2020年北京市海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)二模試卷及參考答案

22/2020)(本小題共14分)已知函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx).求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；求證：曲線y=f(x)在區(qū)間(°,2)上有且只有一條斜率為2的切線.(21)(本小題共14分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點.對任意的點P(x,y)，定義IIOP11=IxI+1y丨?任取點A(x,y),B(x,y)，記A'(x,y),B'(x,y)，若此時IIOAII2+IIOBII2>IIOA'II2+IIOB'II2成11221221立，則稱點A,B相關(guān).分別判斷下面各組中兩點是否相關(guān)，并說明理由；①A(-2,1),B(3,2)；②C(4,-3),D(2,4).給定neN*，n>3，點集。={(x,y)I-n<x<n,-n<y<n,x,yeZ}?n(i)求集合Qn中與點A(1,1相關(guān)的點的個數(shù)；(ii)若S匸。，且對于任意的A,BeS，點A,B相關(guān)，求S中元素個數(shù)的最大值.n2020北京海淀高三二模數(shù)學(xué)參考答案、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。題號12345678910答案DABDCCABCC、填空題共5小題，每小題5分，共25分。題號1112131415答案1—2X2y2-——14461，[0,6]6②③注：第12題答案不唯一，寫出一個形如—=1或=1(a2〉2)的方程即可;a2a2a2a2第14題第一空3分，第二空2分；第15題全部選對得5分，不選或有錯選得0分其他得3分。三、解答題共6小題，共85分。(16)(本小題共14分)解：選擇條件①，不存在正整數(shù)k(k〉1),使得S=S.k1解法1理由如下：_5乂4在等差數(shù)列｛a｝中，S=5a+d=5a+10dn5121乂a】=4，S5=40?a—4所以由］1，得d—2.5a+10d—401^所以a—a+(n—1)d—4+2(n—1)—2n+2?n1又因為S-S=a>0,n+1nn+1所以數(shù)列｛S｝為遞增數(shù)列?即Vk>1,都有S>S.nk1所以不存在正整數(shù)k(k>1),使得S=S?k1解法2理由如下：_5乂4在等差數(shù)列｛a｝中，S=5a+d=5a+10dn5121乂a=4，S=40?15a二4所以由『14，得d=2.5a+10d=401所以S=ka+k(k-1)d=4k+k(k-1)X2=k2+3k?k122令S=S=4，即k2+3k-4=0.k1解得k二1或k=-4.因為k>1，所以k二1與k=-4均不符合要求.所以不存在正整數(shù)k(k>1),使得S=S.k1選擇條件②，存在正整數(shù)k=12,使得S=S.k1理由如下：X4在等差數(shù)列｛a｝中，S=5a+d=5a+10dn5121乂d二—2，S=40.5fd=—2所以由］2，得a=12.5a+10d=4011所以S=ka+k(k—1)d=12k+k(k—1)X(—2)=—k2+13k.k122令S=S=12，即-k2+13k=12.k1整理得k2-13k+12=0.解得k=1或k=12.因為k>1，所以k二12.所以當(dāng)k=12時，s=S.k1(17)(本小題共14分)證明：因為E為AD中點，所以DE=-AD=1.2又因為BC=1，所以DE=BC.在梯形ABCD中，DE//BC，所以四邊形BCDE為平行四邊形.所以BE//CD.又因為BE工平面PCD,且CDu平面PCD，所以BE//平面PCD.因為BEu平面BEF，平面BEFd平面PCD二FG，所以BE//FG.解：(解法1)因為PE丄平面ABCD，且AE,BEu平面ABCD,所以PE丄AE，且PE丄BE.因為四邊形BCDE為平行四邊形，Z4DC二90P，所以AE丄BE.以E為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.貝yE(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(-1,1,0)，D(-1,0,0).設(shè)P(0,0,m)(m>0)，所以CP=(1,—l，m)，AB=(-1,1,0).所以cos<CP,AB〉=.=CP-AB—2J2+m2?逅因為PC與AB所成角為寸,所以m-\2.則p（0,0,^2）,F（—，丄，）.222所以EB-（0,1,0）,EF-（—丄,丄，竺）,PB-（0,1,—2）.222設(shè)平面BEF的法向量為n-(x,y,z),n-EB-0,n-EF-0.y-0,即:11逅c—x+—y+—z-0.〔222令x-育2，貝Uz=1，所以n-G2,0,1）.所以cos<PB所以cos<PB,n〉-PB■nIPBIInIJ2所以直線PB與平面BEF的所成角的正弦值為鼻.3（11）（解法2）連結(jié)EC,C因為AE〃BC且AE二BC，所以四邊形ABCE為平行四邊形.C所以AB//CE.因為PC與AB所成角為匹，所以PC與CE所成角為匹.44即ZPCE=-.4因為PE丄平面ABCD,且CEu平面ABCD,所以PE丄CE.又因為ZEDC=-，所以平行四邊形BCDE是矩形.2所以在等腰直角三角形PEC中，pe=CE=?込.因為PE丄平面ABCD,且AE,BEu平面ABCD,所以PE丄AE，且PE丄BE.又因為AE丄BE，以E為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz貝yE(0,0,0)，B(O,1,O)，P(0,0」2)，C(-1,1,0)，所以eb=(。丄。)，eF=(-2,2予,pb=(°丄-冋.設(shè)平面BEF的法向量為"=(X,y,z)，則n-EB=0,<n-EF=0.y=0，

