一元二次不等式與簡(jiǎn)單的分式不等式的解法

一元二次不等式與簡(jiǎn)單分式不等式的解法

知識(shí)梳理1?一元一次不等式的解法一元一次不等式ax〉b(aHO)的解集為b(1)當(dāng)a〉0時(shí)，解集為{xlx〉a}.b⑵當(dāng)aVO時(shí)，解集為{xlx<-}.一元二次不等式的解法判別式A=b2—4acA>0A=0AVO二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)一兀一次方X]=根無(wú)實(shí)根程的根—b—yJAb2a，xi=x2=—2ax—_b+?X22aax2+bx+c>{xlx<X]或xb{xlx^^2a，xR

0(a>0)的解集>x2}wR}ax2+bx+c<0(a>0){xlx1VxVx2}00口訣：大于取兩邊，小于取中間?分式不等式的解法⑴gx)〉0=fx)?g(x)>0'gx)VOufx)?g(x)VO；f(f(x)fx)?g(x)20,:g(g.f(x)f(x)?g(x)WO,fW、0:g(x)H0,g(X)塔〉mfjm〉0「"Ff(X)〉0?g(x)gg(X)簡(jiǎn)單高次不等式解法對(duì)于簡(jiǎn)單高次不等式一般用序軸標(biāo)根法求解，步驟是先求出各表達(dá)式為零時(shí)的根，再作圖求解.作圖口訣：“自右向左，自上向下,奇穿偶不穿”其中“奇穿偶不穿”含義為，若對(duì)應(yīng)根對(duì)應(yīng)根為奇數(shù)個(gè)，則穿過(guò)該點(diǎn)，如果為偶數(shù)個(gè)，則作圖時(shí)不穿過(guò)該點(diǎn).例如解不等式x(x—l)2(x—2)3〉0，在作圖時(shí)，由于0,2這兩個(gè)根分別是1個(gè)、3個(gè)，有奇數(shù)個(gè)根，因此作圖時(shí)應(yīng)穿過(guò)；而1這個(gè)根有2個(gè)，也就是有偶數(shù)個(gè)，因此作圖時(shí)不穿過(guò)，如下圖所示:由圖知不等式x(X—l)2(x—2)3〉o解集為{xIxVO或x〉2}?0120125?幾點(diǎn)注意事項(xiàng)⑴對(duì)于不等式ax2+bx+c>0(或〉0),若二次項(xiàng)含有字母參數(shù)時(shí),不一定是二次不等式，要分a=0和a#0討論.(2)解分式不等式gX)〉m時(shí)，不要直接在不等式兩邊同乘以分母，因?yàn)榇藭r(shí)g(x)正負(fù)不確定.正確做法是移項(xiàng)將右邊化為0,即化為g(X)—m>0,然后通分求解.典例剖析題型一一元二次不等式解法例1解下列不等式—3x2—2x+8$0；x2—3x+2^0；解析⑴原不等式可化為3x2+2x—8W0,即(3x—4)(x+2)W0.解得一2WXW3，所以原不等式的解集為卜-2WxW；>.⑵原不等式可化為(x—1)(x—2)^0，解得xWl或x$2?所以原不等式的解集為{xlxWl或x$2}?變式訓(xùn)練解不等式0Vx2—x—2W4(x2—x—2>0,「x2—x—2>0,解析原不等式等價(jià)于|x2—x—2<4Tx2-X-6W0J(x—2)(x+1)>0,Jx>2或xV—1,：(x—3)(x+2)W0：—2WxW3.借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為{x—2WxV—1或2VxW3}.解題要點(diǎn)求解一元二次不等式時(shí)，一般先通過(guò)變形，將不等式右邊化為0,左邊x2前系數(shù)化為正，求出根或因式分解后借助口訣“大于取兩邊，小于取中間”寫出解集.題型二分式不等式解法x—3例2不等式一^WO的解集為?丄答案{xl1<xW3}f(x—3)(x—1)W0,解析原不等式可化為［1x^1,?：lvxW3.變式訓(xùn)練函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)榇鸢?