數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

..數(shù)列求和及綜合應(yīng)用解答題1.<2014·XX高考文科·T19>已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.<1>求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.<2>記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.[解題指南]<1>由2,2+d,2+4d成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列{an}的通項(xiàng).<2>根據(jù){an}的通項(xiàng)公式表示出{an}的前n項(xiàng)和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式.[解析]<1>設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有<2+d>2=2<2+4d>,化簡(jiǎn)得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當(dāng)d=0時(shí),an=2;當(dāng)d=4時(shí),an=2+<n-1>·4=4n-2,從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.<2>當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n.顯然2n<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立.當(dāng)an=4n-2時(shí),Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10<舍去>,此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41.綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n.當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41.2.〔2014·XX高考理科·Ｔ18已知等差數(shù)列滿足：＝2,且成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.記為數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在正整數(shù),使得若存在,求的最小值；若不存在,說(shuō)明理由.[解題指南]〔Ⅰ由,,成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列的通項(xiàng)；〔Ⅱ根據(jù)的通項(xiàng)公式表示出的前n項(xiàng)和公式,令,解此不等式。[解析]〔1設(shè)數(shù)列的公差為,依題意,成等比數(shù)列,故有化簡(jiǎn)得,解得或當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或。〔2當(dāng)時(shí),。顯然此時(shí)不存在正整數(shù),使得成立。當(dāng)時(shí),令,即,解得或〔舍去,此時(shí)存在正整數(shù),使得成立,的最小值為41。綜上,當(dāng)時(shí),不存在滿足題意的；當(dāng)時(shí),存在滿足題意的,其最小值為41。3.〔2014·XX高考理科·Ｔ20〔本小題滿分13分已知數(shù)列{}滿足〔1若{}是遞增數(shù)列,且成等差數(shù)列,求的值；〔2若,且{}是遞增數(shù)列,{}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．[解題提示]〔1由{}是遞增數(shù)列,去掉絕對(duì)值,求出前三項(xiàng),再利用成等差數(shù)列,得到關(guān)于p的方程即可；〔2{}是遞增數(shù)列,{}是遞減數(shù)列,可以去掉絕對(duì)值,再利用疊加法求通項(xiàng)公式。[解析]〔1因?yàn)閧}是遞增數(shù)列,所以,又,,因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以,解得,當(dāng),,與{}是遞增數(shù)列矛盾,所以。〔2因?yàn)閧}是遞增數(shù)列,所以,于是①由于,所以②由①②得,所以③因?yàn)閧}是遞減數(shù)列,所以同理可得,④由③④得,所以,所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為．4.〔2014·XX高考文科·Ｔ17〔本小題滿分12分已知數(shù)列的前項(xiàng)和.〔1求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.[解題提示]〔1利用的關(guān)系求解,〔2分組求和。[解析]〔1當(dāng)時(shí),；當(dāng),故數(shù)列的通項(xiàng)公式為〔2由〔1知,,記數(shù)列的前2n項(xiàng)和為,則記,,則,故數(shù)列的前2n項(xiàng)和5.<2014·XX高考文科·T19><14分>設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足-<n2+n-3>Sn-3<n2+n>=0,n∈N*.<1>求a1的值.<2>求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.<3>證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<.[解題提示]<1>可直接令n=1.<2>用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1<n≥2>.<3>先對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮再裂項(xiàng)相消整理求和.[解析]<1>令n=1,則S1=a1,-<12+1-3>S1-3<12+1>=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3<舍去>.<2>-<n2+n-3>Sn-3<n2+n>=0可以整理為<Sn+3>[Sn-<n2+n>]=0,因?yàn)閿?shù)列{an}中an>0,所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-<n-1>2-<n-1>=2n,而a1=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n<n∈N*>.<3>因?yàn)?=·<·,=-,所以++…+<==-<.故對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<.6.〔2014·XX高考理科·Ｔ19〔本題滿分14分已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列,且求與；設(shè),記數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求；②求正整數(shù),使得對(duì)任意,均有.[解析]〔1由題意,知又由,得公比〔舍去,所以數(shù)列的通項(xiàng)所以,所以數(shù)列的通項(xiàng)〔2①由〔1知所以②因?yàn)?