大一《高等數(shù)學(xué)》期末考試題精編匯總題

.PAGE33/NUMPAGES33一、單項選擇題<本大題有4小題,每小題4分,共16分>.〔A〔B〔C〔D不可導(dǎo)..〔A是同階無窮小,但不是等價無窮??；〔B是等價無窮小；〔C是比高階的無窮小；〔D是比高階的無窮小.若,其中在區(qū)間上二階可導(dǎo)且,則〔.〔A函數(shù)必在處取得極大值；〔B函數(shù)必在處取得極小值；〔C函數(shù)在處沒有極值,但點為曲線的拐點；〔D函數(shù)在處沒有極值,點也不是曲線的拐點?！睞〔B〔C〔D.二、填空題〔本大題有4小題,每小題4分,共16分....三、解答題〔本大題有5小題,每小題8分,共40分設(shè)函數(shù)由方程確定,求以及.設(shè)函數(shù)連續(xù),,且,為常數(shù).求并討論在處的連續(xù)性.求微分方程滿足的解.四、解答題〔本大題10分已知上半平面內(nèi)一曲線,過點,且曲線上任一點處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與軸、軸、直線所圍成面積的2倍與該點縱坐標(biāo)之和,求此曲線方程.五、解答題〔本大題10分過坐標(biāo)原點作曲線的切線,該切線與曲線及x軸圍成平面圖形D.求D的面積A；<2>求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證明題〔本大題有2小題,每小題4分,共8分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞減,證明對任意的,.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且,.證明：在內(nèi)至少存在兩個不同的點,使〔提示：設(shè)一、單項選擇題<本大題有4小題,每小題4分,共16分>1、D2、A3、C4、C二、填空題〔本大題有4小題,每小題4分,共16分.6..7..8..三、解答題〔本大題有5小題,每小題8分,共40分解：方程兩邊求導(dǎo),解：解：解：由,知。,在處連續(xù)。解：,四、解答題〔本大題10分解：由已知且, 將此方程關(guān)于求導(dǎo)得特征方程： 解出特征根：其通解為 代入初始條件,得 故所求曲線方程為：五、解答題〔本大題10分解：〔1根據(jù)題意,先設(shè)切點為,切線方程：由于切線過原點,解出,從而切線方程為：則平面圖形面積〔2三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1,則曲線與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積六、證明題〔本大題有2小題,每小題4分,共12分證明：故有：證畢。證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在上連續(xù),在上可導(dǎo)。,且由題設(shè),有,有,由積分中值定理,存在,使即綜上可知.在區(qū)間上分別應(yīng)用羅爾定理,知存在和,使及,即. 高等數(shù)學(xué)I解答一、單項選擇題〔在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中<本大題有4小題,每小題4分,共16分>當(dāng)時,都是無窮小,則當(dāng)時〔D不一定是無窮小.<A> <B> <C> <D> 極限的值是〔C.〔A1 〔Be 〔C 〔D在處連續(xù),則a=〔D.〔A1 〔B0 〔Ce 〔D設(shè)在點處可導(dǎo),那么〔A.〔A 〔B<C> 〔D二、填空題〔本大題有4小題,每小題4分,共16分極限的值是.由確定函數(shù)y<x>,則導(dǎo)函數(shù).直線過點且與兩平面都平行,則直線的方程為.求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔－,0和〔1,+.三、解答題〔本大題有4小題,每小題8分,共32分計算極限.解：已知：,,,求。解：,設(shè)在[a,b]上連續(xù),且,試求出。解：求解：四、解答題〔本大題有4小題,每小題8分,共32分求.求函數(shù)的極值與拐點.