2021年高考數(shù)學(xué)真題和模擬題分類匯編專題13排列組合與二項式定理【含答案】

專題13排列組合與二項式定理一、選擇題部分1.(2021?河南開封三模?理T11)某校組織甲、乙兩個班的學(xué)生到“農(nóng)耕村”參加社會實踐活動，某天安排有釀酒、油坊、陶藝、打鐵、紡織、竹編制作共六項活動可供選擇，每個班上午、下午各安排一項活動（不重復(fù)），且同一時間內(nèi)每項活動都只允許一個班參加，則活動安排方案的種數(shù)為（）A．126 B．360 C．600 D．630D．第一類，上下午共安排4個活動（上午2個，下午2個）分配給甲，乙，故有A62A42＝360種，第二類，上下午共安排3個活動，（上午2個下午1個，或上午1個下午2個）分配給甲，乙，故有A62A41A21＝240第三類，上下午共安排2個活動，（上午1個，下午1個）分配給甲，乙，故有A62＝30種，根據(jù)分類計數(shù)原理，共有360+240+30＝630種．2.(2021?河南開封三模?理T6)（a﹣x）（1+x）6的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64，則實數(shù)a＝（）A．4 B．3 C．2 D．1B．∵（a﹣x）（1+x）6的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為64，設(shè)f（x）＝（a﹣x）（x+1）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a6x7，令x＝1，則f（1）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝（a+1）（1﹣1）5＝64（a﹣1），①令x＝﹣1，則f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，解得a＝3．3.(2021?河南焦作三模?理T7)為了加強(qiáng)新型冠狀病毒疫情防控，某社區(qū)派遣甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者參加A，B，C三個小區(qū)的防疫工作，每人只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個小區(qū)，則不同的派遣方案共有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．64種B．根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將5人分成3組，要求甲乙在同一組，若甲乙兩人一組，將其他三人分成2組即可，有C32種分組方法，若甲乙兩人與另外一人在同一組，有C31種分組方法，則有C31+C32＝6種分組方法；②將分好的三組全排列，對應(yīng)A、B、C三個小區(qū)，有A33＝6種情況，則有6×6＝36種不同的派遣方案．4.(2021?河北張家口三模?T7)（x+2y﹣3z）5的展開式中所有不含y的項的系數(shù)之和為（）A．﹣32 B．﹣16 C．10 D．64A．在（x+2y﹣3z）7的展開式中，通項公式為．若展開式中的項不含y，則r＝65展開式中的所有項．令x＝z＝1，得這些項的系數(shù)之和為（﹣3）5＝﹣32．5.(2021?江西上饒三模?理T10．)現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物各1本書，把這6本書分別放入3個不同的抽屜里，要求每個抽屜至少放一本書且語文和數(shù)學(xué)放在同一個抽屜里，則不同的放法總數(shù)為（）A．78 B．126 C．148 D．150D．根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本書分為3組，要求語文和數(shù)學(xué)在同一組，若分為2、2、2的三組，有C42＝3種分組方法，若分為3、2、1的三組，有C41+C41C32＝16種分組方法，若分為4、1、1的三組，有C42＝6種分組方法，則有3+16+6＝25種分組方法；②將分好三組全排列，放入三個不同的抽屜，有A33＝6種情況，則有25×6＝150種安排方法．6.(2021?重慶名校聯(lián)盟三模?T5．)已知（2x2+1）（﹣1）5的展開式中各項系數(shù)之和為0，則該展開式的常數(shù)項是（）A．﹣10 B．﹣7 C．9 D．10C．（2x2+1）（）5開式中各數(shù)和為3（a﹣1）5＝0，∴a＝1，則（）5，即，它的展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?x2r﹣10，令2r﹣10＝﹣2，求得r＝4；令2r﹣10＝0，求得r＝5，故（2x2+1）（）5＝（2x2+1）（﹣1）5的展開式中常數(shù)項是2﹣＝9．7.(2021?遼寧朝陽三模?T8．)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為側(cè)棱CC1的中點，從該三棱柱的九條棱中隨機(jī)選取兩條，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線BD異面的概率是（）A． B． C． D．B．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為側(cè)棱CC1的中點，∴該三棱柱的九條棱中與BD異面的棱有5條，從該三棱柱的九條棱中隨機(jī)選取兩條，基本事件總數(shù)n＝＝36，這兩條棱所在直線至少有一條與直線BD異面包含的基本事件個數(shù)為：m＝+＝26，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線BD異面的概率P＝＝＝．8.(2021?遼寧朝陽三模?T6．)下列各項中，是（）6展開式中的項為（）A．15 B．﹣20x2 C．15y4 D．﹣20C．（）6展開式的通項公式為Tr+1＝＝（﹣1）r，由＝0且＝0，此時r無解，故展開式中沒有常數(shù)項，故A錯誤；由＝2且＝0，此時r無解，故展開式中不含x2項，故B錯誤；由＝0且＝4，此時r＝2，故T3＝（﹣1）2y4＝15y4，故C正確；由＝0且＝，此時r無解，故展開式中不含項，故D錯誤．9.(2021?湖南三模?T9．)在（3x﹣）n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為128，則（）A．二項式系數(shù)和為64 B．各項系數(shù)和為64 C．常數(shù)項為﹣135 D．常數(shù)項為135ABD．（3x﹣）n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為2n+2n＝128，∴n＝6，故二項式系數(shù)和為26＝64，二項式系數(shù)和之和為2n＝26＝64，故A、B正確；故展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?36﹣r?，令6﹣＝0，求得r＝4，故常數(shù)項為?32＝135，故D正確．10.(2021?福建寧德三模?T7)《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)、數(shù)學(xué)著作，公元3世紀(jì)初中國數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”(如圖)，用以證明其中記載的勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給右圖中5個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同涂色的方法種數(shù)為(?)A.36 B.48 C.72 D.96C．根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①對于區(qū)域ABE，三個區(qū)域兩兩相鄰，有A43=24種涂色的方法，

