一元二次方程求解(公式法求解)

元二次方程求解（公式法求解）一．選擇題（共2小題）1.已知a是一元二次方程x2-x-1=0較大的根，則下面對a的估計正確的是（）A.OVaVIB.1VaVC.VaV2D.2VaV32．一元二次方程x2+2x-6=0的根是（）TOC\o"1-5"\h\zA.x1=x2=B.x1=0，x2=-2C.x1=，x2=-3D.x1=-，x2=3二.填空題（共19小題）方程X2-|x|-1=0的根是.已知等腰三角形的一腰為x,周長為20,則方程X2-12x+31=0的根為.已知代數式7x（x+5）+10與代數式9x-9的值互為相反數，則x=.若x2+3xy-2y2=0，那么昱=.y—元二次方程ax2+bx+c=0（aH0）的求根公式是，條件是.8用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac=，x】=，x2=.一元二次方程a2-4a-7=0的解為.小明同學用配方法推導關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式時，對于b2-4ac>0的情況，他是這樣做的：由于呼0「方程曲Mk+H變形為；塔十一尸-三「....….…第V(7a產乩—卡乎a2aala第—垃&狀一4冊7廣訂第三步心站加1……第四步-b-\-Jb2—4aela第五歩小明的解法從第—步開始出現錯誤；這一步的運算依據應是—.(1)解下列方程：①X2-2x-2=0；②2X2+3X-1=0；③2X2-4x+1=0；④X2+6x+3=0；(2)上面的四個方程中，有三個方程的一次項系數有共同特點，請你用代數式表示這個特點，并推導出具有這個特點的一元二次方程的求根公式—.已知x=-4亡(b2-4c>0),則x2+bx+c的值為.2TOC\o"1-5"\h\z方程2x2-6x-1=0的負數根為.方程X2-3x+1=0的解是.已知一元二次方程2x2-3x=1，則b2-4ac=.19.已知aVbV0,且，貝歸b且20.方程X2-5x+3=0的解是..若實數a,b滿足a2+ab-b2=0,貝U尹.三解答題(共19小題)解方程：x2-3x+1=0解方程：x2-5x+2=0解方程：x2-3x-7=0252x2+3x-1=026．解下列方程用配方法解方程：2x2+5x+3=0；用公式法解方程：(x-2)(x-4)=12.27．解下列方程：X2-2x=2x+1(配方法)2x2-2x-5=0(公式法)28．解方程：2x2-5x+1=0．29．解方程：(1)x2-6x-6=0(2)2x2-7x+6=0．30．解方程：2x2+3x-1=0．31．解方程：x2+3x+1=0．32．(1)解方程：x2=3(x+1)．(2)用配方法解方程：x2-2x-24=0．33．用公式法解下列方程2x2+6=7x．34．解方程：x2+3x-2=0．35?解方程：2x2-3x-1=0.36?解方程：3x2-6x-2=0.用公式法解方程：x2+x-1=0.解方程2x2-3x+1=0(公式法)3x2-6x+4=0(配方法)設關于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的兩根都是整數.求滿足條件的所有實數k的值.解方程：3x2-4x-1=0.一元二次方程求解（公式法求解）參考答案與試題解析一．選擇題（共2小題）1.（2014?荊州）已知a是一元二次方程x2-x-1=0較大的根，則下面對a的估計正確的是（）A.OVaVIB.1VaVC.VaV2D.2<a<3【分析】先求出方程的解，再求出的范圍，最后即可得出答案.【解答】解：解方程X2-X-1=0得：2Va是方程x2-x-1=0較大的根，?a_Z??d—?V2<<3，?3<1+<4，??壬<2，22故選：C.【點評】本題考查了解一元二次方程，估算無理數的大小的應用，題目是一道比較典型的題目，難度適中.2.（2014?淄博）一元二次方程X2+2X-6=0的根是（）A.X1=X2=B.X1=0，X2=-2C.X1=，X2=-3D.X1=-，X2=3【分析】找出方程中二次項系數a，一次項系數b及常數項c，再根據x='，將a，b及c的值代入計算，即可求出原方程的解.2a【解答】解:Va=1,b=2，c=-6?X=—b士風石二=一2代土“肝羽=一2代土4屈一-±2??±，??X]=，x?=-3；

