2022年秋高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.2空間向量基本定理課件新人教B版選擇性必修第一冊

1.1.2空間向量基本定理第一章課標(biāo)要求1.掌握共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內(nèi)容及含義;2.理解基底、基向量的概念,能用恰當(dāng)?shù)幕妆硎究臻g向量;3.能用共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空間向量基本定理解決立體幾何中的簡單問題.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

空間中的共線向量基本定理兩個(gè)空間向量a,b,如果a≠0,且b∥a,則

的實(shí)數(shù)λ,使得

.

名師點(diǎn)睛存在唯一

b=λa

過關(guān)自診已知向量a,b不共線,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共線,則k的值是(

)A.0 B.1 C.-1 D.2答案

C

提示若p,q共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,則

解得k=-1.知識點(diǎn)2

共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線,則向量a,b,c共面的充要條件是,存在唯一的實(shí)數(shù)對(x,y),使c=xa+yb.名師點(diǎn)睛證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示:設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合,即若p=xa+yb,則向量p,a,b共面.(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對于空間任一點(diǎn)O,及不共線的三點(diǎn)A,B,C,過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)√×2.向量a,b均是非零向量,a,b不共線,在空間中任取一點(diǎn)O,作,若向量c與a,b共面,則表示c的有向線段所在的直線與平面OAB的關(guān)系是什么?提示表示c的有向線段所在直線與平面OAB平行或該直線在平面OAB內(nèi).

知識點(diǎn)3

空間向量基本定理如果空間中的三個(gè)向量a,b,c

,那么對空間中的任意一個(gè)向量p,存在

的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空間中不共面的三個(gè)向量a,b,c組成的集合{a,b,c},常稱為空間向量的一組基底.此時(shí),a,b,c都稱為基向量;如果p=xa+yb+zc,則稱xa+yb+zc為p在基底{a,b,c}下的分解式.

不共面

唯一

名師點(diǎn)睛(1)任意三個(gè)不共面向量都可構(gòu)成空間的一組基底;任意一組空間向量的基底都可生成空間的所有向量;每一個(gè)空間向量都可被分解到任意一組基底中;同一個(gè)向量在同一組基底下的分解式是唯一的.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)如果向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底,則a,b一定共線.(

)(2)任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底.(

)√×答案C

重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一空間向量共線的判定【例1】

如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1D1,AB的中點(diǎn),E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF=FC1,判斷

是否共線.規(guī)律方法

1.判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.本例中緊緊圍繞

之間的倍數(shù)關(guān)系,正是體現(xiàn)了共線向量定理的應(yīng)用要領(lǐng).2.求解參數(shù):已知兩非零向量共線,可求其中參數(shù)的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.這一結(jié)論可逆向解決已知條件為向量平行的若干問題.3.判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P,A,B)是否共線的方法變式訓(xùn)練1探究點(diǎn)二空間向量共面問題規(guī)律方法

證明空間三向量共面或四點(diǎn)共面的方法設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合,即若p=xa+yb,則向量p,a,b共面.對于此方法的使用要注意涉及的向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)問題,變式訓(xùn)練2∵它們有共同的起點(diǎn)M,且A,B,C三點(diǎn)不共線,∴M,A,B,C四點(diǎn)共面,即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).探究點(diǎn)三空間向量基本定理角度1基底的判斷

規(guī)律方法

判斷給出的某一向量組中的三個(gè)向量能否作為基底,關(guān)鍵是要判斷它們是否共面,如果從正面難以入手,常用反證法或是一些常見的幾何圖形幫助我們進(jìn)行判斷.此例中將能否構(gòu)成基底問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程組是否有解的討論.變式訓(xùn)練3下列說法正確的是(

)A.任何三個(gè)向量可構(gòu)成空間向量的一組基底B.空間向量的基底有且僅有一組C.A,B,M,N是空間中的四個(gè)點(diǎn),若

不能構(gòu)成空間向量的一組基底,則點(diǎn)A,B,M,N共面D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應(yīng)相等答案C

解析

A項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的一組基底,所以A錯(cuò);B項(xiàng)中空間向量的基底有無數(shù)組,所以B錯(cuò);C項(xiàng)顯然正確;D項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?所以D錯(cuò).故選C.角度2用基底表示向量規(guī)律方法

1.空間中,任一向量都可以用一組基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時(shí),一般要結(jié)合圖形,運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時(shí),通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.變式探究

變式訓(xùn)練4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn).角度3空間向量基本定理的應(yīng)用【例5】

如圖所示,已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,M,N分別為PC,PD上的點(diǎn),且PM∶MC=2∶1,N為PD中點(diǎn),求滿足規(guī)律方法

用基向量表示指定向量的方法選定空間中不共面的三個(gè)向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,是用向量解決立體幾何問題的一項(xiàng)基本功.要結(jié)合已知和所求,觀察圖形,聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等,就近表示待求向量,再對照目標(biāo),將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的待求向量,如此繼續(xù)下去,直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止.變式訓(xùn)練5答案

B

素養(yǎng)培優(yōu)思維拓展——空間向量基本定理的體積形式【典例】

若P為四面體ABCD內(nèi)的任一點(diǎn),VB,VC,VD,V分別表示四面體PACD,四面體PABD,四面體PABC,四面體ABCD的體積,則【規(guī)范答題】

當(dāng)P在平面ABC或平面ABD或平面ACD時(shí)易證結(jié)論也成立.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.給出下列說法,其中錯(cuò)誤的是(

)A.空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B.已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基底C.若向量a+b,b+c,c+a是空間向量的一組基底,則a,b,c也是空間向量的一組基底D.已知{a,b,c}是空間向量的一組基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間向量的一組基底答案A

解析

A選項(xiàng),空間任意的三個(gè)不共面的向量才可以作為一組基底,故A錯(cuò);B選項(xiàng),若a∥b,則a,b與任何向量都共面,故不能構(gòu)成空間向量的一組基底,故B對;C選項(xiàng),設(shè)d是空間任意一個(gè)向量,由題意存在唯一一組實(shí)數(shù)(x,y,z),使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,則a,b,c也是空間向量的一組基底,故C對;D選項(xiàng),∵{a,b,c}是空間向量的一組基底,∴a,b與向量m=a+c一定不共面,∴{a,b,m}也可以構(gòu)成空間向量的一組基底,故D對.故選A.2.下列條件中,使點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是(

)答案C

3.(多選題)若空間中任意四點(diǎn)O,A,B,P滿足,其中m+n=1,則結(jié)論正確的有(

)A.P∈直線ABB.P?直線ABC.O,A,B,P四點(diǎn)共面D.P,A,B三點(diǎn)共線答案

AC