)的折線如圖，點A是∠MON內的一點，在射線OM上作點??P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小.提示：試一試對稱．答案：作點A關于OM的對稱點A’，然后過A’作ON的垂線，交OM于P，交ON于Q．A’Q最短的原理是什么？垂線段最短角內一點出發(fā)的折線如圖，點A是∠MON內的一點，在射線OM角內一點出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點M、N分別是線段BD、BC上的兩個動點，請在圖上找到CM+MN最小時，M，N點的位置．提示：試一試對稱．答案：作點C關于BD的對稱點C’，然后過C’作BC的垂線，交BD于M，交BC于N．角內一點出發(fā)的折線如圖，在直角三角形BCD中，若點M、N分別總結這節(jié)課我們學到了什么？條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬問題直線同側的兩個定點和直線上一個動點問題特點求線段和最小求解思路利用軸對稱，化折為直求解原理兩點之間，線段最短總結這節(jié)課我們學到了什么？條件特點簡稱為：兩定一動

將軍飲馬總結這節(jié)課我們還學到了什么？造橋選址問題條件特點平行間的垂線段的端點到兩側定點的距離之和問題特點求解思路求解原理求線段和最小利用平移，轉移線段兩點之間，線段最短總結這節(jié)課我們還學到了什么？造橋選址問題條件特點平行間的垂線美術字與軸對稱美術字與軸對稱利用軸對稱設計圖案利用軸對稱設計圖案利用軸對稱設計圖案利用軸對稱設計圖案等腰三角形中相等的線段等腰三角形中相等的線段復習鞏固下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，找出它們的對稱軸.復習鞏固下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，找出它們的對稱軸.復習鞏固畫出下列軸對稱圖形的對稱軸復習鞏固畫出下列軸對稱圖形的對稱軸復習鞏固如圖，D，E分別是AB，AC的