解：函數(shù)的定義域〔－,+令得x1=1,x2=-1x1=1是極大值點,x2=-1是極小值點極大值,極小值令得x3=0,x4=,x5=-x<-,-><-,0><0,><,+>－+－+故拐點〔-,-,〔0,0〔,求由曲線與所圍成的平面圖形的面積.設(shè)拋物線上有兩點,,在弧AB上,求一點使的面積最大.解：六、證明題〔本大題4分設(shè),試證. 證明：設(shè),,,因此在〔0,+內(nèi)遞減。在〔0,+內(nèi),在〔0,+內(nèi)遞減,在〔0,+內(nèi),即亦即當(dāng)x>0時,。高等數(shù)學(xué)IA一、單項選擇題〔在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中<本大題有4小題,每小題4分,共16分>函數(shù)的全體連續(xù)點的集合是〔<A><-,+> <B><-,1><1,+><C><-,0><0, +> <D><-,0><0,1><1,+>設(shè),則常數(shù)a,b的值所組成的數(shù)組〔a,b為〔〔A〔1,0〔B〔0,1〔C〔1,1〔D〔1,-1設(shè)在[0,1]上二階可導(dǎo)且,則〔〔A <B><C> 〔D則〔〔AM<N<P 〔BP<N<M〔CP<M<N 〔DN<M<P二填空題〔本大題有4小題,每小題4分,共16分設(shè)〔設(shè)則〔直線方程,與xoy平面,yoz平面都平行,那么的值各為〔〔三解答題〔本大題有3小題,每小題8分,共24分計算設(shè)試討論的可導(dǎo)性,并在可導(dǎo)處求出設(shè)函數(shù)連續(xù),在x0時二階可導(dǎo),且其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,給出的極大值點、極小值點以及曲線的拐點。ddycbOax四解答題〔本大題有4小題,每小題9分,共36分求不定積分計算定積分已知直線,求過直線l1且平行于直線l2的平面方程。過原點的拋物線及y=0,x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為,確定拋物線方程中的a,并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。五、綜合題〔本大題有2小題,每小題4分,共8分設(shè),其中在區(qū)間[1,2]上二階可導(dǎo)且有,試證明存在〔使得。求的最大值點；證明：一、單項選擇題BDBC.二、填空題〔本大題有4小題,每小題4分,共16分....三、解答題〔本大題有3小題,每小題8分,共24分<8分>計算極限.解：<8分>設(shè),試討論的可導(dǎo)性,并在可導(dǎo)處求出.解： 當(dāng)；當(dāng)故f<x>在x=0處不可導(dǎo)。<8分>設(shè)函數(shù)在連續(xù),在時二階可導(dǎo),且其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖.給出的極大值點、極小值點以及曲線的拐點.dycbOax解：極大值點：極小值點：拐點四解答題〔本大題有4小題,每小題9分,共36分<9分>求不定積分.解：原式= =<9分>計算定積分.解：原式=<9分>已知直線,,求過直線l1且平行于直線l2的平面方程.解：取直線l1上一點M1<0,0,1>于是所求平面方程為<9分>過原點的拋物線及y=0,x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為.求a,并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.解：由已知得故a=9拋物線為：繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積：五綜合題〔每小題4分,共8分<4分>設(shè),其中在區(qū)間[1,2]上二階可導(dǎo)且有.證明：存在〔使得。證明：由在[1,2]上二階可導(dǎo),故F<x>在[1,2]二階可導(dǎo),因f<2>=0,故F<1>=F<2>=0在[1,2]上用羅爾定理,至少有一點使得在[1,x0]上對用羅爾定理,至少有點<4分>.解：〔1為的最大值點。,當(dāng),；當(dāng),。為極大值,也為最大值?！?高等數(shù)學(xué)上B〔07解答填空題：〔共24分,每小題4分1．,則。2．已知,=__1______。3．。4．