一2,1]1—xx1解析_$0o<0Q一2<xW1.J(x—1)(x+2)W0,[Q一2<xW1.解題要點(diǎn)求解分式不等式時(shí)，需要將各個(gè)因式x前系數(shù)化為正,然后也可以借助口訣“大于取兩邊，小于取中間”寫出解集?但應(yīng)注意等號(hào)問(wèn)題，分母不可為0?題型三一元二次不等式與一元二次方程根之間關(guān)系問(wèn)題TOC\o"1-5"\h\z例3關(guān)于x的不等式x2+(a+1)x+ab>0的解集是｛xlx<—1或x>4｝，貝寸a+b=?答案一3解析由題意知，一1,4為方程%2+(a+1)x+ab=0的兩根，?：a+1=3，ab=4.??a=4，b=1.??a+b=3.變式訓(xùn)練已知f(x)=ax2—x—c，不等式f(x)〉O的解集為｛xl—2<x<1｝，貝Ua=，c=?答案一1，一21c解析由根與系數(shù)的關(guān)系知萬(wàn)=一2+1，—萬(wàn)=一2，得a=—1，c=一2.解題要點(diǎn)解決這類習(xí)題關(guān)鍵是理解三個(gè)二次之間的關(guān)糸，一元二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，結(jié)合函數(shù)圖象就可以求出對(duì)應(yīng)一元二次不等式?因此反過(guò)來(lái)，由一元二次不等式的解集，可以得到對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系即可求出參數(shù)值.題型四一元二次不等式恒成立問(wèn)題例4若不等式mx2—2x—1<0恒成立，則m的取值范圍是答案（一《，—1）fm<0解析叫（—2）2—4m（—1）<0，解得m<T.變式訓(xùn)練已知不等式X2-2x+k2-1>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為?答案（—《，—*2）U（\/2，+x）解析由題意，知A=4—4X1X（k2—1）<0，即k2>2，?：k>\：'2或k<—解題要點(diǎn)一元二次不等式恒成立的條件、一[a=b=0，、（1）不等式ax2+bx+c>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立]或c>0，'a>0，VA<0.一\a=b=0,、(2)不等式ax2+bx+c<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立］或cvO，'avO,VA<0.題型五含參數(shù)一元二次不等式解法例5解關(guān)于x的不等式x2—2ax—3a2〉0(aWR,a#0)解析由x2—2ax—3a2〉0知(x—3a)(x+a)>0.由于a#0故分a>0與aVO討論.當(dāng)aVO時(shí)，xV3a或x>—a；當(dāng)a>0時(shí)，xV—a或x>3a.綜上，aVO時(shí)，解集為｛xlxV3a或x>—a｝；a>0時(shí)，解集為｛xlx>3a或xV—a｝.解題要點(diǎn)對(duì)含參數(shù)一元二次不等式主要分三種討論：討論二次項(xiàng)系數(shù)、討論A,討論兩根的大小，具體如下：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)應(yīng)討論是系數(shù)等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式A與0的關(guān)系.當(dāng)確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.當(dāng)堂練習(xí)1?(2015江蘇)不等式2x2—xV4的解集為?

