中考復(fù)習(xí) 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生相似三角形

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系2)?中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=X+加(Q0)經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)3,A0=B0=2,ZAOB=120。.求這條拋物線的表達(dá)式；連結(jié)0M,求ZAOM的大?。蝗绻c(diǎn)C在x軸上，且zMBC與ZkAOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo).第(2)題把求ZAOM的人小，轉(zhuǎn)化為求ZBOM的犬小.因?yàn)閆BOM=ZABO=30°,因此點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，恰好有ZABC=ZAOM.根據(jù)夾角相等對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論△ABC與ZVIOM相似.如圖2,過點(diǎn)A作4H丄y軸，垂足為H.在RtAAOH中，A0=2,ZAOH=3O0,所以AH=1,OH=書.所以因?yàn)閽佄锞€與x軸交于0、B(2,0)兩點(diǎn)，設(shè)y=ax(x—2),代入點(diǎn)A(-1,Q,可得?=—.所以拋物線的表達(dá)式為尸紐?卑宀琴廠⑵心影辱呼7乎得拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-￡).所以tanZBOM=￡

所以ZB0M=3(r?所以ZAOM=150^?得tanZABO=3所以ZABO=30<>,OA~OM(3)FhA(-1,>/3).得tanZABO=3所以ZABO=30<>,OA~OM因此當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)3右側(cè)時(shí)，ZABC=ZAOM=15OC?△ABC與ZiAOM相似，存在兩種情況:=2?此時(shí)C(4,0)?①如圖=2?此時(shí)C(4,0)?①如圖3'當(dāng)鈔船砂BC=*BA=*x2怎=6?此時(shí)C(&0)?在本題情境下，如果△ABC與ABOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo).如圖5,因?yàn)锳BOM是30°底角的等腰三角形，ZABO=3Q°,因此zMBC也是底角為30°的等腰三角形，AB=AC,根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一4.0）.例2如圖1,已知拋物線），=丄/一丄0+］）丫+匕（b是實(shí)數(shù)且b>2）與x軸的正444半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)4位于點(diǎn)3是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.（1）點(diǎn)3的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含b的代數(shù)式表示）；

請(qǐng)你探索在第一彖限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面枳等于2b,且APBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一彖限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△0CO、AQOA和△0AB中的任意兩個(gè)三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說明理由.2428解得“竺.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(竺■竺)?2428解得“竺.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(竺■竺)?4444①如圖4,以04、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC,那么△OQC^AQOA.思弘點(diǎn)撥第(2)題中，等腰直角三角形PBC示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等.聯(lián)結(jié)0P,把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示.第(3)題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)0最人的可能在經(jīng)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線上.B的坐標(biāo)為&0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-).如圖2,過點(diǎn)P作PD丄x軸，PE丄y軸，垂足分別為D、E,那么△PDB空HPEC.因此PD=PE.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,X).如圖3,聯(lián)結(jié)OP?所以SnaiKpcob=S^pco4-S^pbo=—x—?xH"—xb?x=—bx=2b?QAOA當(dāng)聖=廻，即QA1=BAOA時(shí)，^BQA^AQOA.QAOA所以(紂"-1?解得b=8±4芾.所以符合題意的點(diǎn)0為(L2+V3).4②如圖5,以0C為直徑的圓與直線尤=1交于點(diǎn)0那么ZO0C=9(r。因此△OC0SA0OA.當(dāng)￡|=號(hào)|時(shí)，\BQks此時(shí)ZO03=9O".所以C、0B三點(diǎn)共線.因此竺=型，即匕=笑.解得04=4.此時(shí)2(1,4).COOAbI考點(diǎn)伸爰第(3)題的思路是，A、C、0三點(diǎn)是確定的，3是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而ZQOA與ZQOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況.這樣，先根據(jù)△004與相似把點(diǎn)0的位置確定卞來，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)3的位置.如圖中，圓與直線x=l的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)0呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很近，這與OB=40C矛盾.例3如圖1，已知拋物線的方程Cl：y=-—(x+2)(x-m)(m>0)與x軸交于點(diǎn)B、mC,與v軸交于點(diǎn)&且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè).9T若拋物線C1過點(diǎn)M(2,2),求實(shí)數(shù)m的值；在(1)的條件下，求△BCE的面積；在(1)的條件卞，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使得BH+EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)3、C、F為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求加的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖1