過原點的切線方程為。5．已知,則=。6．,時,點是曲線的拐點。二、計算下列各題：〔共36分,每小題6分1．求的導(dǎo)數(shù)。解：2．求。解：3．求。解：4．設(shè)在點處可導(dǎo),則為何值？解：5．求極限。解：=6．求過點且與兩直線和平行的平面方程。解：兩直線的方向向量分別為,平面的法向量。平面方程為。三、解答下列各題：〔共28分,每小題7分1．設(shè),求。解：2．求在上的最大值和最小值。解：最大值為,最小值為。3．設(shè)由方程確定,求。解：方程兩邊同時對x求導(dǎo)將代入上式4．求由與圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：四、證明題：<共12分,每小題6分>1．證明過雙曲線任何一點之切線與二個坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為常數(shù)。證明：雙曲線上任何一點的切線方程為切線與軸、軸的交點為故切線與二個坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2．設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù),證明：至少存在一點使得證明：令,由Rolle定理,存在一點,使,即高等數(shù)學(xué)上解答〔07單項選擇題〔每小題4分,共16分1．是A?！睞奇函數(shù)；〔B周期函數(shù)；〔C有界函數(shù)；〔D單調(diào)函數(shù)2．當(dāng)時,與B是同階無窮小量。〔A；〔B；〔C；〔D3．直線與平面的位置關(guān)系是C。〔A直線在平面內(nèi)；〔B平行；〔C垂直；〔D相交但不垂直。4．設(shè)有三非零向量。若,則A?！睞0；〔B-1；〔C1；〔D3填空題〔每小題4分,共16分1．曲線上一點P的切線經(jīng)過原點,點P的坐標(biāo)為。2．。3．方程確定隱函數(shù),則0。4．曲線、與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為。解下列各題〔每小題6分,共30分1．已知,求。解：2．求不定積分。解:3．計算定積分。解：4．求不定積分。解：5．已知,且,求。解：令,,〔8分設(shè)對任意有,且。求。解：由,五、〔8分證明：當(dāng)時,。證明：只需證明。令,在單調(diào)遞增。,當(dāng)時,。即?！?分已知,連續(xù),且當(dāng)時,與為等價無窮小量。求。解：〔8分設(shè)有曲線和直線。記它們與軸所圍圖形的面積為,它們與直線所圍圖形的面積為。問為何值時,可使最??？并求出的最小值。解：令,得。,為最小值點。八、設(shè)在內(nèi)的點處取得最大值,且。證明：證明：在對應(yīng)用拉格朗日定理在對應(yīng)用拉格朗日定理一、單項選擇題〔在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中<本大題分5小題,每小題2分,共10分>1、 答<>2、3、4、5、 答<>二、填空題〔將正確答案填在橫線上<本大題分5小題,每小題3分,共15分>1、2、3、設(shè)空間兩直線與相交于一點,則。4、5、三、解答下列各題<本大題4分>設(shè)平面與兩個向量和平行,證明：向量與平面垂直。四、解答下列各題<本大題8分>五、解答下列各題<本大題11分>六、解答下列各題<本大題4分>求過與平面平行且與直線垂直的直線方程。七、解答下列各題<本大題6分>八、解答下列各題<本大題7分>九、解答下列各題<本大題8分>十、解答下列各題<本大題5分>。十一、解答下列各題<本大題4分>十二、解答下列各題<本大題5分>重量為的重物用繩索掛在兩個釘子上,如圖。設(shè),求所受的拉力。十三、解答下列各題<本大題6分>十四、解答下列各題<本大題7分>、單項選擇題〔在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中<本大題分5小題,每小題2分,共10分>1、C2、答：B3、 10分4、〔Ｂ5、C二、填空題〔將正確答案填在橫線上<本大題分5小題,每小題3分,共15分>1、 10分2、 5分 10分3、4、-15、 10分三、解答下列各題<本大題4分>平面法向量 4分與平行 8分從而平面與垂直。 