故選：c.【點評】此題考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程時，首先將方程化為一般形式，找出二次項系數，一次項系數及常數項，計算出根的判別式，當根的判別式三0時，將a,b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.二填空題（共19小題）3.（2011春?桐城市月考）方程X2-|x|-1=0的根是或亙.2一2—【分析】分x>0和xVO兩種情況進行討論，當x>0時，方程X2-x-1=0；當x【解答】解：當x>0時，方程x2-x【解答】解：當x>0時，方程x2-x-1=0???x=；2當xV0時，方程X2+X-1=0；?X—??X,?x=T故答案為或22【點評】本題考查了一元二次方程的解法-公式法，要特別注意分類討論思想的運用.4.（2014?下城區(qū)一模）已知等腰三角形的一腰為X,周長為20,則方程X2-12X+31—0的根為6.【分析】求出方程的解得到x的值，即為腰長，檢驗即可得到方程的解.【解答】解：方程X2-12X+31=0，變形得：X2-12X=-31，配方得：X2-12X+36—5，即（x-6）2=5，開方得：X-6=±，解得：x=6+或x=6-，當x=6-時，2x=12-2<20-12+2，不能構成三角形，舍去，

則方程X2-12x+31=0的根為6+.故答案為：6+【點評】此題考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三邊關系，以及等腰三角形的性質，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵.5.(2015秋?彭陽縣月考)已知代數式7x(x+5)+10與代數式9x-9的值互為相反數，則x=.【分析】根據題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值.【解答】解：根據題意得：7x(x+5)+10+9x-9=0,整理得：7x2+44x+1=0，這里a=7，b=44，c=1，?.?△=442-28=1908,?v_—44±麗一-斃土氏瓦147故答案為：一斃士「「53.【點評】比題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．6.(2012?呼和浩特模擬)若X2+3xy-2y2=0,那么旦—7—2—【分析】觀察原方程的未知數是次數與所求的蘭的未知數的次數知，方程的兩邊7同時乘以厶，即可得到關于壬的方程，然后利用“換元法”、“公式法”解答即可./V【解答】解：由原方程，得兩邊同時乘以芒得：設旦=t,則上式方程即為:Vt2+3t-2=0，解得，w,所以-二V2故答案是：=111.【點評】本題考查了解一元二次方程--公式法.解答此題的關鍵是將原方程轉化為關于旦的-.兀二次方程.77.（2016秋?新沂市校級月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（aHO）的求根公式是【分析】可根據配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0.解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0，移項，得ax2+bx=-c化系數為1,得X2+^X=-—aa配方，得X2+x+=-2+(;a2aa2；3-當b2-4ac±0時,解得：x=7"故答案為：:，b2-4ac±0.2a【點評】本題考查了用配方法推導公式法解一元二次方程的一般方法8.（2011秋?冊亨縣校級月考）用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac=【分析】根據已知得出a=2,b=-7,c=1,代入b2-4ac求出即可，再代入公式x=士豐求出即可.【解答】解：2x2-7x+1=0,a=2,b=-7,c=1,??.b2-4ac=(-7)2-4X2X1=41,x_F士-運?A?故答案為：41,?44【點評】本題考查了對解一元二次方程-公式法的應用，關鍵是檢查學生能否能運用公式求方程的解,本題主要培養(yǎng)了學生的計算能力．9.（2011?齊齊哈爾）一元二次方程a2-4a-7=0的解為a“=2+,a2=2-丄2分析】用公式法直接求解即可.=2±，?a1=2+，a2=2-，故答案為：a1=2+，a2=2-.【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程的一般步驟為：把方程化成一般形式，進而確定a,b,c的值（注意符號）；求出b2-4ac的值（若b2-4acV0,方程無實數根）；在b2-4ac±0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①aHO；②b2-4ac三0.10.（2016?豐臺區(qū)一模）小明同學用配方法推導關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式時，對于b2-4ac>0的情況，他是這樣做的：由于呼0「方程曲Mk+H變形為；仙h(7a....….…第T產乩—卡乎a2aala第—垃&狀一4冊7廣訂第三步護-斗皿＞0,&-4se心站加1……第四步-b-\-Jb2—4aela第五歩小明的解法從第步開始出現錯誤；這一步的運算依據應是平方根的定【分析】根據配方法解一元二次方程即可判定第四步開方時出錯．【解答】解：小明的解法從第四步開始出現錯誤；這一步的運算依據應是平方根的定義；故答案為四；平方根的定義．