彩票中的數(shù)學(xué)公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

彩票中數(shù)學(xué)隊長：陳衛(wèi)杰隊友：黎志斌，賈銳目錄一、問題重述……03二、問題分析……09三、模型準備……10四、用符號表示相關(guān)量……………14五、模型解答…………15六、模型優(yōu)缺點……29七、寫給彩民們……30一、問題重述近年來“彩票巨峰”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多人加到彩民行列，當前流行彩票主要有傳統(tǒng)型和樂透型兩種類型。

傳統(tǒng)型采取“10選6+1”方案：先從6組0-9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從0-4號球中搖出一個尤其號碼，組成中獎號碼，投注者從0-9十個號碼中任選6個基本號碼（可重復(fù)），從0-4中選一個尤其號碼，組成一注，依據(jù)單注號碼與中獎號碼相符個數(shù)多少及次序確定中獎等級，以中獎號碼“abcdef*g”為例說明中獎等級，以下表所表示（X為未選中號碼）中獎等級10選6+1（6*1/10)基本號碼…………尤其號碼說明一等獎abcdef……g選7中（6*1)二等獎abcdef選7中（6）三等獎abcdeX……Xbcdef選7中（5）四等獎abcdXX……XbcdeX……XXcdef選7中（4）五等獎abcXXX……XbcdXX……XXcdeX……XXXdef選7中（3）六等獎abXXXX……XbcXXX……XXcdXX……XXXdeX……XXXXef選7中（2）66“樂透型”有各種不一樣形式，比如“33選7”方案：先從01-33個號碼球中一個一個地搖出7個基本號，再從剩下26個號碼球中搖出一個尤其號碼，投注者從01～33個號碼中任選7個組中一注（不可重復(fù)），依據(jù)單注號碼與中獎號碼相符個數(shù)多少確定對應(yīng)中獎等級，不考慮號碼次序，又如“36選6+1”方案，先從01-36個號碼中一個一個地搖出6個基本號碼，再從剩下30個號碼球中搖出一個尤其號碼，從01～36個號碼中任選7個作為一注（不可重復(fù)），依據(jù)單注號碼與中獎號碼相符個數(shù)多少確定對應(yīng)中獎等級，不考慮號碼次序。中獎等級以下表中獎等級33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號碼……尤其號碼說明基本號碼……尤其號碼說明一等獎。。。。。。。選7中7。。。。。?！镞x7中（6+1）二等獎。。。。。?！镞x7中（6+1）。。。。。。選7中6三等獎。。。。。。選7中6。。。。?！镞x7中（5+1）四等獎。。。。?！镞x7中（5+1）。。。。。選7中5五等獎。。。。。選7中5。。。。……★選7中（4+1）六等獎。。。。……★選7中（4+1）。。。。選7中4七等獎。。。。選7中4。。?！镞x7中（3+1）以上兩種類型總獎金百分比普通為銷售總額50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級別獎就不能再兼得低級別獎金，現(xiàn)在常見銷售規(guī)則及對應(yīng)獎金設(shè)置為下表，表中一、二、三等獎為高項獎，后面為低項獎，低項獎數(shù)額固定，高項獎按百分比分配，但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元，各高項獎額計算方法為：[（當期銷售總額×總獎金百分比）-低項獎總額]×單項獎百分比

（1）依據(jù)這些方案詳細情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)可能性、獎項和獎金額設(shè)置以及對彩民吸引力等原因評價各方案合理性。

（2）設(shè)計一個“更加好”方案及對應(yīng)算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出提議。

