最新橢圓知識點總結

精品文檔橢圓知識點知識點一：橢圓的定義平面內一個動點P到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(|PF1|+PF2b2a>F1F2)，這個動點P的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若|注意：若|PF1|+PF2b|F1F2|，則動點P的軌跡為線段FF；12若|若|PF1|+PF2kF1F21，則動點P的軌跡無圖形.橢圓：上+21=1(a>b>0)與a2b2橢圓：上+21=1(a>b>0)與a2b2標準方程二+22=1(a>b>0)a2 b2"+上=1 (a>b>0)a2 b2圖形y y3…J 1 ，#廣九 1s i mL叫s**X.性質焦點F1(-c,0)，FJc,0)F1(0,-c)，FJ0,c)焦距FF2=2cFF2=2c范圍x<a，y<bx<b，y<a對稱性關于x軸、2軸和原點對稱頂點(土a,0)，(0,土b)(0,土a)，(土b,0)軸長長軸長=2a，短軸長=2b長半軸長二a，短半軸長二b(注意看清題目)離心率e=C(0<e<1)aAF=11A2F2=a-c；AF=12AF=a+c；a一c<PF1<a+c；精品文檔

精品文檔幾點說明:CD長軸；線段長為2仆短地；淺段耳是，按為2%焦點在長軸上&C2;對二離心手已因為心心3班以DCK1,高心率反映了桶囪的扁平程度好精品文檔幾點說明:CD長軸；線段長為2仆短地；淺段耳是，按為2%焦點在長軸上&C2;對二離心手已因為心心3班以DCK1,高心率反映了桶囪的扁平程度好由I于1=一口越越近了七，橢圓越圓&,聽以，-逑趨近于■［，，,越趨運=0,犧圓越扁平；，-越趨邁于。,⑶觀察下圖，|門"|=包|沙小卜九所以是Al="，所以輔圓的離心率注意：①與坐標系無關的橢圓本身固有的性質，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等;②與坐標系有關的性質，如：頂點坐標、焦點坐標等知識點三：橢圓相關計算1.橢圓標準方程中的三個量a,b,c的幾何意義a2=b2+c2.通徑:過焦點且垂直于長軸的弦,其長2-a2（產最短的焦點強為通徑長最長為2口.焦點弦：橢圓過焦點的弦。.最大角:口是橢圓上一點，當p是橢圓的短軸端點時，/。巴為最大角。.橢圓上一點和兩個焦點構成的三角形稱為焦點三角形。9S =b2tan—焦點三角形的面積H2 2，其中9=/FJF2（注意公式的推導）精品文檔

精品文檔.求橢圓標準方程的步驟(待定系數法).(1)作判斷：依據條件判斷橢圓的焦點在，軸上還是在y軸上.(2)設方程：①依據上述判斷設方程為竺十二=1(。>b>0)或絲+二=1(〃>b>0)a2b2 b2a2②在不能確定焦點位置的情況下也可設mx2+幾y2=1(m>0,n>0且m豐n)或設成，十;■=1(" 的形式、(3)找關系，根據已知條件，建立關于a，b,c或m，n的方程組.(4)解方程組，代入所設方程即為所求..點與橢圓的位置關系：x2+工<1,點在橢圓內；上+龍=1,點在橢圓上；x2+工>1,點在橢圓外。a2b2 a2b2 a2b2.直線與橢圓的位置關系設直線方程y=kx+m，若直線與橢圓方程聯立，消去y得關于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a=0).(1)A>0,直線與橢圓有兩個公共點(2)，=0,直線與橢圓有一個公共點(3)，<0,直線與橢圓無公共點.弦長公式：(注意推導和理解)若直線l:y=kx+b與圓錐曲線相交與A、B兩點，A(x/yJ,B(x2,y2)則弦長=v'1+k2=v'1+k2x-xI|AB|二',''(x-x)2+(y-y)2=弋(x—x)2+(kx—kx)2精品文檔精品文檔) ,■ J1?yyI.Vi—v2I-=V1+k2%;(X+x)2-4XX二、人.點差法：就是在求解圓錐曲線題目中，交代直線與圓錐曲線相交所截的線段中點坐標的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程。涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.步驟:①設直線和圓錐曲線交點為內，口?,匕:，二?,其中點坐標為匕"，；’」/,則得到關系式：門一工二二?.方，；'.'i—二二？門..②把，|,?：；—?二分別代入圓錐曲線的解析式，并作差，利用平方差公式對結果進行因式分解.其結果為m(X]-x2)(X]+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0J粵W fQ二獸W(一)③利用■"'I-J求出直線斜率，代入點斜式得直線方程為 ■■"'I-1 .中點弦的重要結論(不要死記會推導)工2MAB為橢圓1■十必=1(心的弦,A(xPyi),B(x2f力)，弦中點,吊運山Q力定.參數方程尸二:C0s2 (0為參數)0幾何意義：離心角[y=bsin011、橢圓切線的求法1)切點(Xy)已知時，上+竺=1(a>b>0)切線XoX+yy=100 a2b2 a2b2二十==1(a>b>0)切線二+XX=1a2b2 a2b2精品文檔

精品文檔2)切線斜率k已知時， 竺+竺=1(a>b>0) 切線j=kx±\;a2k2+從a2b2—+—=1(a>b>0)切線j=kx±\.'b2k2+a2a2 b212、焦半徑：橢圓上點到焦點的距離x2+22=1（a>b>0） r=a±ex（力口減由長短決定）a2b2 0j2j2a2二+—=1(a>b>0)a2b2r=a±ey°（加減由長短決定）.離心率的求法橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法；①求出凡「代入公式它=二②只需要根據一個條件得到美千4A「的齊次式，結1/合/轉化為風心的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以儲或/轉化為關于巳或/的方程不等式），解方程（不等式）即可得嗯的取值范圍）..焦點三角形的周長和面積的求法利用定義求焦點三角形的周長和面積，解焦點三角形常利用橢圓的定義和正弦正理，常用到結論有：[其中，-N■。尸/,）①|尸耳|+|尸國=2J②41=|尸耳『十|尸石『一2|產萬忖尸石|，酬汨；③當尸為短軸端點時，日最大，④50產撲舊"小山—：^^方=/tan[=「?%,當為=±〃，即/r