【點評】本題考查了解一元二次方程--配方法.用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移項，把常數項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程兩邊同時除以二次項系數，即化成x2+px+q=0,然后配方．11.（2000?朝陽區(qū)）（1）解下列方程：①X2-2x-2=0；②2x2+3x-1=0；③2x2-4x+1=0:④X2+6x+3=0；（2）上面的四個方程中，有三個方程的一次項系數有共同特點，請你用代數式表示這個特點，并推導出具有這個特點的一元二次方程的求根公式【分析（1）直接代入公式計算即可．（2）其中方程①③④的一次項系數為偶數2n（n是整數）.然后再利用求根公式代入計算即可．【解答】解：（1）①解方程X2-2x-2=0①，Va=1,b=-2,c=-2,.x_-壯俯_4肚―吐認雨*?x1=1+，x2=1．②解方程2x2+3x-l=0Va=2，b=3，c=-1，???于￡+；餌,x2=￡；厲.（2分）③解方程2x2-4x+1=0，Va=2，b=-4，c=1，④解方程x2+6x+3=0，Va=1，b=6，c=3，?x_—b±{|^-4肚_一6±^站一12=-3??，??X]_-3+l&,乂2_-3-1&.（4分）（2）其中方程①③④的一次項系數為偶數2n（n是整數）.（8分）一元二次方程ax2+bx+c_0，其中b2-4ac±0,b_2n,n為整數.Vb2-4ac±0,即（2n）2-4ac±0,??n2-ac±O,=士；/-乂（11分）2aa?：一元二次方程ax2+2nx+c=O（n2-ac^O）的求根公式為乜±；九_乂.（12分）a【點評】本題主要考查了解一元二次方程的公式法．關鍵是正確理解求根公式，正確對二次根式進行化簡.12.（2016秋?安陸市期中）已知x=“斗""-4匚（b2-4c>0）,貝Ux2+bx+c的值2為0.【分析】把x的值代入代數式，再進行計算即可.【解答】解：：*■（b2-4c>0）,2?°?x2+bx+c=_0=0.故答案為：0.【點評】本題考查了一元二次方程，實數的運算法貝，求代數式的值的應用，能根據實數的運算法貝進行計算是解此題的關鍵.13.（2015秋?天津校級月考）方程2x2-6x-1=0的負數根為x=^【分析】先計算判別式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出負數根即可.【解答】解:△=（-6）2-4X2X（-1）=44,匸6±-「丞_3±-,：五TOC\o"1-5"\h\z2X22'所以x1=>0,x2=VO.1戈22即方程的負數根為x二上2故答案為x=?；ll.【點評】本題考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．14.(2010?無錫)方程X2-3x+1=0的解是x_=,x2=±1二【分析】觀察原方程，可用公式法求解；首先確定a、b、c的值，在b2-4ac±0的前提條件下,代入求根公式進行計算．【解答】解：a=1,b=-3,c=1,b2-4ac=9b2-4ac=9-4=5>0,故答案為:-一-?【點評】在一元二次方程的四種解法中，公式法是主要的，公式法可以說是通法,即能解任何一個一元二次方程但對某些特殊形式的一元二次方程,用直接開平方法簡便因此，在遇到一道題時，應選擇適當的方法去解15.(2011秋?浠水縣校級月考)已知一元二次方程2x2-3x_1,則b2-4ac_17.【分析】先將已知方程轉化為一般式方程，然后將a、b、c的數值代入所求的代數式，并求值即可【解答】解：由原方程，得2x2-3x-1_0，???二次項系數a_2,一次項系數b_-3，常數項c_-1,??.b2-4ac_(-3)2-4X2X(-1)_9+8_17；故答案是：17【點評】本題考查了解一元二次方程--公式法.在求b2-4ac的值時，需要熟悉該代數式中的a、b、c所表示的意義.16.(2013秋?鄒平縣校級期末)方程X2-4x-7=0的根是x】=2+,x2=2-.【分析】先求出b2-4ac的值，最后代入公式求出即可.【解答】解：X2-4x-7=0,b2-4ac=(-4)2-4X1X(-7)=44,X_Q±「崩,x1=2+，x2=2-，故答案為:勺二2+門1，x2=2-/11；【點評】本題考查了解一元二次方程的應用,主要考查學生能否正確運用公式解一元二次方程.17.(2012秋?開縣校級月考)一元二次方程3X2-4x-2=0的解是——3【分析】利用公式法解此一元二次方程的知識，即可求得答案.【解答】解：°?°a=3,b=-4,c=-2,.?.△=b2-4ac=(-4)2-4X3X(-2)=40,TOC\o"1-5"\h\zTac.?x—■■—.2a2X33故答案為：半嚴.【點評】此題考查了公式法解一元二次方程的知識.此題難度不大，注意熟記公式是關鍵．(2012秋?周寧縣期中)有一個數值轉換機，其流程如圖所示：若輸入a=-6,則輸出的x的值為無解.

