數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文矩陣多項式秩的若干新結(jié)果

編號莆田學(xué)院畢業(yè)論文課題名稱：矩陣多項式秩的假設(shè)干新結(jié)果 系別數(shù)學(xué)系學(xué)生姓名學(xué)號專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級2003級指導(dǎo)教師2007年6月目錄0引言 10.1記號與定義 10.2研究現(xiàn)狀 11預(yù)備知識 32主要結(jié)論及其證明 53關(guān)于猜測1和猜測2的解決 94結(jié)論的一些應(yīng)用 11參考文獻 14致謝 15矩陣多項式秩的假設(shè)干新結(jié)果摘要本文證明了矩陣多項式秩的一個新結(jié)果：兩個矩陣多項式秩的和等于它們最大公因式矩陣的秩與最小公倍式矩陣秩的和。利用這個結(jié)果可以推導(dǎo)出諸多文獻的重要結(jié)果及其一些新結(jié)論。2004年，文獻[1]提出矩陣的一次多項式秩的恒等式的兩個猜測，作為本文所得結(jié)果的應(yīng)用，可以在更一般的情況下證明這個兩個猜測是正確的。【關(guān)鍵詞】矩陣多項式互素多項式猜測

SomeNewResultsofRankofMatrixPolynomialAbstractAnewresultofrankofmatrixpolynomialisprovedinthispaper:Thesumofranksoftwomatrixpolynomialsisequaltothesumofranksofthegreatestcommonfactormatrixandtheminimalcommonmultiplematrix.Wecanprovelotsofimportantresultsandsomenewconclusionsfromthisresult.In2004,thepaper[1]givestwoconjecturesabouttheidentityofrankofsimplepolynomial.Astheapplicationoftheresultsinthispaper,wecanprovethatthetwoconjecturesarerightinmorecommonsituation.【KeyWords】MatrixPolynomial;CoprimePolynomial;Conjecture

莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要奉獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承當(dāng)。學(xué)位畢業(yè)設(shè)計〔論文〕作者簽名：日期：2007年月日

莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)設(shè)計〔論文〕原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是在本人的指導(dǎo)下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要奉獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。指導(dǎo)教師簽名：日期：年月日0引言0.1記號與定義本文使用以下記號：表示數(shù)域上關(guān)于的多項式的全體；表示數(shù)域上階矩陣的全體；表示矩陣的秩；表示矩陣的特征多項式；表示矩陣的最小多項式；表示由的列向量生成的子空間；表示線性空間的維數(shù)；表示是的首項系數(shù)為1的最大公因式；表示是的首項系數(shù)為1的最小公倍式。定義1：假設(shè)，那么稱為冪等矩陣。定義2：假設(shè)，那么稱為冪矩陣。定義3：假設(shè)，那么稱為對合矩陣。定義4：假設(shè)，那么稱為冪么矩陣。0.2研究現(xiàn)狀矩陣的秩是矩陣?yán)碚摰囊粋€重要內(nèi)容，已有不少的文章討論矩陣秩的問題，現(xiàn)將近幾年來一些文章的主要結(jié)論列如下：命題1〔文獻[1]的定理2〕設(shè)那么有 命題2〔文獻[1]的定理3〕設(shè)那么有 命題3〔文獻[2]的定理2〕設(shè)，對任意的兩兩互異的數(shù)，那么 命題4〔文獻[2]的定理3〕設(shè)，且可逆，可交換，那么對任意的兩兩互異的數(shù)，有 命題5〔文獻[3]的定理1〕設(shè)，那么可逆的充分必要條件是。