《實(shí)變函數(shù)和泛函分析基礎(chǔ)》第二版-程其襄-第11章課后習(xí)題答案

第十一章線性算子的譜1．設(shè)。證明，且其中沒有特征值。不是滿射，這樣。證明當(dāng)時(shí)，常值函數(shù)1不在的值域中，因此反之若，定義算子。則由于，且因此易驗(yàn)證總之若是C[0，1]中有界線性算子。，所以。，，則對(duì)任意，，可推得，證明。由于，必有，所以A無(wú)特征值。證畢。2．設(shè)。證明對(duì)任意。因?yàn)槌Ｖ岛瘮?shù)1不在的值域中，因此。這樣。。反之，若，定義。類似第1題可證是有界線性算子，且。即因此。證畢。3．設(shè)，試求。解對(duì)任意，若，定義，顯然，因此的內(nèi)點(diǎn)都是A的點(diǎn)譜，由于是閉集，則。對(duì)任意，顯然，因此。，所以。這樣我們就證明了4．設(shè)F是平面上無(wú)限有界閉集，是F的一稠密子集，在中定義算子T：則都是特征值，中每個(gè)點(diǎn)是T的連續(xù)譜。證明對(duì)任意n，，其中1在第n個(gè)坐標(biāo)上。由題設(shè)，，因此是T的特征值。又由于是閉集，所以。定義算子。若，則，若，易驗(yàn)證因此，且。。若，且，使。則對(duì)任意n，。由于，則，。這樣x=0，因此不是特征值，而是連續(xù)譜。證畢。5．設(shè)為線性算子的特征值，則的n次根中至少有一個(gè)是算子A的特征值。證明設(shè)是的特征值，的n次根為。存在，使，則。若，則就是A的特征值，否則必有某i，，，而則是A的特征值。證畢。6．設(shè)A為Banach空間X上的有界線性算子，，又設(shè)為X上一列有界線性算子，且，證明當(dāng)n充分大后，也以為正則點(diǎn)。證明。當(dāng)n充分大時(shí)，，這樣是可逆的。此可逆性也可逆。證畢。由本章§2定理1可證，又也是可逆的。因此當(dāng)n充分大后，7．設(shè)A是為Banach空間X上的有界線性算子，則當(dāng)時(shí)，，。證明當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)必按算子范數(shù)收斂。這就證明了，。證畢。8．設(shè)A為X上的有界線性算子，，則。其中與的意義同第7題。證明在等式兩邊左乘右乘得。因此，證畢。9．設(shè)A是Hilbert空間H上的有界線性算子，A*為A的共軛算子，證明證明先證若T是Hilbert空間H上的有界線性算子，若T可逆，則T*也可逆，且。事實(shí)上，對(duì)任意。這樣，對(duì)任意成立，因此恒成立，進(jìn)而。。同理。這一證明了T*也可逆，且現(xiàn)在設(shè)，則可逆，因此也可逆，從而。證畢。。同理若，則，這就證明了10．設(shè)是到的全連續(xù)算子，是到的有界線性算子，則是到的全連續(xù)算子。證明設(shè)是中有界點(diǎn)列。因?yàn)槿B續(xù)，所以中必有收斂子列。我們記之為。又因?yàn)橛薪纾砸彩諗?，因此有收斂子列。這就證明了是全連續(xù)算子。證畢。11．設(shè)A是上線性算子，記，其中，證明A是全連續(xù)的。證明若，定義：則是有界秩算子，且所以。由本章§3定理2，A是全連續(xù)算子。證畢。12．的符號(hào)同第11題。作上算子U。證明U是上全連續(xù)算子且。證明若，則。令，則是有限秩算子，且所以。這樣U是有限秩算子的極限，U必是全連續(xù)算子。由于全連續(xù)算子的非零譜都是特征值，因此要證，只要證U無(wú)非零特征值。倘若，。即。則，由此可得。因此不是U的特征值。證畢。13．設(shè)（提示：記，求A的特征值和特征函數(shù)。）解記。設(shè)為對(duì)應(yīng)特征值的特征函數(shù)，則，即。若，則。代入c的表達(dá)式：，解得。因此非零特征值，特征函數(shù)為，其中為任意非零常數(shù)。若，則，特征函數(shù)為中任意非零函數(shù)。14．積分算子的核為，，其中為線性無(wú)關(guān)的函數(shù)組，則其非零特征值相應(yīng)的特征向量e有形式，是常數(shù)。若記，則可由下式?jīng)Q定：。證明。若為A的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量，則。即，其中。將代入表達(dá)式得。即，。證畢。15．在14題中，若。試求特征值和特征函數(shù)。解采用14題的符號(hào)，因?yàn)椋?，，。這樣決定的方程組。變?yōu)閭€(gè)，。因此就是此積分算子的全體非零特征值。對(duì)應(yīng)每一，其相應(yīng)的特征函數(shù)為。顯然由張成的有限維線性子空間M的正交補(bǔ)空間中任一非零函數(shù)都是相應(yīng)于0的特征函數(shù)。16．若，求積分算子K的特征值和特征函數(shù)。解。令可驗(yàn)證。因此積分算子K有兩個(gè)非零特值。其中相應(yīng)于特征函數(shù)為中非零函數(shù)。，相應(yīng)于特征函數(shù)為。如15題，0相應(yīng)的特征函數(shù)為17．解方程。解。設(shè)為的完全規(guī)范正交系，則由本章§