固體物理習(xí)題及解答

資料資料.資料資料.填空題.晶格常數(shù)為a的立方晶系(hkl＞晶面族的晶面間距為一a/%'h2+k2+l2f 2兀r 2兀二的每個(gè)格點(diǎn)構(gòu)成。pKX2qx0n62該(hkl＞晶面族的倒格子矢量G,,］為一h~~i+k~~j+1hkl 的每個(gè)格點(diǎn)構(gòu)成。pKX2qx0n62種布拉維晶格。PKX2種布拉維晶格。PKX2qx0n62.晶體結(jié)構(gòu)按晶胞形狀對稱性可劃分為一7一大晶系，考慮平移對稱性晶體結(jié)構(gòu)可劃分為一14.體心立方2晶格的結(jié)構(gòu)因子為.s胸廣八+expL蔬(h+k+l)”其衍射消光條件是-h+k+l=奇數(shù).與正格子晶列［hkl］垂直的倒格子晶面的晶面指數(shù)為——(hkl＞—,與正格子晶面＜hkl)垂直的倒格子晶列的晶列指數(shù)為——［hkl］—。.由N個(gè)晶胞常數(shù)為a的晶胞所構(gòu)成的一維晶格，其第一布里淵區(qū)邊界寬度為,電子波矢的允許值為一2冗/Na.的整數(shù)倍。.對于體積為V，并具有N個(gè)電子的金屬,其波矢空間中每一個(gè)波矢所占的體積為.QSiV_,費(fèi)m波矢為1/3+曲,人人修+4 也3Nk … 'M八小山一也LH小.按經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論，N個(gè)自由電子系統(tǒng)的比熱應(yīng)為一2 B—，而根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)得到的金屬三維電子氣的比熱為兀2兀2——NkT/T，比經(jīng)典值小了約兩個(gè)數(shù)量級。pKX2qx0n62.在晶體的周期性勢場中，電子能帶在布里淵區(qū)邊界將出現(xiàn)帶隙，這是因?yàn)殡娮有胁ㄔ谠撎幨艿讲祭穹瓷渥兂神v波而導(dǎo)致的結(jié)果。.對晶格常數(shù)為a的簡單立方晶體，與正格矢R=ai+2aj+2ak正交的倒格子晶面族的面指數(shù)為口22^_,其面間距為加% pKX2qx0n62.鐵磁相變屬于典型的二級相變，在居里溫度附近，自由能連續(xù)變化，但其—一階導(dǎo)數(shù)＜比熱）——不連續(xù)。pKX2qx0n62.晶體結(jié)構(gòu)按點(diǎn)對稱操作可劃分為一32——個(gè)點(diǎn)群，結(jié)合平移對稱操作可進(jìn)一步劃分為一230—個(gè)空間群。.等徑圓球的最密堆積方式有六方密推＜hcp）和面心立方密推＜fcc） 兩種方式，兩者的空間占據(jù)率皆為74%。pKX2qx0n62.面心立方＜fcc）晶格的倒格子為一體心立方＜bcc）—晶格；面心立方＜fcc）晶格的第一布里淵區(qū)為截角八面體—。.■結(jié)構(gòu)因子用反映一個(gè)晶胞對于＜hkl）布拉格衍射的衍射能力大??； 原子形狀因子反映一個(gè)原子對于＜hkl）布拉格衍射的衍射能力大小。pKX2qx0n62.布里淵＜Brillouin）區(qū)定義為倒格子空間中的維格納■賽茨原胞；按照衍射的勞埃條件,布里淵區(qū)邊界包括了所有能發(fā)生布拉格（Brag＞反射。pKX2qx0n62.根據(jù)布拉格方程，能滿足衍射條件的入射x射線的波長不得大于；入射x射線波長變大將導(dǎo)致衍射角—變^―。pKX2qx0n62.晶體結(jié)構(gòu)中由原子或原子集團(tuán)組成的最小重復(fù)單元稱為一基元-；由晶格〈點(diǎn)陣）的三個(gè)平移基矢圍成的平行六面體稱為一雌一。.六方密堆結(jié)構(gòu)的原子密排面為*001—晶面；垂直于-■■■?向按ABAB重復(fù)方式排列。最大配位數(shù)為12。。pKX2qx0n62.簡立方格子的倒格子為簡立方格子，體心立方格子的倒格子為面心立方格子。［_，3兀2Ny3.對于體積為V,并具有N個(gè)電子的金屬，其費(fèi)M波矢為一人歹二一,- -,費(fèi)M能量為力2k2 力2(3兀2N￥/3e=—f=- IF 2m 2m( VJ.超導(dǎo)體最為根本的物理特征是具有邁斯納<Meisser）效應(yīng)。也就是說超導(dǎo)體除了具有完全導(dǎo)電性外，還具有完全抗磁性。.碳化硅<SiC）是一種常見的半導(dǎo)體材料，當(dāng)產(chǎn)生晶格振動時(shí)，會形成，一支聲學(xué)支格波和與一支光學(xué)支格波。.