一元二次方程及根的定義

-.z.一元二次方程及根的定義1.關(guān)于的方程的一個根為2，求另一個根及的值.思路點撥：從一元二次方程的解的概念入手，將根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一個根即可.

解：將代入原方程，得

即

解方程，得

當(dāng)時，原方程都可化為

解方程，得.

所以方程的另一個根為4，或-1.

總結(jié)升華：以方程的根為載點.綜合考察解方程的問題是一個?？紗栴}，解這類問題關(guān)鍵是要抓住"根〞的概念，并以此為突破口.

舉一反三：

【變式1】一元二次方程的一個根是，求代數(shù)式的值.

思路點撥：抓住為方程的一個根這一關(guān)鍵，運用根的概念解題.

解：因為是方程的一個根,

所以,

故,

,

所以.

.

總結(jié)升華："方程〞即是一個"等式〞，在"等式〞中，根據(jù)題目的需要，合理地變形，是一種對代數(shù)運算綜合要求較高的能力，在這一方面注意豐富自己的經(jīng)歷.

類型二、一元二次方程的解法2.用直接開平方法解以下方程：

(1)3-27*2=0；(2)4(1-*)2-9=0.

解：(1)27*2=3

.

(2)4(1-*)2=9

3.用配方法解以下方程：

(1)；(2).

解：(1)由，

得，

，

，

所以，

故.

(2)由，

得，

，

，

所以

故4.用公式法解以下方程：

(1)；(2)；(3).

解：(1)這里

并且

所以，

所以，.

(2)將原方程變形為，

則，

所以，

所以.

(3)將原方程展開并整理得，

這里，

并且，

所以.

所以.

總結(jié)升華：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一個重點，要求熟練掌握，它對我們的運算能力有較高要求，也是提高我們運算能力訓(xùn)練的好素材.

5.用因式分解法解以下方程：

(1)；(2)；(3).

解：(1)將原方程變形為，

提取公因式，得，

因為，所以

所以或，

故

(2)直接提取公因式，得

所以或，(即

故.

(3)直接用平方差公式因式分解得

即

所以或

故.

舉一反三：

【變式1】用適當(dāng)方法解以下方程．

(1)2(*+3)2=*(*+3)；(2)*2-2*+2=0；

(3)*2-8*=0；(4)*2+12*+32=0.

解：(1)2(*+3)2=*(*+3)

2(*+3)2-*(*+3)=0

(*+3)[2(*+3)-*]=0

(*+3)(*+6)=0

*1=-3，*2=-6．

(2)*2-2*+2=0

這里a=1，b=-2，c=2

b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12＞0

*==

*1=+，*2=-

(3)*(*-8)=0

*1=0，*2=8．

(4)配方，得

*2+12*+32+4=0+4

(*+6)2=4

*+6=2或*+6=-2

*1=-4，*2=-8．

點評:要根據(jù)方程的特點靈活選用方法解方程.

6.假設(shè)，求的值.思路點撥：觀察，把握關(guān)鍵：換元，即把看成一個"整體〞.

解：由，

得，

，

，

所以，

故或(舍去)，

所以.

總結(jié)升華：把*一"式子〞看成一個"整體〞，用換元的思想轉(zhuǎn)化為方程求解，這種轉(zhuǎn)化與化歸的意識要建立起來.

類型三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用7.()一元二次方程4*2+3*-2=0的根的情況是()

A.有兩個相等的實數(shù)根;B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根;D.沒有實數(shù)根

解析:因為△=32-4×4×(-2)＞0，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根.

答案:B.

8.()假設(shè)關(guān)于*的一元二次方程*2+*-3m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是()

A.m＞B.m＜C.m＞-D.m＜-思路點撥：因為該方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以應(yīng)滿足.

解:由題意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，

解得m＞-.

答案:C.

舉一反三：

【變式1】當(dāng)m為什么值時，關(guān)于*的方程有實根.

思路點撥：題設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分和兩種情形討論.

解：當(dāng)即時，，方程為一元一次方程，總有實根；

當(dāng)即時，方程有根的條件是：

，解得

∴當(dāng)且時，方程有實根.

綜上所述：當(dāng)時，方程有實根.

【變式2】假設(shè)關(guān)于*的一元二次方程(a-2)*2-2a*+a+1=0沒有實數(shù)解，求a*+3＞0的解集(用含a的式子表示)．

思路點撥：要求a*+3＞0的解集，就是求a*＞-3的解集，則就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、負(fù)或0．因為一元二次方程(a-2)*2-2a*+a+1=0沒有實數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范圍．

解：∵關(guān)于*的一元二次方程(a-2)*2-2a*+a+1=0沒有實數(shù)根．

∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0

∴滿足

∵a*+3＞0即a*＞-3

∴所求不等式的解集為.

類型四、根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系，求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值9.()假設(shè)*1，*2是一元二次方程2*2-3*+1=0的兩個根，則*12+*22的值是()

A.B.C.D.7

思路點撥:此題解法不唯一，可先解方程求出兩根，然后代入*12+*22，求得其值.但一般不解方程，只要將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化成含有*1+*2和*1*2的代數(shù)式，再整體代入.

解:由根與系數(shù)關(guān)系可得*1+*2=，*1·*2=，*12+*22=(*1+*2)2-2*1·*2=()2-2×=.

答案:A.

總結(jié)升華:公式之間的恒等變換要熟練掌握.

類型五、一元二次方程的應(yīng)用考點講解：

1．構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型：一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實問題的有效數(shù)學(xué)模型，通過審題弄清具體

問題中的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的關(guān)鍵．

2．注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要

對方程的解注意檢驗，根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性．

10.()在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖.如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為*cm，則*滿足的方程是()

A.*2+130*-1400=0B.*2+65*-350=0

C.*2-130*-1400=0D.*2-64*-1350=0

解析:在矩形掛圖的四周鑲一條寬為*cm的金邊，則掛圖的長為(80+2*)cm，寬為(50+2*)cm，由題意，可得(80+2*)(50+2*)=5400，整理得*2+65*-350=0.

答案:B.

11.()*水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，假設(shè)每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，則每千克應(yīng)漲價多少元？解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價*元，依題意，得(500-20*)(10+*)=6000．

整理，得*2-15*＋50=0．解這個方程，*1=5，*2=10．

要使顧客得到實惠，應(yīng)取*=5．

答：每千克應(yīng)漲價5元．

總結(jié)升華：應(yīng)抓住"要使