線性代數(shù)吳贛昌第一章課件

線性代數(shù)數(shù)學(xué)系胡海平制作辦公室：F613

第一章行列式

第一節(jié)全排列及其逆序數(shù)舉例：用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？六種：123132213231312321定義1：把個不同的元素排成一列，叫做這

個元素的一個全排列（簡稱排列）。個不同元素的所有排列的種數(shù)通常用表示,

定義2:對于個不同的元素,先規(guī)定各元素之間有

一個標(biāo)準次序,這個元素的任一排列中,當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準次序不同時,就說有一個逆序,一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)，排列的逆序數(shù)記為。1、二階行列式的定義第二節(jié)階行列式的定義

一、行列式的定義2、三階行列式的定義3、階行列式的定義定義1：設(shè)有個數(shù)，排成行列的數(shù)表令為數(shù)的所有排列所組成的集合，稱代數(shù)和為階行列式。

記作，簡記為，稱為行列式的元素。定理1：階行列式也可定義為

其中的是由數(shù)的所有排列所組成的集合。2、三角形行列式稱為下三角形行列式，

為上三角形行列式。對于下三角形行列式，有性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。由此可知性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。推論1：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質(zhì)4：性質(zhì)5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以

同一個數(shù)后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。（注：這是一個很重要的性質(zhì)，我們經(jīng)常利用這條性質(zhì)將一般的行列式變換成三角形行列式來進行行列式的計算）例1：計算例2：計算例3：設(shè)，，，證明：。例如計算第四節(jié)行列式的按行（列）展開除了采用行列式的性質(zhì)外，還有其它方法能計算高階行列式嗎？定義1：在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，所得到的階行列式叫做元素的余子式，記作，稱為元素的代數(shù)余子式，記作。這個定理叫做行列式按行（列）展開法則，利用這個法則可將高階行列式降為低階行列式來進行行列式的計算。定理2：行列式某一行（列）的元素與另一行

（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或例1：利用按行（列）展開法則計算例2：計算行列式例4：計算例4：計算第五節(jié)克拉默法則行列式有何作用呢？對于方程組的解為對于含有個未知數(shù)的個線性方程組成的方程組(1)有以下結(jié)論：定理1：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,即那么,方程組(1)有唯一解這里的例1：解線性方程組當(dāng)線性方程組（1）中的不全為零時，稱方程組(1)為非齊次線性方程組，當(dāng)全為零時，稱方程組（1）為齊次線性方程組。對于齊次線性方程組(2)一定是它的解，稱這個解為方程組（2）的零解。除了零解外，齊次方程組（2）在什么條件下還有其它解呢？定理2：如果齊次線性方程組（2）的系數(shù)行列式，則（2）沒有非零解。它的逆否定理為：

如果齊次線性方程組（2）有非零解，則（2）的系數(shù)行列式