晶體中電子的速度與波矢空間中能帶的一階導(dǎo)數(shù)〈斜率）—成正比；有效質(zhì)量與波矢空間中能帶的二階導(dǎo)數(shù)〈曲率）_成反比。pKX2qx0n62.晶格振動的愛因斯坦模型假定任何振動模式都具有白4的振動頻率，德拜模型則假定振動頻率與成正比。pKX2qx0n62.順磁性物質(zhì)中原子具有磁矩，其磁化率為一正值一，并遵從居里定律。.第一類超導(dǎo)體的相干長度—大于—磁場侵入長度，因此超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)的界面自由能為值，不能形成渦旋混合態(tài)。pKX2qx0n62.對晶格常數(shù)為a的簡單立方晶體，與正格矢R=2ai+2aj+3ak正交的倒格子晶面族的面指數(shù)為一（223^_,其面間距為2冗.———pKX2qx0n62<17aUy「1+丫yv=M.各向同性磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率rr與磁化率Xm的關(guān)系為Nr %m，其中磁化率Xm的定義式為一1mh.體心立方元素晶體，［111］方向上的結(jié)晶學(xué)周期是一實(shí)際周期為—— /2—。.面心立方元素晶體中最小的晶列周期是——該晶列在——<111） 晶面內(nèi)。.氯化銫結(jié)構(gòu)對應(yīng)的是一立方 布拉菲格子，其配位數(shù)是?.碳化硅SiC晶體產(chǎn)生晶格振動時(shí)，總共會形成_&-支格波；其中聲學(xué)支和光學(xué)支格波各為——3——支。.鈦酸鍶SrTO3晶體產(chǎn)生晶格振動時(shí)，會形成一W一支格波，其中聲學(xué)支和光學(xué)支格波各為3和12支。.當(dāng)X射線照射在一個(gè)晶體時(shí)，產(chǎn)生衍射的必要條件是滿足Brc。方程而產(chǎn)生衍射的充要條件是該衍射的結(jié)構(gòu)因子不為零——。.X射線的衍射方向主要取決于—品胞的形狀和大小，而衍射強(qiáng)度主要取決于晶胞內(nèi)的原子種類,數(shù)目和分布。.一級相變在相變點(diǎn)處有潛熱，體系的自由能不連續(xù)變化;二級相變在相變點(diǎn)處無潛熱，體系的自由能連續(xù)變化，但其一階導(dǎo)數(shù)＜比熱）不連續(xù)變化。.金剛石晶體的結(jié)合類型是典型的一共價(jià)結(jié)合—晶體，每個(gè)原子具有正四面體構(gòu)型的一部3—原子雜化軌道..當(dāng)電子遭受到某一晶面族的強(qiáng)烈反射時(shí),電子平行于晶面族的平均速度不為零,電子波矢的末端處在布里淵區(qū)邊界上..兩種不同金屬接觸后，費(fèi)M能級高的帶電.對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的是—費(fèi)M面附近—的電子..具有平移對稱性的晶體結(jié)構(gòu)不可能具有5重對稱軸，并且晶體結(jié)構(gòu)的對稱軸最高為一對稱軸。.晶體結(jié)構(gòu)按點(diǎn)對稱操作可劃分為二24^點(diǎn)群，結(jié)合平移對稱操作可進(jìn)一步劃分為230個(gè)空間群。.等徑圓球的最密堆積方式有六方密堆＜hcp）和面心立方密堆＜fcc）兩種方式，兩者的空間占據(jù)率皆為74%。.面心立方＜fcc）結(jié)構(gòu)具有最大原子面密度的為V111）晶面;六方密堆＜hcp）結(jié)構(gòu)具有最大原子面密度的為*Om—晶面。.立方晶系具有簡單立方＜sc）、一體心立方（hcc＞和面心立方（憶C＞三種布拉維晶格。.面心立方＜fcc）晶格的倒格子為體心立方＜bcc）晶格;面心立方＜fcc）晶格的第一布里淵區(qū)為截角八面體。.體心立方＜bcc）晶格的倒格子為面心立方＜fcc）晶格;體心立方＜bcc）晶格的第一布里淵區(qū)為正賽形十二面體。.布里淵〈Brillcuin）區(qū)定義為倒格子空間中的維格納-賽茨原胞;按照衍射的勞埃條件，布里淵區(qū)邊界包括了所有能發(fā)生布拉格（Brci@＞反射的波的波矢。.金剛石晶體具有面心立方晶格，每個(gè)晶胞包含.面心立方金剛石結(jié)構(gòu)每個(gè)碳原子的最鄰近原子配位數(shù)為^；碳原子之間通過其價(jià)鍵結(jié)合。.巖鹽（NaCl＞晶體具有面心立方＜fcc）晶格，每個(gè)晶胞包含qNaCl基元。k費(fèi)M能量為.