（3）寫一篇短文，供彩民參考序號獎項一等獎百分比二等獎百分比三等獎百分比四等獎金額五等獎金額六等獎金額七等獎金額備注方案16*1/1050%20%30%50按序26*1/1060%20%20%300205按序36*1/1065%15%20%300205按序46*1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566*1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%5005010177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%2042無尤其號246*1/3675%10%15%500100105256*1/3680%10%10%50010010267/3670%15%15%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030問題分析既然是買彩票，雖說是為福利事業(yè)做貢獻。但彩民們還是抱著能中獎心態(tài)來買。不然直接把錢捐給紅十字會就行了。所以彩票對彩民吸引力應(yīng)該與中獎概率相關(guān)。而判定一個彩票方案好與壞應(yīng)該與該方案對彩民吸引力親密相關(guān)。因為吸引力越強，投資就越多。至于吸引力，我們認為與中獎概率，中大獎取得金額，中小獎數(shù)學(xué)期望和中大獎概率，以及獎金標準差相關(guān)二、問題假設(shè)（1）假設(shè)彩票老板不出千，即開獎時開出號碼是隨機，相互獨立。（2）假設(shè)彩票對彩民吸引力只與中獎概率和中小獎數(shù)學(xué)期望，中大獎概率，中大獎后拿到獎金數(shù)額以及獎金標準差相關(guān)。（3）各項彩票投資總額都遠遠超出120萬元（不然若有市民中了一等獎根本賠不起）模型準備為了了解各原因?qū)Σ拭裎Γ覀冏隽艘韵抡{(diào)查問卷，把問卷發(fā)到了baidu貼吧“彩票吧”。我們一共收到了232條回復(fù)。以下為問卷內(nèi)容你買彩票動力是什么1.你認為中獎概率重不主要？（中獎就不會虧了，只要中獎，你就開心了）A.非常主要B.主要C.普通D.無所謂2.你認為中大獎概率中重不主要？（概率越高，你就越輕易取得一筆飛來橫財）A.非常主要B.主要C.普通D.無所謂3.你認為中大獎取得獎金多少重不主要？（假如獎金足夠多，你一個不好運中獎了，下半世毆蹩腳都唔使憂）A.非常主要B.主要C.普通D.無所謂4.你認為中小獎數(shù)學(xué)期望中不主要？（期望越高話，當你買了足夠多注彩票后，就會賺多又或者說是捐給福利機構(gòu)會少一點）A.非常主要B.主要C.普通D.無所謂5.假如各獎項獎金差距過大你會不會反感？A.簡直要吐B.有點惡心C我想靜靜D沒相關(guān)系我們搜集數(shù)據(jù)以下，我們選取了200組數(shù)據(jù)各選項人數(shù)以下：中獎概率：A24B122C43D11中大獎概率：A172B25C3D6中大獎取得獎金A107B41C46D6中小獎期望A11B6C84D99獎金標準差A(yù)12B47C102D39依據(jù)A4分、B3分、C2分D1分算出各原因分值分別為中獎概率559中大獎概率775中大獎取得獎金649中小獎期望329獎金標準差432各原因比值為1.700：2.356：1.973：1=1.7：2.4：2.0：1：1.3

