高等數(shù)學 第八章空間解析幾何課件

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算第一、向量概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系四、利用坐標作向量的線性運算五、向量的模、方向角、投影§8.1向量及其運算一、向量概念二、向量的線性運算三、空間直角坐表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段

表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢規(guī)定:零向量與任何向量平行

;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則高等數(shù)學第八章空間解析幾何課件2.向量的減法三角不等式2.向量的減法三角不等式3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),與a

的乘積是一個新向量,記作特別的:3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),與a的乘積是一個結(jié)合律運算律:分配律因此結(jié)合律運算律:分配律因此定理1.

設

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥b．．OiPxx點P實數(shù)x軸上點P的坐標為x的充分必要條件是

直線上點的坐標平面上點的坐標OQpMxyij點M向量

平面的上點M的坐標為（x，y）的充分必要條件是

向量定理1.設a為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥b證明:

假設存在唯一的實數(shù),使得由向量與數(shù)乘法定義可知與平行.與平行假設與同向，取若則與同向，與同向.從而而,故證明:假設存在唯一的實數(shù),使得由向量與數(shù)乘法定義可知與平行下面證唯一性：假設存在兩個實數(shù)與反向，取若則與反向，與同向.從而而,故使以上兩式相減，得故下面證唯一性：假設存在兩個實數(shù)與反向，取若則與反向，與同向.定理1.

設

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥b．．OiPxx點P實數(shù)x軸上點P的坐標為x的充分必要條件是

直線上點的坐標平面上點的坐標OQpMxyij點M向量

平面的上點M的坐標為（x，y）的充分必要條件是

向量定理1.設a為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組稱有序數(shù)組為點M的坐標,記為

M原點O(0,0,0);向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上坐標軸:坐標面:坐標軸:坐標面:2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點

M

則沿三個坐標軸方向的分向量.的坐標為此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量r可用向徑OM表示.2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點M則沿三個坐四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:

①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×例3.

已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設M

的坐標為如圖所示及實數(shù)得即故例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設M說明:

由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式例4.

求證以證:即為等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三角形.為頂點例4.求證以證:即為等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三例5.

在z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.例5.在z軸上求與兩點等距解:設該點為解得故所求點為提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.

已知兩點和解:求提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.

類似可定義向量與軸,

軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱方向余弦的性質(zhì):方向余弦的性質(zhì):例7.

已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例8.

設點A

位于第一卦限,解:

已知角依次為求點A

的坐標.則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標為向徑OA

與x

軸，y軸的夾例8.設點A位于第一卦限,解:已知角依次為求點A3.向量的投影的概念空間一點在軸上的投影3.向量的投影的概念空間一點在軸上的投影過點

作一平面與軸垂直，該平面與軸交于一點，則稱為向量在

軸上的分向量，設

則稱數(shù)為在軸上的投影，記作

或向量在軸上的投影：過點作一平面與軸垂直，該平面與軸在三條坐標軸上的投影，即從而或向量的投影具有與坐標相同的性質(zhì)性質(zhì)1（是與軸的夾角）性質(zhì)2性質(zhì)3在三條坐標軸上的投影，即從而或向量的投影具有與坐標相同的性質(zhì)

作業(yè)：p12-13習題8-1

1,3，4，5，13,14,15作業(yè)：p12-13習題8-1第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算第一、向量概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系四、利用坐標作向量的線性運算五、向量的模、方向角、投影§8.1向量及其運算一、向量概念二、向量的線性運算三、空間直角坐表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段

表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢規(guī)定:零向量與任何向量平行

;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則高等數(shù)學第八章空間解析幾何課件2.向量的減法三角不等式2.向量的減法三角不等式3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),與a

的乘積是一個新向量,記作特別的:3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),與a的乘積是一個結(jié)合律運算律:分配律因此結(jié)合律運算律:分配律因此定理1.

設

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥b．．OiPxx點P實數(shù)x軸上點P的坐標為x的充分必要條件是

直線上點的坐標平面上點的坐標OQpMxyij點M向量

平面的上點M的坐標為（x，y）的充分必要條件是

向量定理1.設a為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥b證明:

假設存在唯一的實數(shù),使得由向量與數(shù)乘法定義可知與平行.與平行假設與同向，取若則與同向，與同向.從而而,故證明:假設存在唯一的實數(shù),使得由向量與數(shù)乘法定義可知與平行下面證唯一性：假設存在兩個實數(shù)與反向，取若則與反向，與同向.從而而,故使以上兩式相減，得故下面證唯一性：假設存在兩個實數(shù)與反向，取若則與反向，與同向.定理1.

設

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥b．．OiPxx點P實數(shù)x軸上點P的坐標為x的充分必要條件是

直線上點的坐標平面上點的坐標OQpMxyij點M向量

平面的上點M的坐標為（x，y）的充分必要條件是

向量定理1.設a為非零向量,則(為唯一實數(shù))a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組稱有序數(shù)組為點M的坐標,記為

M原點O(0,0,0);向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上坐標軸:坐標面:坐標軸:坐標面:2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點

M

則沿三個坐標軸方向的分向量.的坐標為此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量r可用向徑OM表示.2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點M則沿三個坐四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:

①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×例3.

已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設M

的坐標為如圖所示及實數(shù)得即故例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設M說明:

由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式例4.

求證以證:即為等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三角形.為頂點例4.求證以證:即為等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三例5.

在z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.例5.在z軸上求與兩點等距解:設該點為解得故所求點為提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.

已知兩點和解:求提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.

類似可定義向量與軸,

軸與軸的夾角