專題與圓有關的最值問題

00與圓有關的最值（取值范圍）問題引例1：在坐標系中，點A的坐標為（3,0）,點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內一點，且AC=2.設tanZBOC二m，則m的取值范圍是.引例2：如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作OD，以O為圓心OA長為半徑作00,C為半圓弧AB上的一個動點（不與A、B兩點重合），射線AC交0O于點E,BC=a，AC=b，求a+b的最大值.引例3：如圖，ZBAC=60。，半徑長為1的圓O與ZBAC的兩邊相切，P為圓O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE,3\/3C.則線段DE長度的最大值為（）.A.3*yB.6OD.一、題目分析：此題是一個圓中的動點問題，也是圓中的最值問題，主要考察了圓內的基礎知識、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識的銜接引例1：通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動點C與兩個定點O、A構成夾角的變化規(guī)律，轉化為特殊位置（相切）進行線段、角度有關計算，同時對三角函數(shù)值的變化（增減性）進行了延伸考查，其實質是高中“直線斜率”的直接運用；引例2：通過圓的基本性質，尋找動點C與兩個定點A、B構成三角形的不變條件，結合不等式的性質進行轉化，其實質是高中“柯西不等式”的直接運用；引例3：本例動點的個數(shù)由引例1、引例2中的一個動點，增加為三個動點，從性質運用、構圖形式、動點關聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動點D、E與一個定點A構成三角形的不變條件（ZDAE=60°），構造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關系，其實質是高中“正弦定理”的直接運用；綜合比較、回顧這三個問題，知識本身的難度并不大，但其難點在于學生不知道轉化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透.二、解題策略直觀感覺，畫出圖形；特殊位置，比較結果；理性分析動點過程中所維系的不變條件，通過幾何構建，尋找動量與定量（常量）之間的關系，建立等式，進行轉化.三、中考展望與題型訓練例一、斜率運用如圖，A點的坐標為（-2,1）,以A為圓心的0A切x軸于點B,P（a,b）為0A上的一個動點，請分別探索：③b-a③b-a的最大值；④b-a的最大值;【拓展延伸】①b+2a的范圍；②b—2a的范圍;D點運動過程中，線段D點運動過程中，線段CM長度的取值范圍是.例二、圓外一點與圓的最近點、最遠點如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3，點D是平面內的一個動點，且AD=2,M為BD的中點，在1.如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2力2,D是線段BC上的一個動點，以AD1.如圖，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2力2,D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑作0Q分￡C別交AB,AC于E,F兩點，連接EF,則線段EF長度的最小值為.2.如圖，定長弦CD在以AB為直徑的0Q上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP丄AB于點P,若CD=3,AB=8，則PM長度的最大值是.例四、柯西不等式、配方法如圖，已知半徑為2的0Q與直線l相切于點A,點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C,PC與0Q交于點D,連接PA、PB,設PC的長為X（2VxV4）,則當x=大，且最大值是為.—時，PD?CD的值最如圖，線段AB=4,C為線段AB上的一個動點，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE,0Q外接于△CDE,則。Q半徑的最小值為（）.如圖，Q）的直徑為4,C為OQ上一個定點，ZABC=30°,動點P從A點出發(fā)沿半圓弧AB向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側），當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點.（1）在點P的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為；（2）在點P的運動過程中，線段AD長度的最大值為例三、正弦定理A.4D.2例四、相切的應用（有公共點、最大或最小夾角）1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則線段CE長度的最小值.A.4D.2例四、相切的應用（有公共點、最大或最小夾角）1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則線段CE長度的最小值.2.如圖，RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4，以AC上的一點0為圓心0A為半徑作OO,若00與邊BC始終有交點（包括B、C兩點），則線段A0的取值范圍是.如圖，射線PQ〃射線MN,PM丄MN,A為PM的中點，0為射線PQ上的一個動點，AC丄AB交MN于點C,當以0為圓心，以0B為半徑的圓與線段PM有公共點時（包括P、M兩點），則線段0P長度的最小值為.例五、其他幾何知識的運用如圖所示，AC丄AB,AB=6,AC=4,點D是以AB為直徑的半圓0上一動點，DE丄CD交直線AB于點E,設ZDAB=a,（0°Va<90°）.若要使點E在線段0A上（包括0、A兩點），則tana的取值范圍為.5824194582419458241945824194関1関1g坤関咨用圖【題型訓練】如圖，已知直線l與00相離，0A丄l于點A,0A=5,0A與00相交于點P,AB與00相切于點B,BP的延長線交直線l于點C,若在00上存在點Q,使厶QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則00的半徑r的取值范(A)(A)已知：如圖，RtAABC中，ZB=90°,ZA=30°,BC=6cm,點0從A點出發(fā)，沿AB以每秒J3cm的速度向B點方向運動，當點0運動了t秒（t>0）時，以0點為圓心的圓與邊AC相切于點D,與邊AB相交于E、F兩點,過E作EG丄DE交射線BC于G.（1）若點G在線段BC上，則t的取值范圍是（2）若點G在線段BC的延長線上，則t的取值范圍是.如圖，0M,0N的半徑分別為2cm,4cm，圓心距MN=10cm.P為0M上的任意一點，Q為0N上的任意一點,直線PQ與連心線l所夾的銳角度數(shù)為a,當P、Q在兩圓上任意運動時，tanZa的最大值為（）.4.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,04.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,0為矩形ABCD的中心,個動點，連接AP、0P，貝9^A0P面積的最大值為（）?⑻21（C）35以D為圓心1為半徑作0D,P為0D上的一(A)4（D）如圖，在RtAABC中，ZC=90。，AC=8,BC=6,經過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點P、Q,則線段PQ長度的最小值是（）.A.B.C.5D.A.B.C.5D.4^2如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90°AC=BC=4,D是AB的中點，點E在AB邊上運動（點E不與點A重合）,過A、D、E三點作00,00交AC于另一點F,在此運動變化的過程中，線段ef長度的最小值為?如圖，A、B兩點的坐標分別為（2,0）、（0，2）,OC的圓心的坐標為（-1,0），半徑為1,若D是OC上的一個動點，線段DA與y軸交于點E,則厶ABE面積的最小值是（）.8.如圖，已知8.如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（-2,0）、（0,1）,OC的圓心坐標為（0,-1）,半徑為1,D是OC上的一個動點，射線AD與y軸交于點E,貝△ABE面積的最大值是（）.A.311B.—C.A.311B