對于體積為V,并具有N個(gè)電子的金屬，其費(fèi)M波矢為_費(fèi)M能量為力2k2 力2(3兀2N\2/3TOC\o"1-5"\h\z￡=-F= I\o"CurrentDocument"F 2m 2m( Vj_（3兀2n丫3.對于體積為V,并具有N個(gè)電子的金屬，其費(fèi)M波矢為—kF=-V- -，費(fèi)M速度為力k 力（3冗2NV3v=-F= --FmmIV1.超導(dǎo)體最為根本的物理特征是具有邁斯納〈Meisser）效應(yīng)也就是說超導(dǎo)體除了具有完全導(dǎo)電性外，還具有完全抗磁性.金剛石結(jié)構(gòu)可看成是由兩套 fo-晶格沿體對角線平移口^體對角線長度相互穿套而成的復(fù)式格子。.金剛石結(jié)構(gòu)的晶胞包含一2—個(gè)原子，其基元由位于＜0,0,0）和（1/41/41/4＞—原子坐標(biāo)的兩個(gè)原子構(gòu)成。.氯化鈉結(jié)構(gòu)的晶胞包含一8—個(gè)離子，其基元由位于＜0,0,0）的鈉離子和（1/20,0＞的氯離子構(gòu)成。.一級相變在相變點(diǎn)處有潛熱，體系的自由能不連續(xù)變化；一級相變在相變點(diǎn)處無潛熱，體系的自由能連續(xù)變化，但其一階導(dǎo)數(shù)＜比熱）不連續(xù)變化。.晶格振動的愛因斯坦模型假定任何振動模式都具有的振動頻率，德拜模型則假定振動頻率與成正比。.晶格振動的愛因斯坦模型假定任何振動模式都具有的振動頻率，能近似描述的貢獻(xiàn)。.晶格振動的德拜模型假定振動頻率與成正比，能較好描述聲頻支的貢獻(xiàn)。.根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律，固體晶格振動熱容在高溫時(shí)趨近與溫度無關(guān)；低溫時(shí)偏離增大，與溫度的三為'成正比。.由于電磁感應(yīng)原理，所有的物質(zhì)都具有30^；其磁化率為很小的」血，并且與溫度幾乎無關(guān)。.鐵磁性物質(zhì)中原子不僅具有磁矩，同時(shí)磁矩之間還具有交換相互作用，因此在外磁場為零時(shí)，具有自發(fā)磁化。.根據(jù)費(fèi)M分布函數(shù) ，在一定溫度下，電子在費(fèi)M能級處的占據(jù)概率為一U2 。.原子磁矩在外磁場作用下的轉(zhuǎn)向表現(xiàn)為郎之萬順磁性；導(dǎo)電電子的自旋磁矩在外磁場作用下的轉(zhuǎn)向表現(xiàn)為回J順磁性；.一定溫度下，鐵磁性物質(zhì)的特征物理性質(zhì)由*—表征。高于居里溫度時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾判裕⒆駨木永锵Σ匪苟伞?鐵磁性物質(zhì)高于居里溫度時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾判?，并遵從居里處斯定律，居里溫度與交換相互作用強(qiáng)度成正比。.第二類超導(dǎo)體的相干長度小于磁場侵入長度，因此超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)的界面自由能為值，可形成渦旋混合態(tài)。.晶體衍射的必要條件是滿足RrG。方程，但由于系統(tǒng)消光，其中結(jié)構(gòu)因子為零的衍射不能被觀察到。二、論述題幾何結(jié)構(gòu)因子是如何表示的，它的物理意義如何？與哪些因素有關(guān)？答：結(jié)構(gòu)因子Fh反映一個(gè)晶胞對于＜HKL）布拉格（Brag＞衍射的衍射能力大小；資料資料.廠一個(gè)晶胞內(nèi)所有原子相干散射波的合成振幅a）y,F==feia^TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"HKL 一個(gè)電子相干散射波的振幅（a） je j=1=Efe*k「Efe-iaG-k.=ynfe—i2兀（Hx.+Ky,+Lz.）jjjj=1 j=1 j=1其大小取決于：1）晶胞內(nèi)原子種類、數(shù)目和分布2）衍射方向：2）衍射方向：ak=aG=Ha*+Kb*+Lc*根據(jù)結(jié)合力的不同，晶體可分為幾種類型？其各自的結(jié)合力分別是什么？