令x=、一：2，貝9z—1，所以n=（\：2,0,1）.所以cos<PB,n>=J2所以直線PB與平面BEF的所成角的正弦值為二.3（18）（本小題共14分）解：（I）由圖1可知，該地區(qū)居民中年齡在71?80歲的頻率為0.004x10=4%.由圖2可知，樣本中年齡在71~80歲居民家庭醫(yī)生的簽約率為70.0%，因為該地區(qū)居民人數(shù)約為2000萬，所以該地區(qū)年齡在71?80歲，且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù)約為2000x4%x70.0%=56（萬人）.（II）由題意，從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機抽取一人，其簽約家庭醫(yī)生的概率為710.設(shè)A.表示事件“從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機抽取兩人，其中第i個人已簽約i家庭醫(yī)生”（i=1,2），7—73則P(A)=10，P(A)=1-10=15(i=1，2).設(shè)事件C為“從該地區(qū)年齡在71~80歲居民中隨機抽取兩人,這兩人中恰有1人已簽約家庭醫(yī)生”，則C=AAAA.122121507332150所以P(C)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=10X10+10X10=21所以這兩人中恰有1人已簽約家庭醫(yī)生的概率為50.（III）應(yīng)著重提高年齡在31~50歲居民的簽約率.理由如下：

①依題意，該地區(qū)年滿18周歲居民簽約率從44%提高到55%以上，需至少提升11%；年齡在31?50歲居民人數(shù)在該地區(qū)的占比約為：21%+16%=37%，占比大；年齡在31~50歲居民的醫(yī)生簽約率較低，約為37.1%；該地區(qū)年滿18周歲居民的人數(shù)在該地區(qū)的占比約為：l-(0.008+0.005x0.7)x10=0.885；所以，綜合以上因素，若該年齡段簽約率從37.1%提升至100%，可將該地區(qū)年滿18周歲居民簽約率提升37%x(1-37.1%)一0.885>37%x62.9%-23%，大于11%.19)(本小題共15分)b=1，解：a2解：a2=b2+c2.y=kx+1,得y=kx+1,得y1=kxF1=k-冇-8k1-4k27^+^4k2+11—4k2)4k2+1)所以橢圓w的方程為罕+y2=1.(II)由題意，直線l不與坐標(biāo)軸垂直.設(shè)直線l的方程為：y=kx+1(k豐0).由\得(4k2+1)x2+8kx=0.Ix2+4y2=4.設(shè)eq,y1)，因為x110，所以x1=右