②對于區(qū)域CD，若C區(qū)域與A顏色相同，D區(qū)域有2種選法，

若C區(qū)域與A顏色不同，則C區(qū)域有1種選法，D區(qū)域也只有1種選法，

則區(qū)域CD有2+1=3種涂色的方法，

則有24×3=72種涂色的方法，

故選：C.

根據(jù)題意，分2步依次分析區(qū)域ABE和區(qū)域CD的涂色方法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案。

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。

11.(2021?安徽宿州三模?理T6．)新冠肺炎疫情防控期間，按照宿州市疫情防控應(yīng)急指揮部的要求，市教育體育局對各市直學(xué)校下發(fā)了有關(guān)疫情防控通知．某學(xué)校按市局通知要求，制定了錯峰放學(xué)，錯峰吃飯的具體防疫措施．高三年級一層樓有A、B、C、D、E、F六個班排隊吃飯，A班必須排在第一位，且DA．20種 B．56種 C．72種 D．40種C．根據(jù)題意，A班必須排在第一位，剩下5個班級安排在后面的5個位置即可，分2步進(jìn)行分析：①將BCF三個班級全排列，排好后有4個空位，有A33＝6種排法，②在4個空位中選出2個，安排D班、E班，有A42＝12種排法，則有6×12＝72種不同的方案．12.(2021?安徽宿州三模?理T7．)（x+2y）（2x+y）5的展開式中x3y3項的系數(shù)為（）A．80 B．160 C．200 D．240C．（x+2y）（2x+y）5＝（x+2y）（（2x）5+?（2x）4y+?（2x）3y2+?（2x）2y3+?（2x）?y4+?y5），故展開式中x3y3項的系數(shù)為?22+2?23＝200．13.(2021?安徽馬鞍山三模?理T6．)的常數(shù)項為25，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2D．（2x﹣1）6的展開式的通項公式為Tr+1＝（﹣1）r?26﹣r??x6﹣r，所以的常數(shù)項為（﹣1）5?2?a+（﹣1）6?20＝﹣12a+1＝25，解得a＝﹣2．14.(2021?河北邯鄲二模?理T6．)（x2﹣x）（1+x）6的展開式中x3項的系數(shù)為（）A．﹣9 B．9 C．﹣21 D．21A．因為根據(jù)（1+x）6展開式的通項Tr+1＝，所以（x2﹣x）（1+x）6的展開式中x3項為＝﹣9x3，所以含x3項的系數(shù)﹣9．15.(2021?河北秦皇島二模?理T10．)已知（2﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)3＝﹣360 B．（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝1 C．a(chǎn)1+a2+…+a6＝（2﹣）6 D．展開式中系數(shù)最大的為a2BD．令x＝0得a0＝26，令x＝1得a0+a1+a2+…+a6＝（2﹣）6，則a1+a2+…+a6＝（2﹣）6﹣26，故C錯誤，令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝（2+）6，則（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝（a0+a1+a2+…+a6）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6）＝（2﹣）6（2+）6＝[（2﹣）（2+）]6＝1，故B正確，a3＝23（）3＝﹣480，故A錯誤，展開式中偶數(shù)項系數(shù)為負(fù)值，奇數(shù)項系數(shù)為正值，則系數(shù)最大的在a0，a2，a4，a6中，展開式的通項公式Tk+1＝26﹣k（x）k，則a2＝720，a4＝540，a6＝27，則系數(shù)最大的為a2．16.(2021?遼寧朝陽二模?T6．)今年我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒．“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方，若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出2種，則恰好選出1藥1方的方法種數(shù)為（）A．15 B．30 C．6 D．9D．根據(jù)題意，某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出2種，恰好選出1藥1方，則1藥的取法有3種，1方的取法也有3種，則恰好選出1藥1方的方法種數(shù)為3×3＝9．17.(2021?山東濰坊二模?T4．)2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕．某學(xué)校社團(tuán)將舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年革命歌曲展演．現(xiàn)從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《唱支山歌給黨聽》《毛主席派人來》4首獨唱歌曲和《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》《我和我的祖國》2首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排方法共有（）A．14 B．48 C．72 D．120D．根據(jù)題意，在2首合唱歌曲中任選1首，安排在最后，有2種安排方法，在其他5首歌曲中任選3首，作為前3首歌曲，有A53＝60種安排方法，則有2×60＝120種不同的安排方法．18.(2021?浙江麗水湖州衢州二模?T8．)某市抽調(diào)5位醫(yī)生分赴4所醫(yī)院支援抗疫，要求每位醫(yī)生只能去一所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排一位醫(yī)生．