第(3)題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH+EH最小.第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF,作ZCBF=ZEBC=45°,或者作BF//EC.再用含加的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo).然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān)于加的方程.將M(2,2)代入y=_丄(兀+2)(x_w?)，得2=-丄x4(2-〃7)?解得m=4.mm當(dāng)加=4時(shí)，),=一丄(兀+2)(.￥—4)=一丄”+丄￥+2?所以C(4,0),E(0,2)?442所以Sasce=丄BC?OE=—x6x2=6?22如圖2,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=l,當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH+EH最小.設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么竺=竺.CPco因此￥=扌.解得HP氣.所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,|).①如圖3,過點(diǎn)3作EC的平行線交拋物線于F,過點(diǎn)F作FF±x軸于F.由于ZBCE=ZFBC,所以當(dāng)空=竺，即BC2=CEBF時(shí)，ABCE^AFBC.得存75得存75/x+2m設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x,-—（x+2）（x-m）），由空1=竺?mBF第(第(2)題用含S的代數(shù)式表示X2-X1，我們反其道而行之，用M，上表示S.再注意平移過程中梯形的高保持不變，即山一八=3.通過代數(shù)變形就可以了.解得x=m+2.所以F（加+2,0）.由竺=竺CEBF得_川+4所以bf=W+4）&i：+4

后+4BF由竺=竺CEBF由BC'CEBF,得（加+2），=+4x（〃‘+時(shí)J儀土m②如圖4,作ZCBF=45°交拋物線于F,過點(diǎn)尸作FF丄x軸于幾由于ZEBC=ZCBF,所以竺=竺，即BC1=BEBF時(shí)，HBCEs/\BFC.BCBF在RtABFF^h，由FF=BF,得l(x+2)(x-/?)=%+2?m解得x=2m.所以F(2加,0).所以EF=2加+2,BE=^2(2m+2).由BC‘=BEBF,得(in+2)1第(3)題最人的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證.第(3)題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線4B與x第(3)題最人的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證.第(3)題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線4B與x軸的夾角不變，直線AB與拋物綜合①、②，符合題意的加為2+2>/2.考點(diǎn)伸畏第(4)題也可以這樣求EF的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長(zhǎng).例4如圖1,已知梯形OABC,拋物線分別過點(diǎn)O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移,分別交拋物線于點(diǎn)O、A】、G、B“得到如圖2的梯形OlAiBtCi.設(shè)梯形OlAiBiCi的面積為S,的坐標(biāo)分別為(Xi，力)、(兀2,V2)-用含S的代數(shù)式表示x2—X!，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)兒的坐標(biāo)；在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng).P、0兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、0兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、0兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/,是否存在某一時(shí)刻f，使得直線PQ、直線AB、x軸【韋I成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸闈成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

線的對(duì)稱軸的夾角不變.變化的直線P0的斜率，因此假設(shè)直線P0與AB的交點(diǎn)G在只軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G在x軸的上方.滿分解冬（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,解析式為）,=丄疋一丄1頂點(diǎn)為M（1,-A）.848（2）梯形0淤的面枳S=2（兒_1+亠_U%3=3（兀+兀）_6,由此得到23=yl>2于由72T-43=yl>2于由72T-421-00=3.因此得到花一不得整尢+x.=14,尢+x.=14,當(dāng)S=36時(shí)，-x2-xk=2.解得￡1此時(shí)點(diǎn)旳的坐標(biāo)為（6,3）?&=&（3）設(shè)直線AB與P0交于點(diǎn)G,直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)￡,直線P0與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的AGAF與△G0E,有一個(gè)公共角ZG.在△GE0中，ZGEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值.在AGAF中，ZGAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且ZGEQHZGAF.因此只存在ZGQE=ZGAF的可能，“GQEsHGAF.這時(shí)ZGAF=ZGQE=ZPQD.由吋―扌，論倒琲=占,所畤占解得心琴第（3）題是否存在點(diǎn)G在只軸上方的情況？如圖4,假如存在，說理過程相同，求得的F的值也是相同的.爭(zhēng)實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3?