答：1）離子晶體—正負(fù)離子間靜電庫侖力2）分子晶體—范德華力3）金屬晶體—電子云和原子實(shí)之間的靜電庫侖力4）共價(jià)晶體—共價(jià)鍵5）氫鍵晶體—?dú)滏I作用描述超導(dǎo)體的基本物理特征和重要物理參數(shù)，并從經(jīng)典電磁理論說明完美導(dǎo)體與超導(dǎo)體的根本區(qū)別。答：超導(dǎo)體具有如下四大基本物理特征1）零電阻—完全導(dǎo)體2）Meissner效應(yīng)—完全抗磁性3）Josephson效應(yīng)4）磁通量子化①0=（h/2e>超導(dǎo)體具有如下個(gè)重要物理參數(shù)：臨界溫度Tc、臨界磁場H~臨界電流密度Jc、相干長度1侵入長度履超導(dǎo)能隙A完美導(dǎo)體不具備完全抗磁性，而超導(dǎo)體具有完全抗磁性，此為兩者間最根本的區(qū)別。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：V7口一dBTOC\o"1-5"\h\zVxE -E VxE,若將超導(dǎo)體僅僅視為電阻率為零的完美導(dǎo)體，內(nèi)部電場強(qiáng)度必為零，其旋度 必為零，則磁場強(qiáng)度BB的時(shí)間變化率‘‘"亦必為零。因此完美導(dǎo)體內(nèi)部的磁場強(qiáng)度保持不變，根據(jù)外加磁場可為零或一定值；而對于超導(dǎo)體，無論外加磁場有無，在超導(dǎo)態(tài)其內(nèi)部磁場強(qiáng)度始終保持為零，具有完全抗磁性，其磁化率為-1。 ,試從熱力學(xué)的角度，說明第一類超導(dǎo)體和第二類超導(dǎo)體的基本區(qū)別。\o"CurrentDocument"1 j.從H2（自—九）答：超導(dǎo)體單位面積界面自由能為： 20c上式中自為超導(dǎo)相干長度，入為磁場侵入長度。對于第一類超導(dǎo)體，相干長度1大于磁場侵入長度3界面自由能為大于零的正值，不利于形成正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)共存的混合態(tài)，磁束量子無法穿透第一類超導(dǎo)體，因此第一類超導(dǎo)體只有一個(gè)臨界磁場，小于臨界磁場為超導(dǎo)態(tài)，大于臨界磁場為正常態(tài)。對于第二類超導(dǎo)體，相干長度1小于磁場侵入長度3,界面自由能為小于零的負(fù)值，磁束量子可以穿透第二類超導(dǎo)體，有利于形成正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)共存的混合態(tài)，因此第一類超導(dǎo)體具有上下兩個(gè)臨界磁場，小于下臨界磁場為超導(dǎo)態(tài)，大于上臨界磁場為正常態(tài)，在上下兩個(gè)臨界磁場之間為正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)共存的混合態(tài)。第一類超導(dǎo)體的臨界磁場一般較小,實(shí)際應(yīng)用受限。第二類超導(dǎo)體的上臨界磁場可以延伸至很大值,通過提高磁束量子的釘扎效應(yīng)就會具有很大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

5.在下圖中，試求:1）晶列ED,FD和OF5.在下圖中，試求:2）晶面AGE和FGIH的密勒指數(shù)。1門］1iJLJTOC\o"1-5"\h\z答：1）ED- FD- OF-（111） （201）2）AGE- FGIH- <6.請寫出圖（e>中的晶面ABC的密勒指數(shù)，6.請寫出圖（e>中的晶面ABC的密勒指數(shù)，B、C均為立方體的面心。圖e中晶面ABC密勒指數(shù).在固體物理中為什么要引入“倒格子空間”的概念?答：波的最主要的指標(biāo)是波矢K,波矢K的方向就是波傳播的方向，波矢的模值與波長成反比，波矢的量綱是1/m。討論晶體與波的相互作用是固體物理的基本問題之一。一般情況下晶體的周期性、對稱性等均在正空間描述，即在m的量綱中描述。為了便于討論晶體與波的相互作用，必須把二者放到同一個(gè)空間，同一坐標(biāo)系中來。我們的選擇是把晶體變換到量綱是1/m的空間即倒空間來，即把正空間晶體“映射”到倒空間，所以需引入倒空間。pKX2qx0n62引入“倒空間”的概念后，可以將晶面族特征用一個(gè)矢量綜合體現(xiàn)出來，矢量的方向代表晶面的法向，矢量的模值比例于晶面的面間距。用數(shù)學(xué)方法將晶體結(jié)構(gòu)中不同位向的晶面族轉(zhuǎn)化成了倒格子空間的倒格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)都表示了晶體中一族晶面的特征。