2023屆吳淞中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.3.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.4.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②5.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.08.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.9.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球,從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球,則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.10.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.11.給定下列四個(gè)命題:①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④12.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,為定長,,若的面積的最大值為,則邊的長為____________.14.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__.16.設(shè)滿足約束條件且的最小值為7,則=_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線與直線.(1)求拋物線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值;(2)設(shè)點(diǎn)是直線l上的動(dòng)點(diǎn),是定點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,求證A,Q,B共線;并在時(shí)求點(diǎn)P坐標(biāo).18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意的和恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,求的最小值.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.(12分)如圖1,與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形,,,連接是邊上一點(diǎn),過作,交于點(diǎn),沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.2、B【解析】

根據(jù)程序框圖知當(dāng)時(shí),循環(huán)終止,此時(shí),即可得答案.【詳解】,.運(yùn)行第一次,,不成立,運(yùn)行第二次,,不成立,運(yùn)行第三次,,不成立,運(yùn)行第四次,,不成立,運(yùn)行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.3、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn),斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計(jì)算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.4、C【解析】

①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡單題目.5、D【解析】

根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn);利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點(diǎn),通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定;利用過某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為:原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知,直線恒過點(diǎn)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點(diǎn)的曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為由圖象可知,當(dāng)時(shí),與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè),,則,解得:設(shè),,則,解得:,則本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問題;解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.6、C【解析】

先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故,即的最小值為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.9、B【解析】

由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.11、D【解析】

利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面,故①錯(cuò)誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面垂直,只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,是中檔題.12、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè),以為原點(diǎn),為軸建系,則,,設(shè),,,利用求向量模的公式,可得,根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.【詳解】解:設(shè),以為原點(diǎn),為軸建系,則,,設(shè),,則,即,由,可得.則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算,建系是關(guān)鍵,屬于難題.14、【解析】

基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)后,代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率,然后根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式,即可寫出切線方程.【詳解】因?yàn)?,所以,從而切線的斜率,所以切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查過曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法,屬基礎(chǔ)題.16、3【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域,再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為,對參數(shù)a分類討論,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當(dāng)時(shí),的截距沒有最小值,即z沒有最小值;當(dāng)時(shí),的截距沒有最大值,即z沒有最小值,綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下:由,可得出交點(diǎn),由可得,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)即時(shí),由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);當(dāng)即時(shí),由可行域可知的截距沒有最小值,即z沒有最小值;當(dāng)即時(shí),根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值,即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題,約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù),要對參數(shù)進(jìn)行討論.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析,或【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出;(2)設(shè),,,,表示出直線,的方程,利用表示出,,即可求定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,時(shí)取等號(hào)),則拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值;(2)設(shè),,,,,,直線,的方程為分別為,,由兩條直線都經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)得,為方程的兩根,,直線的方程為,,,,,共線.又,,,解,,點(diǎn),是直線上的動(dòng)點(diǎn),時(shí),,時(shí),,,或.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程的求法,考查直線方程的求法,考查直線過定點(diǎn)的解法,意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,,恒成立,然后構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由得:;由得:.∴當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)間:當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)對任意的和,恒成立等價(jià)于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,則得,由此可得:在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴當(dāng)時(shí),,即又∵,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),屬于中等題.19、(1)(2)【解析】分析:(1)先求導(dǎo),再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解:(1)由函數(shù)有意義,則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間,則在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有兩個(gè)極值點(diǎn)故為方程的兩根,,,則由由,則上單調(diào)遞減,即由知綜上所述,的最小值為.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點(diǎn)有兩個(gè),其一是求出,其二是構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.20、(1)(2)【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值,結(jié)合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),則所以不等式的解集為.(2)等價(jià)于,而,故等價(jià)于,所以或,即或,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度一般.21、(1)證明見解析(2)(3)【解析】

根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù),可知,,表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),分別求得平面與平面的法向量,代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為,設(shè)為高,則,表示梯形BEFD和ABD的面積由,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】(1)證明:不妨設(shè)與的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為由題知,,則有又,則有由折疊可知所以可證由平面平面,則有平面又因?yàn)槠矫?,所?...(2)解:依題意,有平面平面,又平面,則有平面,,又由題意知,如圖所示:以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意知由可知,則則有,,設(shè)

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