命題6〔文獻[3]的定理2〕設(shè)，如果，那么可逆。命題7〔文獻[4]的定理1〕設(shè)，那么可逆的充要條件是。命題8〔文獻[4]的定理2〕設(shè)是階矩陣的矩陣多項式，那么可逆的充要條件是。命題9〔文獻[5]的定理1，文獻[6]的定理3〕設(shè)那么可逆的充分必要條件是的特征根均不是的根。命題10〔文獻[7]的定理1〕設(shè)，假設(shè)互素，且，那么。命題11〔文獻[7]的命題4〕設(shè)，假設(shè)，…是兩兩互素的，且，那么有 命題12〔文獻[8]的定理1，文獻[9]的的定理3〕設(shè)，且，那么 命題13〔文獻[8]的命題4〕設(shè)，假設(shè)，……是兩兩互素的，且，那么命題14〔文獻[9]的推論3、定理4、推論5〕設(shè)，那么命題15〔文獻[10]的命題2、命題3、命題4〕設(shè)，那么假設(shè)，且為奇數(shù)，，那么假設(shè)，且為偶數(shù)，那么假設(shè)，那么而且，文獻[1]還提出了以下兩個猜測：猜測1設(shè)，當(dāng)滿足適當(dāng)條件時，那么 猜測2設(shè)，試問在滿足什么條件時，那么其中：是是多項式。對于猜測1，假設(shè)數(shù)域為復(fù)數(shù)域的情況下，文獻[2]利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法已經(jīng)給出了證明。下文我們將給出矩陣多項式秩的幾個結(jié)果，利用這些結(jié)果不僅可以推導(dǎo)出以上的15個命題，而且在更一般的情況下證明了猜測1和猜測2是正確的。1預(yù)備知識引理1設(shè)分塊矩陣〔其中為任意矩陣〕，證明證明不妨設(shè)的列向量組的一個極大線性無關(guān)組為，〔其中〕，從而；的列向量組的一個極大線性無關(guān)組為，〔其中〕，從而。當(dāng)時，中與所在列的個列向量是的列向量組的一個極大無關(guān)組，所以當(dāng)時，中線性相關(guān)的列向量添加了中的分量后，有可能是線性無關(guān)的，所以，的列向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)可能等于，也可能大于，因此引理2〔Sylvester分式〕設(shè)那么。證明由可得但是由引理1可知所以得。引理3設(shè)，那么有。證明設(shè)EMBEDEquation.DSMT4T，是由的列向量組生成的EMBEDEquation.DSMT4T的子空間，那么，同理有，，由維數(shù)公式得 因為，那么 由于的列向量是的列向量的線性組合，那么，又，那么，所以，，綜上所述，可得。引理4設(shè)，對任意，假設(shè)可逆，那么。證明見文獻[13]。引理5設(shè)不全為零，且首項系數(shù)為1，那么證明設(shè)，那么，顯然。〔1〕所以是與的公倍式?！?〕設(shè)為與的任一公倍式，那么有所以由于不全為零，故，所以，故又因為，所以。設(shè)，代入得故，知是與的最小公倍式，又的首項系數(shù)為1，故2主要結(jié)論及其證明定理1設(shè)，，那么有 證明設(shè)滿足，由于，那么存在滿足 因此有。現(xiàn)對作如下初等變換：由初等變換不改變秩可得根據(jù)引理5知所以 記：本定理用語言可以表述為：兩個矩陣多項式秩的和等于它們最大公因式矩陣的秩與最小公倍式矩陣秩的和。本定理的證明雖然簡單，卻是一個重要的結(jié)論，由它可以推導(dǎo)出一些重要的結(jié)論。推論1設(shè)，假設(shè)設(shè)，那么 證明由于，所以根據(jù)定理1知故由此可知，命題6只是推論1的一個特例，因為在命題6中，，由推論1知，，故可逆。而且命題6數(shù)域為復(fù)數(shù)域，推論1可在任意數(shù)域成立。推論2設(shè)，那么可逆的充要條件是。證明充分性，由推論1可知，，那么可逆。必要性，設(shè)，那么存在滿足所以由可逆，，那么知可逆，從而 由引理4知，，設(shè)，那么 故由此可知，命題5，命題7，命題8只是推論2的一個特例：對命題5與命題8，由于表示的特征多項式，，由推論2就可知可逆的充要條件是，并且命題5與命題8的成立被限制在復(fù)數(shù)域上。