【分析】將a=-6代入方程x2-3x-a=0中，利用公式法求出方程的解即可.【解答】解：輸入的數a=-6V0,代入得：X2-3x+6=0,這里a=1，b=-3，c=6，?.?△=9-24=-15V0,則此方程無解．故答案為：無解【點評】此題考查了解一元二次方程-公式法,利用此方法解方程時,找出ab及c的值,代入求根公式即可求出解．(2012?張家港市模擬)已知aVbVO,且，則=.【分析】根據題意得到a2-6ab+b2=0，把它看作為a的一元二次方程，利用求根公式得到a二=(3±2)b,由于aVbVO,則a=(3-2)b,然后把a=(3-2)b代入所求的代數式中進行化簡即可【解答】解：法①???$也6,2X1?aVbVO,???a=(3-2)b,.品b+b=〔4-2任〕b=??帀法②：原式通分得：a2+b2=6ab；貝廿(a+b)2=8ab,(a-b)2=4ab又aVbVO；故a+b=-,a-b=~；'4ab故答案為．【點評】本題考查了解一元二次方程-公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)

的求根公式為：亠產（b…送°）.也考查了二次根式的混合運算.（2002.達州）方程X2f+3=O的解是_帛亙【分析】觀察方程，此題用公式法解答比較簡單，首先確定a,b，c的值，判斷方程是否有解，若有解直接代入公式求解即可．TOC\o"1-5"\h\z【解答】解：根據求根公式可知：x==—2a2點評】公式法適用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解為」，需要熟練掌握.21（2010秋?儀征市校級月考）若實數a,b滿足a2+ab-b2=0,則亙二一】士代b—2【分析】把b看成常數，解關于a的一元二次方程，然后求出皂的值.b【解答】解：a2+ab-b2=0△=b2+4b2=5b2．?_一1±打5b2故答案是：7干【點評】本題考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常數，用求根公式解關于A的一元二次方程，然后求出器值.解答題（共19小題）22.（2015.東西湖區(qū)校級模擬）解方程：X2-3X+1-0.【分析】先觀察再確定方法解方程，此題采用公式法求解即可【解答】解：°?°a_1，b_-3，c_1?：b2-4ac=5點評】此題比較簡單，考查了一元二次方程的解法，解題時注意選擇適宜的解題方法．23.（2015?武漢模擬）解方程：X2-5x+2=0.【分析】找出a,b及c的值，得到根的判別式的值大于0,代入求根公式即可求出解.【解答】解：這里a=1,b=-5,c=2,?.?△=25-8=17>0,?x_±??A—?則x,=,x2更二尹【點評】此題考查了解一元二次方程-公式法，利用公式法解方程時，首先將方程整理為一般形式，找出a,b及c的值，當根的判別式的值大于等于0時，代入求根公式即可求出解.24.（2015?黃陂區(qū)校級模擬）解方程：X2-3x-7=0.【分析】利用求根公式x=士字來解方程.解答】解：在方程x2-3x-7=0中，a=1，b=-3，c=-7.則點評】本題考查了解一元二次方程--公式法.熟記公式是解題的關鍵.25.（2008?北海）2x2+3x-1=0.【分析此題考查了公式法解一元二次方程，解題時要注意將方程化為一般形式確定a,b,c的值，然后檢驗方程是否有解，若有解，代入公式即可求解.【解答】解：°?°a=2,b=3,c=-1???b2-4ac=17>0x=-3±-,.;17?A?x=￡+yr?x=-3Wn12點評】解此題的關鍵是熟練應用求根公式，要注意將方程化為一般形式，確定a、b、c的值．(2016春?泰山區(qū)期中)解下列方程用配方法解方程：2x2+5x+3=0；用公式法解方程：(x-2)(x-4)=12.【分析(1)根據配方法的步驟先兩邊都除以2移項配方開方即可得出兩個一元一次方程再求出方程的解即可；(2)把a=1,b=-6,c=-4代入求根公式x=計算即可.2a【解答】解：(1)方程兩邊同除以2,得：X2+x+旦=0,22移項,得x2+=,配方，得X2+x+(旦)2=+(5)2,244(X+尋)2=,x+邑丄或x+§=,444x1=-l；x2=；(2)原方程可化為：x2-6x-4=0,*.*a=1,b=-6,c=-4；?x_T土也石二_6土也(-4〕_6±仮?x=3±,X]=3+,x?=3-；【點評】本題考查了配方法和公式法解一元二次方程，關鍵是能正確配方，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．（2015春?沂源縣期末）解下列方程：（1）X2-2x=2x+1（配方法）（2）2x2-2x-5=0（公式法）【分析（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可.