10分四、解答下列各題<本大題8分> 5分 7分 10分五、解答下列各題<本大題11分> 3分 7分 10分 3分 5分 7分 10分六、解答下列各題<本大題4分>的法向量為的方向向量為 3分所求直線方向向量為 7分從而所求直線方程為 10分七、解答下列各題<本大題6分> 3分 7分 10分八、解答下列各題<本大題7分> 4分 7分 10分九、解答下列各題<本大題8分> 2分 5分 8分 10分十、解答下列各題<本大題5分> 4分 8分 10分十一、解答下列各題<本大題4分> 4分 8分 10分十二、解答下列各題<本大題5分>按點受力平衡,應(yīng)有,即 解得 <10分>十三、解答下列各題<本大題6分> 2分 4分 10分十四、解答下列各題<本大題7分> 3分 5分 8分 10分一、單項選擇題〔在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中<本大題分4小題,每小題3分,共12分>1、2、3、4、二、填空題〔將正確答案填在橫線上<本大題分4小題,每小題3分,共12分>1、2、__________.3、4、直線與平面的交點為。三、解答下列各題<本大題共2小題,總計12分>1、<本小題6分>2、<本小題6分>指出錐面被平行于平面的平面所截得的曲線的名稱。四、解答下列各題<本大題共5小題,總計24分>1、<本小題1分>2、<本小題2分>3、<本小題5分>4、<本小題5分>5、<本小題11分>五、解答下列各題<本大題共2小題,總計14分>1、<本小題7分>2、<本小題7分>試證：對角線向量是的平行四邊形是菱形,并計算其邊長。六、解答下列各題<本大題共3小題,總計20分>1、<本小題6分>2、<本小題6分>3、<本小題8分>七、解答下列各題<本大題共2小題,總計6分>1、<本小題1分>2、<本小題5分>一、單項選擇題〔在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中<本大題分4小題,每小題3分,共12分>1、D 10分2、 10分3、B 10分4、B 10分二、填空題〔將正確答案填在橫線上<本大題分4小題,每小題3分,共12分>1、2、3、= 10分4、三、解答下列各題<本大題共2小題,總計12分>1、<本小題6分> 7分 10分2、<本小題6分>用所截得的曲線為 4分故時為一對相交直線時為雙曲線10分四、解答下列各題<本大題共5小題,總計24分>1、<本小題1分> 10分2、<本小題2分> 7分 10分3、<本小題5分> 3分 7分 10分4、<本小題5分> 4分 6分 8分 10分5、<本小題11分> 2分 10分五、解答下列各題<本大題共2小題,總計14分>1、<本小題7分> 2分 6分 8分 10分2、<本小題7分>因為,故因此這個平行四邊形的對角線是垂直的,于是它是菱形。 〔6分邊長= 〔10分六、解答下列各題<本大題共3小題,總計20分>1、<本小題6分> 4分 8分 10分<注如用切線平行于已知直線解也可以>2、<本小題6分> 3分 5分 10分3、<本小題8分> 3分 6分 10分七、解答下列各題<本大題共2小題,總計6分>1、<本小題1分> 4分 10分2、<本小題5分> 4分 6分 10分1、2、3、4、5、 答<>二、填空題〔將正確答案填在橫線上<本大題分3小題,每小題3分,共9分>1、_______________.2、3、對于的值,討論級數(shù)〔1當(dāng)時,級數(shù)收斂〔2當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散三、解答下列各題<本大題共3小題,總計13分>1、<本小題4分>2、<本小題4分> 級數(shù)是否收斂,是否絕對收斂？3、<本小題5分>設(shè)是以為周期的函數(shù),當(dāng)時,。又設(shè)是的以為周期的Fourier級數(shù)之和函數(shù)。試寫出在內(nèi)的表達(dá)式。四、解答下列各題<本大題共5小題,總計23分>1、<本小題2分>2、<本小題2分>3、<本小題4分>4、<本小題7分>5、<本小題8分> 試將函數(shù)在點處展開成泰勒級數(shù)。五、解答下列各題<本大題5分>如果冪級數(shù)在處條件收斂,那么該級數(shù)的收斂半徑是多少試證之.