2022年秋高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第2課時(shí)函數(shù)的最大小值課后習(xí)題新人教A版選擇性必修第二冊(cè)_第1頁(yè)
2022年秋高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第2課時(shí)函數(shù)的最大小值課后習(xí)題新人教A版選擇性必修第二冊(cè)_第2頁(yè)
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2022年秋高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第2課時(shí)函數(shù)的最大小值課后習(xí)題新人教A版選擇性必修第二冊(cè)_第5頁(yè)
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5.函數(shù)y=x+12x2(x>0)的最小值為6.做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶,若要使水桶的體積是27π,且用料最省,則水桶的底面半徑為,最小表面積為.

7.求下列函數(shù)的最值:(1)f(x)=sinx+cosx,x∈-π2,π(2)f(x)=ln(1+x)-14x2,x∈[0,2]關(guān)鍵能力提升練8.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品,若該商品零售價(jià)定為p元,銷售量為Q件,則銷售量Q與零售價(jià)p有如下關(guān)系:Q=8300-170p-p2.則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨支出)()A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元9.函數(shù)f(x)=6x-x3+6在[0,4]上的最大值與最小值之和為()A.-46 B.-35 C.6 D.510.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n均屬于[-1,1],則f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13 B.-15 C.10 D.1511.若函數(shù)f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]12.已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點(diǎn),則a的取值范圍是.

13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

14.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式.(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小?并求最小值.15.已知函數(shù)f(x)=alnx-bx2,a,b∈R,且曲線y=f(x)在x=1處與直線y=-12相切(1)求a,b的值;(2)求f(x)在1e,e上的最大值.16.某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=ax-3+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù),已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)當(dāng)a<0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a<0時(shí),證明f(x)≤-34a-

參考答案第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值1.Cf'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1?[-3,0].所以函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為-17.2.C由題意,得y'=-38t2-32t+36=-38(t+12)(令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.當(dāng)6≤t<8時(shí),y'>0;當(dāng)8<t≤9時(shí),y'<0,所以當(dāng)t=8時(shí),y有最大值,即此時(shí)刻通過(guò)該路段用時(shí)最多.3.ABC由導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增,因此在區(qū)間[-2,0]上的最大值、最小值均在端點(diǎn)處取得,故A正確;f(x)在-2,12和(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,-2)和12,2上單調(diào)遞減,且2為f(x)的極小值點(diǎn),故B和C均正確;f(-2)是函數(shù)f(x)的極小值,但不一定是最小值,故D錯(cuò)誤.故選ABC.4.-1e2函數(shù)f(x)=(x+1)ex的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=(x+2)ex,當(dāng)x>-2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x<-2時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,因此當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為f(-2)=(-2+1)e-2=-5.32y'=1+12×(-2)×1x3=1-1x3=x3-1x3=(x-1)(x2+x+1)x3,所以當(dāng)x>1時(shí),y'>0,當(dāng)06.327π設(shè)圓柱形水桶的表面積為S,底面半徑為r(r>0),則水桶的高為27r2,所以S=πr2+2πr×27r2=πr2+54πr(r>0),S'=2πr-54πr2,當(dāng)0<r<3時(shí),S'<0;當(dāng)r>3時(shí),S'>0,所以當(dāng)r=3時(shí),圓柱形水桶的表面積最小,即用料最省.∴Smin=π×32+54π3=9π+18π=27π7.解(1)f'(x)=cosx-sinx.令f'(x)=0,即tanx=1,且x∈-π2,π2,所以x=又因?yàn)閒π4=2,f-π2=-1,fπ2=1,所以當(dāng)x∈-π2,π2時(shí),函數(shù)的最大值為fπ4=2,最小值為f-π2=-1.(2)f'(x)=11+令11+x?x2=0,化簡(jiǎn)為x解得x1=-2(舍去),x2=1.f(1)=ln2-14,f(0)=0,f(2)=ln3-1>∵f(1)>f(2),∴f(0)=0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln2-14為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值8.D設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p),由題意知L(p)=Q(p-20)=(8300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,所以L'(p)=-3p2-300p+11700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此時(shí),L(30)=23000.因?yàn)樵趐=30附近的左側(cè)L'(p)>0,右側(cè)L'(p)<0,所以L(30)是極大值,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知,L(30)是最大值,即零售價(jià)定為每件30元時(shí),最大毛利潤(rùn)為23000元.9.B由f(x)=6x-x3+6得f'(x)=3x-3x2=3(1-x2x)x,由f'當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,所以f(x)的極大值為f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值為11,最小值為-46,所以最大值與最小值之和為-35.故選B.10.A對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=-3x2+2ax,由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的圖象開(kāi)口向下,且對(duì)稱軸為x=1,∴當(dāng)n∈[-1,1]時(shí),f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值為-13.11.D∵f(x)=-x3-3x2+1,∴f'(x)=-3x2-6x,令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f'(x)-0+0-f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.當(dāng)x>0時(shí),f(x)<f(0)=1,當(dāng)x<-3時(shí),f(x)>f(-3)=1.又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值為1,∴a的取值范圍為[-3,0].故選D.12.(-∞,2ln2-2]函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點(diǎn),即方程ex-2x+a=0有實(shí)根,即函數(shù)g(x)=2x-ex的圖象與直線y=a有交點(diǎn),而g'(x)=2-ex,易知函數(shù)g(x)=2x-ex在(-∞,ln2)上單調(diào)遞增,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞減,因而g(x)=2x-ex的值域?yàn)?-∞,2ln2-2],所以要使函數(shù)g(x)=2x-ex的圖象與直線y=a有交點(diǎn),只需a≤2ln2-2即可.13.[4,+∞)2xlnx≤-x2+ax-3,則a≥2lnx+x+3x設(shè)h(x)=2lnx+3x+x(x>0),則h'(x)=(當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.14.解(1)由題設(shè),每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=k3x+5(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)而建造費(fèi)用為C1(x)=6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(2)f'(x)=6-2400(3x+5)2,令f'(x)解得x=5或x=-253(舍去)當(dāng)0<x<5時(shí),f'(x)<0;當(dāng)5<x<10時(shí),f'(x)>0.故x=5是f(x)的最小值點(diǎn),對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)=6×5+80015+5=70當(dāng)隔熱層為5cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元.15.解(1)f'(x)=ax-2bx(x>0)由曲線y=f(x)在x=1處與直線y=-12相切得f'(1(2)由(1),得f(x)=lnx-12x2,定義域?yàn)?0,+∞)f'(x)=1x-x=1令f'(x)>0,得0<x<1,令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在1e,1上是增函數(shù),在(1,e]上是減函數(shù),所以f(x)在1e,e上的最大值為f(1)=-12.16.解(1)因?yàn)閤=5時(shí),y=11,所以a2+10=11,a=2(2)由(1)知,該商品每日的銷售量y=2x-3+10(x-所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)=(x-3)·2x-3+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<從而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),于是,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于

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