由于工作需要，甲、乙兩位醫(yī)生必須安排在不同的醫(yī)院，則不同的安排種數(shù)是（）A．90 B．216 C．144 D．240B．根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5位醫(yī)生分為4組，要求甲乙不在同一組，有C52﹣1＝9種分組方法，②將分好的4組安排到4所醫(yī)院支援抗疫，有A44＝24種安排方法，則有9×24＝216種安排種數(shù)．二、填空題部分19.(2021?山東濰坊二模?T13．)設(shè)（x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a1+a2+a3+a4＝．15．∵（x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x＝1得：24＝16＝a0+a1+a2+a3+a4，令x＝0得：1＝a0，∴a1+a2+a3+a4＝16﹣1＝15．20.(2021?遼寧朝陽二模?T13．)在（x﹣2y+z）7的展開式中，所有形如xaybz2（a，b∈N）的項的系數(shù)之和是．﹣21．因為（x﹣2y+z）7＝[（x﹣2y）+z]7，所以展開式中含z2的項為C，令x＝y(tǒng)＝z＝1，則所求系數(shù)之和為C?（1﹣2）5?12＝﹣21．21.(2021?廣東潮州二模?T13．)（x﹣）6的展開式的常數(shù)項是．用數(shù)字作答）．﹣20．（x﹣）6的展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展開式的常數(shù)項為?（﹣1）＝﹣20．22.(2021?廣東潮州二模?T15．)根據(jù)中央關(guān)于精準(zhǔn)脫貧的要求，我市農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門隨機(jī)派遣4位專家對3個縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派1位專家，則專家派遣的方法的種數(shù)為．36．根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4位專家分為3組，有C42＝6種分組方法，②將分好的三組全排列，分到3個縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，有A33＝6種情況，則有6×6＝36種派遣方法．23.(2021?天津南開二模?T11．)的二項展開式中，x3的系數(shù)等于．15．的二項展開式的通項公式為Tr+1＝＝（﹣1）r，令6﹣r＝3且，解得r＝2，所以x3的系數(shù)等于（﹣5）2＝15．24.(2021?浙江卷?T13)已知多項式，則___________，___________.(1).;(2)..，，所以，，所以.故答案為.25.(2021?江蘇鹽城三模?T13)文旅部在2021年圍繞“重溫紅色歷史、傳承奮斗精神”“走進(jìn)大國重器、感受中國力量”“體驗美麗鄉(xiāng)村、助力鄉(xiāng)村振興”三個主題，遴選推出“建黨百年紅色旅游百條精品線路”．這些精品線路中包含上?！髸?、嘉興南湖、井岡山、延安、西柏坡等5個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)，還有港珠澳大橋、北京大興國際機(jī)場、“中國天眼”、“兩彈一星”紀(jì)念館、湖南十八洞村、浙江余村、貴州華茂村等7個展現(xiàn)改革開放和新時代發(fā)展成就、展示科技強(qiáng)國和脫貧攻堅成果的景區(qū)．為安排旅游路線，從上述12個景區(qū)中選3個景區(qū)，則至少含有1個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)的選法有種．185．【考點】排列組合由題意，可用間接法，總體情況為從12個景區(qū)中選3個景區(qū)EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(12），從7個非傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)中選3個景區(qū)EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(7），則至少含有1個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)的選法有EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(12）－EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(7）＝185．26.(2021?河南鄭州三模?理T14)展開式中的a與b指數(shù)相同的項的表達(dá)式為．﹣84a．展開式的通項公式為Tr+1＝C＝C，令6﹣，解得r＝3，所以展開式中的a與b指數(shù)相同的項的表達(dá)式為C＝﹣84a．27.(2021?四川內(nèi)江三模?理T14．)二項式（2x2﹣）6的展開式中的常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）60．（2x2﹣）6的展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?27﹣r?x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝4?22＝60．28.(2021?上海嘉定三模?T8．)展開式中的常數(shù)項為﹣19．﹣19．依題意，（1﹣x）6展開式的通項是，當(dāng)r＝0時，；當(dāng)r＝3時，，∴展開式的常數(shù)項是．29.(2021?四川瀘州三模?理T13．)（x+1）（x﹣1）6展開式中x3項的系數(shù)為．﹣5．由