又因為B(0,-1),所以k=14k2又因為B(0,-1),所以k=14k2+1-8k4k4k2+1由I；=2?得1Y——

k'y=2.1所以點M的坐標(biāo)為(；,2).k所以2k2=￥=3k

k1320)解：本小題共14分)所以ki-k2=-4k-320)解：本小題共14分)(I)f'(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.兀兀令f'(x)>0,得2k兀<x<2k兀+—(kgZ).22兀兀所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2k兀-2,2kk+-)(kgZ).兀證明：要證曲線y=f(x)在區(qū)間(0,2)上有且只有一條斜率為2的切線,兀即證方程f'(x)=2在區(qū)間(0,2)上有且只有一個解.令f'(x)=2excosx=2，得excosx=1.設(shè)g(x)=excosx-1，貝yg'(x)=excosx-exsinx=-兀兀當(dāng)xg(。，2)時，令g'(x)=o，得x-4-當(dāng)x變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下表:x(0‘4)-(4,-g'(x)+0g(x)極大值所以g(x)在(0,4)上單調(diào)增，在(4,2)上單調(diào)減.因為g(0)=0,所以當(dāng)xg(0,匹］時’g(x)>0；4又g(-)=-1<0，所以當(dāng)xg(-,-)時，g(x)有且只有一個零點.242所以當(dāng)xg(0,-)時，g(x)=excosx—1有且只有一個零點.2即方程f(x)=2，xg(0,-)有且只有一個解.2所以曲線y=f(x)在區(qū)間(0,-)上有且只有一條斜率為2的切線.2(21)(本小題共14分)解：(1)①由題知A'(-2,2),B'(3,1)，進而有IIOA112+IIOB112=(2+1)2+(3+2)2=34，IIOA'II2+IIOB'II2=(2+2)2+(3+1)2=32，所以IIOAII2+IIOBII2>IIOA'II2+IIOB'II2.所以A,B兩點相關(guān)；②由題知C'(4,4),D'(2,-3)，進而有IIOC112+IIOD112=(4+3)2+(2+4)2=85,IIOC'II2+IIOD'II2=(4+4)2+(2+3)2=89,所以IIOCII2+IIODII2<IIOC'II2+IIOD'II2,所以C,D兩點不相關(guān).(II)(i)設(shè)A(l,l)的相關(guān)點為B(x,y),x,yeZ,-n<x<n,-n<y<n,由題意，A'(1,y)，B'(x,1).因為點A,B相關(guān)，則4+x2+y2+2IxIIyI>1+y2+2IyI+1+x2+2IxI.所以IxIIyI-1xI-1yI+1>0.所以(IxI-1)(IyI-1)>0.當(dāng)x=0時,IyIe{0,1},則A(1,1廂關(guān)點的個數(shù)共3個；當(dāng)IxI=1時，則A(1,1)相關(guān)點的個數(shù)共4n+2個；當(dāng)IxI>2時，IyI>1，則A(1,1)相關(guān)點的個數(shù)共4n(n-1)個.所以滿足條件點B共有4n(n-1)+4n+2+3=4n2+5(個).(ii)集合S中元素個數(shù)的最大值為8n-1.S={(0,0),(0,±1),(±1,±1),???(±1,土n),(±2,土n),???,(土n,土n)}符合題意下證：集合S中元素個數(shù)不超過8n-1.設(shè)A(x,y),B(x,y)，若點A,B相關(guān)，則1122x2+y2+2IxIIyI+x2+y2+2IxIIyI11112222>x2+y2+2IxIIyI+x2+y2+2IxIIyI.12122121則IxyI+1xyI>IxyI+1xyI11221221

所以(|xi|-1x2|)(|yj—1丁?1)'o.設(shè)集合S中共有m個元素，分別為A(x,y),1<i<m,ieN*,iii不妨設(shè)1兀盧1叮<?」叮，而且滿足當(dāng)1xi|=|xiJ，1yjvyj?下證：|y|<|y12若Ix1=1xI，IyI<IyITOC\o"1-5"\h\zii+1ii+1若IxI<IxI，則必有IyI<IyI.ii+1ii+1記，d/r/