所以假設(shè)彩票對彩民吸引力為1.7×中獎概率+2.4×中大獎概率+2×中大獎取得獎金+中小獎期望-1.3×大獎金方差三、用符號表示相關(guān)量（1）設(shè)傳統(tǒng)型中獎概率為a(i)，樂透型33選7中獎概率為b(i)，樂透型33選6+1概率為c(i)（i是指中了幾等獎，如a(1)是指中一等獎概率）（2）方案j大獎獎金額為A(j),方案j中獎率是B(j),方案j中低項獎數(shù)學(xué)期望為C(j)，個人中高項獎取得獎金總和為E(j)，各方案對彩民吸引力為F(j)，各方案大獎金標準差為D(j)（3）全體市民一共買了x注10選6+1，y注33選7，z注36選6+1四、模型解答問題一求解：先求出傳統(tǒng)型和樂透型中獎概率吧a(1)=(1/10)×(1/5)=2×10傳統(tǒng)型中獎表a(2)=(1/10)×(4/5)=8×10a(3)=(1/10)×(9/10)×2=1.8×10a(4)=(1/10)×[(9/10)×3+(9/10)×(1/10)×2]=2.61×10a(5)=(1/10)×[(9/10)×4]=3.24×10a(6)=(1/10)×(9/10)×5+(1/10)×(9/10)×12+(1/10)×(9/10)×5=4.1995×10總中獎率a(總)=4.5516×106-76-75-542-432342-3324-2-2樂透型33選7中獎概率b(1)=C/C=2.34080×10b(2)=[(C×C)/C]×(C/C)=1.63856×10b(3)=C×C/C×（25/26）=4.0964×10b(4)=[(C×C)/C]×(2C/C)=1.22892×10b(5)=(C×C)/C×(24/26)=1.47470×10b(6)=[(C×C)/C]×(3C/C)=2.45784×10b(7)=(C×C)/C×(23/26)=1.88434×10(沒錢)總中獎率b(總)=4.09827×10(不算b(7))777337626133711261-6767526233711261-475263371262337-3742633371126174263337-2-3-5-7-3樂透型36選6+1中獎概率c(1)=(C/C)=1.19794×10c(2)=(C/C)×(29/30)=3.47402×10c(3)=(C×C/C)×(2×1/30)=2.08441×10c(4)=(C×C/C)×(28/30)=2.91817×10c(5)=(C×C/C)×(3×1/30)=7.29544×10c(6)=(C×C/C)×(27/30)=6.56590×10c(7)=(C×C/C)×(4×1/30)=8.75453×10c(總)=1.63662×107736776366-67529136675291366742923667429236673293366-5-4-4-3-3-7-2各方案理論上每期大獎獎金額A(1)=x-50x.a(4)=0.98695xA(2)=A(3)=A(4)=x-[300x.a(4)+20x.a(5)+5x.a(6)=0.64693xA(15)=x-[600x.b(4)+60x.b(5)+6x.b(6)]=0.82302xA(16)=x-[500x.b(4)+50x.b(5)+10x.b(6)]=0.84024xA(24)=x-[500x.c(4)+100x.c(5)+10x.c(6)]=0.71230xA(25)=x-[500x.c(4)+100x.c(5)+10x.c(6)+5x.c(7)]=0.66853x各方案理論上每期中獎率B(1)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=2.81×10B(2)=B(3)=B(4)=a(總)=4.5516×10B(15)=B(16)=b(總)=4.09827×10B(24)=7.61167×10B(25)=1.63662×10比值為B(1):B(2):B(3):B(4):B(14):B(15):B(24):B(25)=0.002:0.269:0.269:0.269:0.024:0.024:0.045:0.097-4-2-3-3-2各方案每期大獎中獎率B(1大)=B(2大)=B(3大)=B(4大)=1.9×10B(14大)=B(15大)=4.28366×10B(24大)=B(25大)=2.44379×10比值為B(1大):B(2大):B(3大):B(4大):B(14大):B(15大):B(24大):B(15大)=0.114:0.114:0.114:0.114:0.257:0.257:0.015:0.015-5-5-6各方案每期中獎數(shù)學(xué)期望依照公式中低項獎數(shù)學(xué)期望=Σ(中獎概率×得獎獎金)依次求得C(1)=50.a(1)=0.01305C(2)=C(3)=C(4)=0.35307C(15)=0.17698C(16)=0.15976 C(24)=0.28770C(25)=0.33147比值為C(1):C(2):C(3):C(4):C(14):C(15):C(24):C(25)=0.006:0.174:0.174:0.174:0.087:0.079:0.142:0.163預(yù)計個人中高項獎取得獎金總和E(j)=Σ(各高項獎獎金/得獎人數(shù))E(1)=(0.98605x×50%)/(2×10x)+(0.98605x×20%)/(8×10x)+(0.98605x×30%)/(1.8×10x)=2465125(i)+246513(ii)+16434(iii)=2728072E(2)=1940790+161733+7188=2102523E(3)=2102523+121299+7188=2231010E(4)=2264255+121299+5391=2390495E(15)=2461184+50228+4018=2515430E(16)=2692156+51279+3077=2746512E(24)=4459541+20504+5126=4485171E(25)=4464531+19244+3207=4486982-7-7-5比值為E(1):E(2):E(3):E(4):E(14):E(15):E(24):E(25)=0.115:0.089:0.094:0.101:0.106:0.116:0.189:0.189然后各方案大獎金標準差為D(1)=1104096D(2)=877353D(3)=961982D(4)=1038597D(15)=1147582D(16)=1256436D(24)=2096216D(25)=2099318比值為D(1):D(2):D(3):D(4):D(15):D(16):D(24):D(25)=0.104:0.083:0.091:0.098:0.108:0.119:0.198:0.198各方案對彩民吸引力彩民吸引力F(j)=1.7B(j)+2.4B(j大)+2E(j)+C(j)-1.3D(j)所以F(1):F(2):F(3):F(4):F(15):F(16):F(24):F(25)=0.378:0.975:0.974:0.980:0.816:0.814:0.401:0.485所以，傳統(tǒng)型獎項最好是方案4

樂透型33選7最好是方案15

樂透型36選6+1最好是方案25方案最差是1問題二求解

設(shè)計一個“更加好”方案及對應(yīng)算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出提議。這個問題其實是怎樣設(shè)置獎金問題。設(shè)一至七等獎獎金分別為o(百分比),p(百分比),q(百分比),r,s,t,u，一至七等獎中獎概率分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，因為總中獎概率和中大獎概率已經(jīng)確定，所以只要考慮中小獎期望C以及中大獎獎金A怎樣分配給個人獎金E就能夠了，這么就能夠確定對彩民吸引力F，假如F越大，則方案越好。然而，由前面調(diào)查問卷可知，期望C影響力，能夠說是微乎其微，所以C設(shè)計應(yīng)該偏小一點。不過為了提升彩民主動性，我們認為：七等獎=5元，六等獎=10元，五等獎=50元，四等獎=200元。(沒設(shè)七等獎六等獎5元，其它相同）這么經(jīng)過獎金遞進形式，能夠促進銷售。所以式子以下：C=rⅣ+sⅤ+tⅥ+uⅦ;①A=1-Cx②E=Ao/(Ⅰx)+Ap/(

Ⅱx)+Aq/(Ⅲx);③o+p+q=1;④MAX(F)=C/C總+2E/E(總)-1.3D/D(總);⑤把傳統(tǒng)型和樂透型概率分別代入上面，用MATLAB求得最優(yōu)解以下：獎金opqrstu彩票10選6+172.83%12.58%14.59%2005010533選77