對命題7，其討論的數(shù)域為復(fù)數(shù)域，而推論2為任意數(shù)域。定理2設(shè)，那么有 證明因為，所以，，，根據(jù)定理1就可得說明定理2是一個很重要的結(jié)論〔文獻[8]，文獻[9]等的主要結(jié)果〕，但也只是定理1的一個特例，由于其重要性在此將它獨立為一個定理。同時可以看出命題1也只是定理2的一個特例，因為在命題1中，，那么和是互素的，由定理2可知 由定理2還可以得到以下推論：推論3設(shè)，那么的充要條件是。證明假設(shè)，那么由定理2知假設(shè)，而由定理2知所以，故由此可知，命題2和命題10是推論3的特例：在命題2中，，那么和是互素的，由推論3可知 對命題10，只給出了推論3成立的充分條件。推論4設(shè)，且，那么證明由于，且，那么有 根據(jù)定理2即可得證。推論5設(shè)，那么有 證明由于，所以，同理，…………那么有由定理2可得： 定理3〔關(guān)于矩陣多項式乘積秩的界〕設(shè)那么 〔1〕即證明由引理2可得，由于，根據(jù)引理3，得 所以結(jié)論成立。說明由定理2可知，當(dāng)時(1)式中左邊的等號成立，而(1)式右邊等號何時成立有待于進一步的探討。3關(guān)于猜測1和猜測2的解決為解決猜測1和猜測2，我們先得對定理2做進一步的推廣，考慮個多項式的情況。定理4設(shè)，是兩兩互素的，那么 證明對用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時，由定理2知，結(jié)論成立；假設(shè)時結(jié)論成立，現(xiàn)考慮時的情況，當(dāng)時，令，由于對時，總有，那么有 ，即。因為時，結(jié)論成立，所以 〔1〕又因為，由定理2可得 所以代入〔1〕式可得綜上可知，命題是成立的。推論6設(shè)，是兩兩互素的，那么的充要條件是。由定理4、推論6可知：命題3、命題11、命題13是它們的一些特例：對命題3，在復(fù)數(shù)域上，兩兩互異，所以是兩兩互素的，由定理4即可得定理4是對命題11結(jié)論的進一步精確；命題13只是推論6的一個充分命題。以下我們利用定理4來解決猜測1和猜測2。推論7設(shè)，當(dāng)兩兩互異時，那么 證明令，當(dāng)時，，那么有由定理3就可得 說明推論7說明了猜測1是正確的。對于猜測1，文獻[2]也給出了證明，但文獻[2]只討論復(fù)數(shù)域上的情況，證明思路是利用矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，證明時分多步討論，過程比擬復(fù)雜。相比于本文的定理4，定理4更具一般性，定理4不受數(shù)域的限制，證明過程相比照擬簡單，而且結(jié)論應(yīng)用不受矩陣多項式次數(shù)的限制，文獻[2]的定理2只能用于一次矩陣多項式的情況。推論8設(shè)，且，當(dāng)兩兩互異時，那么其中：是是多項式。證明令，當(dāng)時，，那么有然而，再由，化簡整理后就可化為與的多項式，化簡整理后與的系數(shù)設(shè)為和，那么有 說明推論8說明了猜測2是正確的。其它文獻至今沒有完全解決猜測2，然而利用定理4就可以很容易地得到猜測2成立的一個充分條件。4結(jié)論的一些應(yīng)用應(yīng)用1設(shè)，那么有。證明令，那么，由推論2可得應(yīng)用2設(shè)，那么有證明先證明，令，由定理1即可得所以得證；再證，令，顯然是兩兩互素的，由推論6可得 即得證。應(yīng)用3設(shè)，那么有證明①可以由推論3證得；②可由推論6證得；③證明，令，由于為的根，那么，因此，由推論6得證；④當(dāng)為奇數(shù)時，令，由定理1可得 所以。當(dāng)為偶數(shù)時，同理可證。說明問題1、問題2、問題3給出了冪等類的一些用秩表示的等價刻畫，而且比擬命題14、命題15可知，問題2、問題3給出了更多等價刻畫，而且也證明了命題15的逆命題是成立的。同樣的，我們可以得到冪么矩陣相應(yīng)的等價刻畫。應(yīng)用4設(shè)，那么應(yīng)用5〔命題9〕設(shè)那么可逆的充分必要條件是的特征根均不是的根。證明根據(jù)推論2知，的特征根均不是的根得證。此題也說明了命題9與推論2是等價，只是表達上的差異。應(yīng)用6〔命題4〕設(shè)，且可逆，可以交換，那么對任意的兩兩互異的數(shù)，有 證明由條件得，由定理4，得 此題可視為猜測1/r/