例5如圖1,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三點(diǎn).求此拋物線的解析式；P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM丄x軸，垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△O4C相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由；在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D,使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo).已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便.數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng).按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程.把△DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA.滿分解冬因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4,0)、B(1,0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)(x-4),代入點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,-2),解得a=--.所以拋物線的解析式為2y=_*(兀-1)(兀_4)=_扌開+討_2?設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x--^(x-l)(x-4)).①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1<xV4,PM=-|(x-l)(x-4),AM=4-x.AMAO_扣_1)(乳_4)PMCO如果如=也顯，那么仝口丄解得“2.PMCO24-x2此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,PMCO如果如=也顯，那么仝口丄解得“2.PMCO24-x2此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).—(x-l)(x-4)解方程=2,得x=5?此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5-2)?x-4-(x-l)(x-4)]解方程=-,得x=2不合題意.x-42③如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x<bPM=*(x—l)(x—4),AM=4-x.—(x_l)(x_4)解方程=2,得x=—3?此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3-14)?4-x-(x-l)(x-4)]解方程=-,得x=0?此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)0重合，不合題意.4-x2綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為in(1<m<4),那么點(diǎn)￡>的坐標(biāo)為(in--nr+-m-2)，點(diǎn)E的2坐標(biāo)為(m,—m-2).所以DE=(-—nr+—m-2)-(-m-2)=-—nr+2m.222因此Ssm=—w2+2m)x4=-m2+4/m=-(in-2)2+4.22當(dāng)m=2時(shí)，ADG4的面積最人，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1).

考點(diǎn)伸爰第(3)題也可以這樣解：如圖6,過D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN,那么△DCA的面枳等于直角梯形CAMN的面枳減去△CDN和ZXADM的面積.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為(〃?，")(1<m<4),那么S=—(2n+2)x4--m(n+2)/?(4一m)=-m+2〃+4.222由于n=-—m2+—w-2,所以S=-nr+4/w.22例61?槍物線—5)與x軸的交點(diǎn)為M、N.血線+6與工軸交于P(-2.0).與y軸交于C.若A、B購點(diǎn)在血線+?RAO-BO-72.AO丄BO.D為線段MN的中點(diǎn)?OH為RtAOPC邊上的島.(DOH的長(zhǎng)度審于▲』=▲.6=▲?(2)霆否專在實(shí)便鮒拋物線>-a(x4-l)(x-5)上布一點(diǎn)E?満足以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與AAOB相似？若不存莊，說明理由：若仔在?求所有符合條件的拋務(wù)線的解析式?同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還右符合條件的E點(diǎn)(簡(jiǎn)耍說明理由卄并進(jìn)一步探索對(duì)符合條件的毎一個(gè)E點(diǎn)?血線NE與血線的交點(diǎn)G是否總滯足P/3?PGVIOQ.寫岀探索過程.求等腰直角三角形OAB斜邊上的高OH,解直角三角形POH求R、b的值.以DN為邊畫正方形及對(duì)角線，可以體驗(yàn)到，正方形的頂點(diǎn)和對(duì)角線的交點(diǎn)中，有符合題意的點(diǎn)￡，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出a.當(dāng)E在x軸上方時(shí)，ZGNP=45°,'POBs^PGN,把PB?PG轉(zhuǎn)化為PO?PN=\4.當(dāng)E在x軸下方時(shí)，通過估算得到PB?PG人于10^2.

(2)由拋物線的解析式y(tǒng)=a(x+l)(x-5),得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,0).因此MN的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),DN=3.因?yàn)锳AOB是等腰直角三角形，如果ADNE與ZkAOB相似，那么ADNE也是等腰直角三角形.如圖2,如果DN為直角邊，那么點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(2,3)或忌(2,—3).將巴(2,3)代入y=o(x+l)(x-5),求得a=-i.1/