六、解答下列各題<本大題共2小題,總計16分>1、<本小題7分>2、<本小題9分>七、解答下列各題<本大題6分>八、解答下列各題<本大題6分>九、解答下列各題<本大題12分>一、單項選擇題〔在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案,填在題末的括號中<本大題分5小題,每小題2分,共10分>1、2、B 10分3、 10分4、 10分5、二、填空題〔將正確答案填在橫線上<本大題分3小題,每小題3分,共9分>1、 10分2、 10分3、時收斂時發(fā)散三、解答下列各題<本大題共3小題,總計13分>1、<本小題4分> 4分 8分 10分2、<本小題4分>記由于……6分故原級數(shù)絕對收斂,從而收斂……10分3、<本小題5分>對作周期為的延拓,在內(nèi)的表達(dá)式為<3分>滿足Fourier級數(shù)收斂的充分條件。<5分>故<10分>注：只要寫出的表達(dá)式即可得10分。四、解答下列各題<本大題共5小題,總計23分>1、<本小題2分> 5分 8分 10分2、<本小題2分> 5分 10分3、<本小題4分> 4分 6分 8分 10分4、<本小題7分> 5分 10分5、<本小題8分>因為……3分而……5分所以……10分五、解答下列各題<本大題5分>由題意,知:當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂；……4分當(dāng)時,級數(shù)不可能收斂.……8分故收斂半徑是2.……10分六、解答下列各題<本大題共2小題,總計16分>1、<本小題7分> 3分 6分 8分 10分2、<本小題9分> 3分 6分 8分 10分七、解答下列各題<本大題6分> 3分 5分 10分八、解答下列各題<本大題6分> 5分 10分九、解答下列各題<本大題12分> 4分 6分 8分 10分一、填空1.設(shè)當(dāng)a=時,x=0是f<x>的連續(xù)點。解：2．＝。解：3．＝A,則a=,b=,A=。解：要使極限存在,分子與分母應(yīng)是極限過程中的同階無窮小或高階無窮小,于是有1＋a+b=0,用一次羅必達(dá)法則分子仍為無窮小,有a+4b=0解出：a=-4/3b=1/3代入求得極限A＝8/34．函數(shù)的極小值點為。解：駐點,在駐點處y’’>0,故駐點為極小值點。5．設(shè)f<x>=xlnx在x0處可導(dǎo),且f’<x0>=2,則f<x0>=。解：則f<x>在x=0取得〔填極大值或極小值。解：二、是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？并求f<x>的導(dǎo)函數(shù)。解：當(dāng)x>0及x<0時,,f<x>為初等函數(shù),連續(xù)。三、解下列各題1．解：原式＝.2．；解：原式＝3．,求此曲線在x=2的點處的切線方程,及。解：四、試確定a,b,c的值,使y=x3+ax2+bx+c在點<1,-1>處有拐點,且在x=0處有極大值為1,并求此函數(shù)的極小值。解：五、若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù),求有最大面積的直角三角形。解：設(shè)所給直角邊為x,斜邊與其之和為L,則六、證明不等式：七、y=f<x>與y=sin<x>在原點相切,求極限八、設(shè)f<x>在[0,1]上連續(xù)且在<0,1>內(nèi)可導(dǎo),且f<0>=f<1>=0,f<1/2>=1.證明：<1>至少有一點ξ∈<1/2,1>,使得f<ξ>=ξ;<2>R,存在<0,>,使得f’<>-[f<>-]=1證：〔1令F<x>=f<x>-x,則f在[0,1]連續(xù),在<0,1>可導(dǎo),F〔1/2=f<1/2>-1/2>0F<1>=f<1>-1=0-1<0,∴在<1/2,1>內(nèi)至少有一點,使F〔=0,即f<>=.。<2>證：一、選擇題〔每題4分,共16分1．〔D。A、；B、；C、；D、2．設(shè)在處可導(dǎo),且,則〔B。A、；B、；C、；D、。3．若是的一個原函數(shù),則〔D。A、；B、；C、；D、。4．已知函數(shù)在處取得極值,則〔B。A、且為函數(shù)的極小值點；B、且為函數(shù)的極小值點；C、且為函數(shù)的極大值點；D、且為函數(shù)的極大值點。二、填空題〔每題5分,共20分1．。2．。3．。4．設(shè)為向量,為實數(shù)。若,,,,則。三、計算下列各題〔每題9分,共45分1．求極限/r/