；當(dāng)時(shí),而得所以,當(dāng)時(shí),綜上,對(duì)任意恒有,故.7.〔2014·上海高考理科·Ｔ23已知數(shù)列滿足.若,求的取值范圍；若是公比為等比數(shù)列,,求的取值范圍；若成等差數(shù)列,且,求正整數(shù)的最大值,以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.[解題指南][解析]8.<2014·XX高考文科·T17>已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=,n∈N*.<1>求數(shù)列的通項(xiàng)公式.<2>證明:對(duì)任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.[解題指南]<1>利用an=Sn-Sn-1<n≥2>解決.<2>a1,an,am成等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為=a1·am.[解析]<1>當(dāng)n=1時(shí)a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=-=3n-2,對(duì)n=1也滿足,所以的通項(xiàng)公式為an=3n-2;<2>證明:由<1>得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比數(shù)列,需要=a1·am,所以<3n-2>2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以對(duì)任意n>1,都有m∈N*使得=a1·am成立,即a1,an,am成等比數(shù)列.9〔2014·上海高考文科·Ｔ23已知數(shù)列滿足.若,求的取值范圍；若是等比數(shù)列,且,求正整數(shù)的最小值,以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比；〔3若成等差數(shù)列,求數(shù)列的公差的取值范圍.[解題指南][解析]10.〔2014·XX高考理科·Ｔ19已知等差數(shù)列的公差為2,前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列.

〔Ⅰ求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.[解題指南]<1>先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng).然后根據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.<2>利用裂項(xiàng)求和法求解,注意本題是將數(shù)列裂成兩項(xiàng)之和,然后再分奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.[解析]〔I解得〔II11.〔2014·XX高考文科·Ｔ19在等差數(shù)列中,已知,是與等比中項(xiàng).〔Ⅰ求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ設(shè)記,求.[解題指南]<1>先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng).然后根據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.<2>分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論求數(shù)列的和.[解析]：〔Ⅰ由題意知：為等差數(shù)列,設(shè),為與的等比中項(xiàng)且,即,解得：〔Ⅱ由〔Ⅰ知：,①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：綜上：12.<2014·XX高考理科·T17>已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}{bn}<bn≠0,n∈N*>,滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.<1>令cn=,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.<2>若bn=3n+1,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.[解題指南]<1>將等式兩端同時(shí)除以bnbn+1即可求解.<2>由<1>及bn=3n+1可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,分析通項(xiàng)公式的特征利用錯(cuò)位相減法求Sn.[解析]<1>因?yàn)閎n≠0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得-+2=0,即-=2,所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以c1==1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以cn=1+<n-1>×2=2n-1.<2>因?yàn)閎n=3n+1,cn=2n-1.所以an=cnbn=<2n-1>3n+1.所以Sn=1×32+3×33+5×34+…+<2n-1>3n+1,3Sn=1×33+3×34+…+<2n-3>3n+1+<2n-1>3n+2,作差得:-2Sn=32+2<33+34+…+3n+1>-<2n-1>3n+2=9+2×-<2n-1>3n+2=-［18+2<n-1>3n+2］,所以Sn=9+<n-1>3n+2.13.〔2014·XX高考文科·Ｔ18數(shù)列滿足證明：數(shù)列是等差數(shù)列；設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和[解題提示]利用等差數(shù)列的定義、錯(cuò)位相消法分別求解。[解析]<1>由已知可得,所以是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列?！?由〔1得,所以,從而,將以上兩式聯(lián)立可得==所以14.<2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)·T17><本小題滿分12分>已知數(shù)列滿足a1=1,an+1=3an+1.<1>證明是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式.<2>證明:++…+<.[解題提示]<1>將an+1=3an+1進(jìn)行配湊,得"an+1+"與"an+"的關(guān)系,得證,然后求得{an}的通項(xiàng)公式.<2>求得的通項(xiàng)公式,然后證得不等式.[解析]<1>因?yàn)閍1=1,an+1=3an+1,n∈N*.所以an+1+=3an+1+=3.所以是首項(xiàng)為a1+=,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=,所以an=.<2>=.=1,當(dāng)n>1時(shí),=<.所以++…+<1+++…+==<.所以,++…+<.n∈N*.15.〔2014·XX高考理科·Ｔ19設(shè)等差數(shù)列的公差為,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上〔．〔1若,點(diǎn)在函數(shù)/