二次微分方程的通解-二次常微分方程通解

頁眉內(nèi)容頁眉內(nèi)容88頁腳內(nèi)容第六節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程次線性微分方程的解法教學(xué)過程：一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程ypyqy0pq1 2 11 2y、yyCyCy1 2 11 2我們看 能否適當(dāng)選取使yerx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方為此將yerx代方程ypyqy0得(r2prq)erx0rr2prq0yerx1 r2prq0ypyqy0rr1 pp p221,2求出特征方程的根與通解的關(guān)系r、r

erx

erx是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解這是因?yàn)?/p>

1 2 1 1 2 2

erx

erx是方程的解又

yer

e(rr)x不是常數(shù)1e1y1 1 2 2 rx 1 21e1y2 2因此方程的通解為yCerx

erx1 1 2 2r

erx

xerx是二階常系數(shù)齊次線性微分1 2 1 1 2 1方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解這是因?yàn)閥1

erx是方程的解又1(xerxp(xerx)q(xerx)xr2)erxxr)erxqxerx11 1

1 1

1 1 1erxp)xerx(r2prq)01 1 1 1 1y xerx所以y2

xerx且21y11

1 xerxe1yCerxC

xerx1 1 2 11,特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r 函數(shù)、ye(i)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的函數(shù)是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的1,函數(shù)y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由歐拉公式得1y12y2yycosx1(yy)1 2 2 1 2yy

sinx

1(yy)1 2 1 2故excosx、y2exsinx也是方程解、因此方程的通解為yex(C1cosxC2sinx)求二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy0的通解的步驟為第一步寫出微分方程的特征方程r2prq0第二步求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2第三步根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況1y2y3y0解所給微分方程的特征方程為r22r30即(r1)(r3)0其根r11r23是兩個(gè)不相等的實(shí)根因此所求通解為yC1exC2e3x例2求方程y2yy0滿足初始條件y|x04、y|x02的特解解所給方程的特征方程為r22r10即(r1)20其根r1r21是兩個(gè)相等的實(shí)根因此所給微分方程的通解為y(C1C2x)ex將條件y|x04代入通解得C14從而y(4C2x)ex將上式對(duì)x求導(dǎo)得y(C24C2x)ex再把條件y|x02代入上式得C22于是所求特解為x(42x)ex例3求微分方程y2y5y0的通解解所給方程的特征方程為r22r50r112ir212i因此所求通解為yex(C1cos2xC2sin2x)n階常系數(shù)齊次線性微分方程方程y(n)p1y(n1)p2y(n2)pn1ypny0稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方其中p1 p2pn1pn都是常二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多項(xiàng)式L(D)=Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn)y0或L(D)y0注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)分析令yerx則L(D)yL(D)erx(rnp1rn1p2rn2pn1rpn)erxL(r)erxrL(r)yerxL(D)y0的解nL(r)rnp1rn1p2rn2pn1rpn0L(D)y0rCerx12 1 rsin12 1 k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)erx(C1C2xCkxk1)1kr2k11 2 k 1 2 Cxxk1)cosx(DxDxk1)sin1 2 k 1 2 例4求方程y(4)2y5y0的通解解這里的特征方程為r42r35r20r2(r22r5)0r1r20r3412i因此所給微分方程的通解為yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)例5求方程y(4)4y0的通解其中0解這里的特征方程為r4402它的根為r 21,2

r3,4

(1i)2因此所給微分方程的通解為2ye

x(C22

cos

xC2

sin

e

x(C3

cos

xC4

sin

22222二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程簡(jiǎn)介22222二階常系數(shù)非齊次線性微分方程方程ypyqyf(x)、qyY(x)yy*(x)yY(x)y*(x)當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)方程的特解的求法一、f(x)Pm(x)ex型當(dāng)f(x)Pm(x)ex時(shí)可以猜想方程的特解也應(yīng)具有這種形式 因此設(shè)特解形式為y*Q(x)ex將其代入方程得等式mQ(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P(x)mr2prq0Q(x)m次多項(xiàng)式Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定b0b1bm并得所求特解y*Qm(x)ex是特征方程r2prq0要使等式mQ(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P(x)m成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m1次多項(xiàng)式Q(x)xQm(x)Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系可確定b0b1 bm并得所求特解y*xQm(x)ex是特征方程r2prq0要使等式mQ(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P(x)m成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m2次多項(xiàng)式Q(x)x2Qm(x)Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定b0b1bm并得所求特解y*x2Qm(x)ex我們有如下結(jié)論如果f(x)Pm(x)ex則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(x)有形如y*xkQm(x)exm 的特解其中Q(x)是與P(x)同次的多項(xiàng)式而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2m 例1求微分方程y2y3y3x1的一個(gè)特解m 解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且函數(shù)f(x)是P(x)ex型(其中P(x)3x10)m 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y2y3y0它的特征方程為r22r30由于這里0不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y*b0xb1把它代入所給方程得3b0x2b03b13x1比較兩端x同次冪的系數(shù)得3b3b2b

03b13b032b03b11 0 1

1b1于是求得所給方程的一個(gè)特解為0 1 3y*x13例2求微分方程y5y6yxe2x的通解m f(x)P(x)ex型(P(x)xm 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y5y6y0它的特征方程為r25r60特征方程有兩個(gè)實(shí)根r12r23于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為YC1e2xC2e3x由于2是特征方程的單根所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y*x(b0xb1)e2x把它代入所給方程得2b0x2b0b1x比較兩端x同次冪的系數(shù)得2b1b0

02b012b0b10 0 1由此求得b1b1于是求得所給方程的一個(gè)特解為0 2 11x2從而所給方程的通解為yCe2xCe3x1(x22x)e2x1 2 2提示y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2xy*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x[2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式應(yīng)用歐拉公式可得l ex[P(x)cosxP(x)sinxl ex[P(x)eixeixP(x)eixeix]l 2 n 1[P(x)iP(x)]e(i)x1[P(x)iP(x)]e(i)x2 l n 2 l nP(x)e(i)xP(x)e(i)x其中P(x)1(PPi) P(x)1(PPi)而mmax{ln}2 l n 2 l n設(shè)方程ypyqyP(x)e(i)x的特解為y1*xkQm(x)e(i)xy*xkQ

(x)e(i)ypyqyP(x)e(i)1 m其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1l 于是方程ypyqyex[P(x)cosxP(x)sinx]l xkQm

(x)e(i)xxkQm

(x)e(i)xxkex[Qm

(x)(cosxisinx)Qm

(x)(cosxisinx)xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]綜上所述我們有如下結(jié)論如果f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(x)的特解可設(shè)為y*xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]R(1)m(x)、R(2)m(x)mmmax{ln}k(不是特征方程的根或是01例3求微分方程yyxcos2x的一個(gè)特解解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且f(x/r/