答案{xl—1VxV2}解析*.*2x2—xV4=22,?：x2—xV2，即x2—x—2V0,解得一1<x<2.x—22.不等式x2—j<°的解集為?答案{xlx<—1或1<x<2}解析(x—2)(x2—1)<0,(x+1)(x—1)(x—2)<0,數(shù)軸標(biāo)根可得，x<—1或1<x<2.3.不等式x3.不等式x—1

x+2<0的解集為答案(—2,1)解析原不等式化為(x—1)(x+2)<0，解得一2<x<1,?：原不等式的解集為(一2,1).4.已知不等式ax4.已知不等式ax2—bx—1^0的解集是13}則不等式x2—bx—aVO的解集是答案(2,3)11解析由題意知一2，—3是方程ax2—bx—1=0的根，所以由根與1(1、b1(1、1系數(shù)的關(guān)系得一2十_3=a，—2X—3=—a，解得a=—6，b=5,不等式x2—bx—aVO即為x2—5x+6VO,解集為(2,3).

15?若關(guān)于x的不等式2兀2十(2—加)兀<0的解集是｛xl0<x<2｝，則實(shí)數(shù)m—.答案31解析由題知x—0或x—2是方程2兀2十(2—m)x—0的根，可得m—3.課后作業(yè)一、填空題TOC\o"1-5"\h\z1?不等式SFFT^O的解集為?(11答案一2,1k-x—1[(x—l)(2x+l)W0,1解析不等式刊心?+1；0一嚴(yán)1.2?不等式(x—1)\：G干220的解集為?答案{xlx21或x——2}解析由(x解析由(x—1)Jx+220,可知x+2>0,x—1三0或x+2—0,解得x21或x——2.13?若0VmVl,則不等式(x—m)(x—m)V0的解集為1答案{xlm<x<—}

解析當(dāng)0<m<1時(shí)，mV—.m4?已知不等式ax2+bx+2>0的解集為｛xl—l<xv2｝，則不等式2x2+bx+a<0的解集為?答案｛x—lvxv；｝解析由題意知x=—1,x=2是方程ax2+bx+2=0的根.b=1.-1+2=-b,b=1.由韋達(dá)定理a由韋達(dá)定理21(-1)5?：不等式2x2+bx+aV0,l卩2x2+x—1V0.5?若不等式ax2+bx+c>0的解集是（一4,1）,則不等式b（x2—1）TOC\o"1-5"\h\z+a（x+3）+c>0的解集為?（4、答案一3，1I丿解析由不等式ax2+bx+c>0的解集為（一4,1）知aV0,—4和1bc是方程ax2+bx+c=0的兩根，所以一4+1=——，一4X1=—,即O'—■b=3—,c=—4—.故所求解的不等式為3—(x2-1)+—(x+3)-4—〉0,4即3x2+x—4V0,解得一3<xV1.6.~不等式一3v4x—4x2W0的解集為答案1答案1、3、一2<xW0或lWx<2>解析原不等式可化為：4x—4x2>—3,①且4x—4x2^0,②13解①得：一2<X<2，解②得：xWO或x$l.①，②取交集得:1、3—2<x①，②取交集得:1、3—2<xW0或1Wx<2,所以原不等式的解集為b13、—2<xW0或1Wx<2>..函數(shù)f(x)=、；'x—2一的定義域是答案{xl2Wx<3}[x—2三0,[x$2,解析要使函數(shù)有意義，應(yīng)有]即]所以[3x—x2>0,[0vxv3,2<xv3，即函數(shù)的定義域?yàn)閧xl2<x<3}?若函數(shù)f(x)=(a2+4a—5)x2—4(a—1)x+3的圖象恒在x軸上方,則a的取值范圍是?答案[1,19)解析函數(shù)圖象恒在x軸上方，即不等式(a2+4a—5)x2—4(a—1)x+3>0對(duì)于一切x^R恒成立.

⑴當(dāng)a2+4a—5=0時(shí)，有。=一5或a=l.若a=-5,不等式化為24x+3〉0,不滿足題意;若a=1,不等式化為3〉0,滿足題意.⑵當(dāng)a2+4a-5#0時(shí)，應(yīng)有解得1VaV19.a2+4a解得1VaV19.16(a—1)2—12(a2+4a一5)V0,綜上可知，a的取值范圍是1WaV19.(2015廣東文)不等式一x2-3x+4>0的解集為(用區(qū)間表示).答案(-4,1)解析不等式一x2—3x+4>0,即x2+3x—4<0，解得一4<x<1.若不等式x2+ax+4^0對(duì)一切x^(0,1］恒成立，則a的取值范圍是.答案a$—5解析由題意，分離參數(shù)后得，a^—(x+X),設(shè)f(x)=—(x+X)，XXxW(0,1］，則只要a$fx)］即可，由于函數(shù)f(x)在(0,1］上單調(diào)遞增，所以^max［f(x)］max=f(1)=—5，故a三—5.11?若不等式(1—a)x2—4x+6>0的解集是｛xl—3<x<1｝，則a的值為?

答案3解析T(l—a)x2—4x+6>0的解集是{xl—3<xvl},1—a<0，即a>1.于是原不等式可化為(a—1)x2+4x—6<0,a/r