【解答】解：（1）方程整理得：x2-4x=1，配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5,開方得：x-2=±，解得：x1=2+，x2=2-；（2）這里a=2，b=-2，c=-5，?.?△=8+40=48,?x=禺邁±4込=門42【點評】比題考查了解一元二次方程-公式法與配方法，熟練掌握各種解法是解本題的關鍵．28.（2015秋?渝北區(qū)期末）解方程：2x2-5x+1=0.【分析】先觀察再確定方法解方程，比題采用公式法比較簡單【解答】解:Va=2,b=-5,c=1,?b2-4ac=17，點評】本題考查了一元二次方程的解法-公式法,采用公式法解一元二次方程時,要注意公式的熟練應用.29.(2015秋?大石橋市期末)解方程：X2-6x-6=02x2-7x+6=0.【分析(1)求出b2-4ac的值，代入公式求出即可；(2)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：(1)x2-6x-6=0，b2-4ac=(-6)2-4X1X(-6)=60,x=&士匚煩2X1?x1=3+，x2=3-；(2)2x2-7x+6=0(2x-3)(x-2)=02x-3=0x-2=0X1=^，X2=2-【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，主要考查學生能否選擇適當的方法解一元二次方程，難度適中.30.(2015秋?南京期末)解方程：2x2+3x-1=0.【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解.【解答】解：這里a=2，b=3，c=-1，?.?△=9+8=17,x=七?A.【點評】比題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．31.(2011?武漢)解方程：X2+3x+1=0.【分析】根據方程的特點可直接利用求根公式法比較簡便【解答】解：a=1，b=3，c=1點評】本題考查了解一元二次方程的方法，此法適用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0(aHO,且a,b,c都是常數)，若b2-4ac±0,則方程的解為32.(2016春?紹興期末)(1)解方程：x2=3(x+1).(2)用配方法解方程：x2-2x-24=O．【分析(1)整理后求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可；(2)移項,配方,開方,即可得出兩個一元一次方程,求出方程的解即可【解答】解：(1)整理得：x2-3x-3=0,Vb2-4ac=(-3)2-4X1X(-3)=21,x'±2遠(2)x2-2x-24=0,x2-2x=24x2-2x+1=24+1,(x-1)2=25,x-1=±5,x1=6,x2=-4．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用,能選擇適當的方法解方程是解此題的關鍵．33.(2015秋?深圳校級期末)用公式法解下列方程2x2+6=7x．【分析】方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：方程整理得：2x2-7x+6=0,這里a=2,b=-7,c=6,?.?△=49-48=1,??x=,解得：X]=2,x2專.【點評】比題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵.34.（2014?集美區(qū)一模）解方程：x2+3x-2=0.【分析】求出b2-4ac的值,代入公式求出即可【解答】解:Va=1,b=3,c=-2,.?△=b2-4ac=32-4X1X(-2)=17,x=-3±5；^點評】本題考查解一元二次方程的應用,主要考查學生的計算能力.35.（2012?寧波模擬）解方程:2x2-3x-1=0.【分析】利用公式法解方程即可求解.【解答】解：2x2-3x-1=0,a=2,b=-3,c=-1,?△=9+8=17,?x*TOC\o"1-5"\h\z??A?X=X=3「X1=，X2-【點評】此題這樣考查了利用公式法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握求根公式即可解決問題.36.（2014秋?開縣期末）解方程：3x2-6x-2=0.【分析】先根確定a=3,b=-6,c=-2，算出b2-4ac=36+24=60>0,確定有解,最后代入求根公式計算就可以了．【解答】解:Va=3,b=-6,c=-2,???b2-4ac=36+24=60>0