pKX2qx0n62.波矢空間與倒格空間有何關(guān)系？為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是準(zhǔn)連續(xù)的？答：波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間，倒格空間的基矢分別為 ，而波矢空間的基矢分別為N1、N2、N3分別是沿正格子基矢 方向晶體的原胞數(shù)目.pKX2qxOn62倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積為波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積為

即波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積,是倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積的1/N.由于N是晶體的原胞數(shù)目，數(shù)目巨大,所以一個(gè)波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積與一個(gè)倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積相比是極其微小的.也就是說,波矢點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的.因此,在波矢空間內(nèi)作求和處理時(shí),可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的..簡述晶向指數(shù)和晶面指數(shù)的定義及確定步驟。答：晶向指數(shù)表示晶格中某平移矢量的方向，一般記為［uvw］,其中uvw為某平移矢量在三個(gè)晶軸上投影分量的最小整數(shù)比。確定步驟如下：1）建立坐標(biāo)系：以任一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)陣基本平移矢量為坐標(biāo)軸和坐標(biāo)軸上的單位矢量；2）通過坐標(biāo)原點(diǎn)引一直線，使其平行于待標(biāo)志的晶向；3）選取該直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；4）將三個(gè)坐標(biāo)值按比例化為最小整數(shù)，即為所求的晶向指數(shù)［uvw］。在結(jié)晶學(xué)中一般用（hkl＞來表示一組相互平行且等間距的晶面，hkl為該晶面在三個(gè)晶軸上截距倒數(shù)的最小整數(shù)比，（hkl＞稱為晶面指數(shù)或M勒指數(shù)。確定步驟如下：1）建立坐標(biāo)系：以任一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)陣基本平移矢量為坐標(biāo)軸和坐標(biāo)軸上的單位矢量；2）求出待標(biāo)志晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，截距大小分別以三個(gè)基矢長度為單位；3）取三個(gè)截距值的倒數(shù)，將其按比例化為互質(zhì)的最小整數(shù)比。.簡述倒易點(diǎn)陣的定義以及特點(diǎn)。答：倒易點(diǎn)陣是一種由晶體點(diǎn)陣按一定規(guī)則變換過來的虛點(diǎn)陣，對于解釋X射線和電子衍射極為有用。其定義如下：abc若, ,abc若, ,為某晶體點(diǎn)陣的基本平移矢量，cca*=cbCc_)b*a-bxC倒易點(diǎn)陣具有如下特點(diǎn)：cca*?a=b*?b=c*?c=1c cc1)a*?b=a*?c=b*?a=b*ca*b*c*則與之對應(yīng)的倒易點(diǎn)陣基本平移矢量 , , 為：ccxa c axba-bxc， a-bxc>c?c=c*?a=c*-b=0；2）正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣一一對應(yīng)，且互為倒易；正點(diǎn)陣的晶胞體積和倒易點(diǎn)陣的晶胞體積互為倒數(shù)資料資料.v'V*=a*.b*xi*；V=a.bxiv'3）倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)代表了正點(diǎn)陣中的一個(gè)同指數(shù)晶面，此晶面的法線就是該倒易點(diǎn)矢量，該倒易點(diǎn)矢量的模等于對應(yīng)晶面間距dhkl的倒數(shù)。r*=ha*+kb*+1c*hkl.聲子有哪些性質(zhì)？答：聲子的性質(zhì)有：聲子是量子諧振子的能量量子；3NS格波與3NS個(gè)量子諧振振子一一對應(yīng)；聲子為玻色子；平衡態(tài)時(shí)聲子是非定域的；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"士0出生力匕口,一一4方3 +方3 =方3 %q +力q =力（q +G）聲子是準(zhǔn)粒子，遵循能量守恒定律1 2 3和準(zhǔn)動量選擇定則q1q2 q3 h；1非熱平衡態(tài)，聲子擴(kuò)散伴隨著熱量傳導(dǎo)；平均聲子數(shù)n一e 二1。kkT.什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？答：為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時(shí)，將原子間互作用力的泰勒級數(shù)中的非線形項(xiàng)忽略掉的近似稱為簡諧近似.在簡諧近似下，由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動.每個(gè)諧振子的振動模式稱為簡正振動模式，它對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動，它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式.原子的振動,或者說格波振動通常是這3N個(gè)簡正振動模式的線形迭加.簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事,這個(gè)數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和，即等于3N..長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別?答：長光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對振動,振動頻率較高,它包含了晶格振動頻率最高的振動模式.長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移,原胞做整體運(yùn)動,振動頻率較低,它包含了晶格振動頻率最低的振動模式,波速是一常數(shù).任何晶體都存在聲學(xué)支格波,但簡單晶格（非復(fù)式格子＞晶體不存在光學(xué)支格波..簡述杜隆-珀替定律。答：在高溫條件下，晶體中的原子運(yùn)動按照經(jīng)典物理的力學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法來描述，晶體有N個(gè)原胞，每個(gè)原胞有r個(gè)原子，故有3rN個(gè)簡正模U=3rNkTC=3rNk式，其內(nèi)能為 B，定容比熱為v B，即高溫晶格比熱是一常量，與溫度無關(guān)，與物質(zhì)元素也無關(guān)這個(gè)就是杜隆-珀替定律。.金屬的比熱包括幾部分，分別和溫度有什麼聯(lián)系？答：金屬的比熱有晶格震動的貢獻(xiàn)和電子氣的貢獻(xiàn)兩個(gè)部分，在低溫下晶格振動比熱按德拜 T3規(guī)律變化，電子氣的貢獻(xiàn)和溫度成正比。

C=C+C=7T+bT3VeL三、證明題和計(jì)算題1. 某物質(zhì)具有具有簡單立方晶格，其晶格常數(shù)。=3.000%試確定該物質(zhì)的粉末X射線衍射圖中最初三條衍射線的Bragg角<2。）和相應(yīng)的晶面間距和衍射指數(shù)?！匆阎肷鋁射線波長％『1.540A）解：根據(jù)Bragg方程:2d sin。=入HKL=2arcsinI1.54=2arcsinI1.542dHKL20=2arcsin \2dHKL若0取最低值，則dHKL應(yīng)為最大值根據(jù)立方晶系的晶面間距公式:a3d=. =HKL H22+K2+L2 HH2+K2+L2若dHKL取最大值，則H2+K2+L2應(yīng)為最小值，因此最初三條衍射線的Bragg角<20）、相應(yīng)的晶面間距和衍射指數(shù)分別為：1>（100> d]00=3A 20=29.7。2>（]]0> d]]0=2.12A20=42.6。3>（]]]> d]]]=1.73A20=52.9。2.已知a-Fe屬立方晶系，點(diǎn)陣參數(shù)。=2.866入。如用Cr0X射線<人=2.291A）照射，試求1]0）及<2]]）晶面可發(fā)生衍射的掠射角0。解：根據(jù)立方晶系的晶面間距公式：dHKLaHi2+dHKLaHi2+K2+L2d110d2112.866

~J2

2.866

七6=2.026=1.170又根據(jù)Bragg方程:資料資料.資料資料.2d sin0=入HKL0=arcsin一 (2291A0=arcsin =34.3°110 \2x2.026)(2.291A0=arcsin =78.3°211 \2x1.17).銅靶發(fā)射入=0.154nm的X射線入射鋁單晶〈面心立方結(jié)構(gòu)），如鋁＜111）面一級布拉格反射角e=19.2°,試據(jù)此計(jì)算鋁＜111）面族的面間距d與鋁的晶格常數(shù)a。7n入解：由布拉格定律：2dsin6=n\，可知:解：由布拉格定律：2dsin6=n\，可知:2sin0有題目可知：n=1,入=0.154nm,0=19.2°所以：1x所以：1x0.1542xsin19.2°=0.234(nm)鋁＜111）面族的面間距d=0.234nm,鋁＜111）面的方向?yàn)槊嫘牧⒎浇Y(jié)構(gòu)的體對角線方向，貝ij：a=d=<3x0,234=0.405(nm).說明原子散射因子f和結(jié)構(gòu)因子FHKL的物理意義。并據(jù)此推導(dǎo)體心立方晶格的系統(tǒng)消光規(guī)律。答：原子散射因子f表示一個(gè)原子對于X射線散射能力的大小，定義為某散射方向上一個(gè)原子的散射波振幅與一個(gè)電子散射波振幅的比值。A（一個(gè)原子相干散射波的合成振幅） （sin0AfaffA（一個(gè)電子相干散射波的振幅） 」［九）e原子散射因子f是sin0〃的函數(shù)，隨散射角0增加和波長變短而減少；在sin0〃=。處，原子散射因子f等于其原子序數(shù)Z，在其他方向上總是小于原子序數(shù)Z。結(jié)構(gòu)因子fhkl表示一個(gè)晶胞對于X射線散射能力的大小，定義為某散射方向上一個(gè)晶胞的散射波振幅與一個(gè)電子散射波振幅的比值。

FHKLA（一個(gè)原子相干散射波的合成振幅）b FHKLA（一個(gè)原子相干散射波的合成振幅）b ―—- A（一個(gè)電子相干散射波的振幅）ej=1=^^ifei2兀（Hx：+Kyj+Lz,）j ...j=1衍射強(qiáng)度正比于結(jié)構(gòu)因子Fhkl的平方，表征了晶胞內(nèi)原子種類、原子數(shù)量、原子位置對于（HKL＞晶面衍射強(qiáng)度的影響。pKX2qx0n62體心立方晶格包含二個(gè)同類原子其原子坐標(biāo)分別為＜0,0,0）和＜1/21/2，1/2）代人上式可得：FHKLF=2f;FHKL因此對于體心立方晶格只出現(xiàn)H+K+L為偶數(shù)的衍射H+K+L為奇數(shù)的衍射系統(tǒng)消光。5.說明原子散射因數(shù) 、結(jié)構(gòu)因數(shù)F的物理意義。并據(jù)此推導(dǎo)面心立方晶格的系統(tǒng)消光規(guī)律。面心立方晶格包含四個(gè)同類原子，其原子坐標(biāo)分別為＜0,0,0）和＜1/2，1/2，0），＜1/2，0，1/2），＜0，1/2,1/2），代入上式可得:因此對于體心立方晶格只出現(xiàn)H+K+L為偶數(shù)的衍射H+K+L為奇數(shù)的衍射系統(tǒng)消光。5.說明原子散射因數(shù) 、結(jié)構(gòu)因數(shù)F的物理意義。并據(jù)此推導(dǎo)面心立方晶格的系統(tǒng)消光規(guī)律。面心立方晶格包含四個(gè)同類原子，其原子坐標(biāo)分別為＜0,0,0）和＜1/2，1/2，0），＜1/2，0，1/2），＜0，1/2,1/2），代入上式可得:pKX2qx0n62FHKL+e兀ih+k）+e兀ih+l）+e兀ik+l］當(dāng)H,K,L同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)HKL=4f當(dāng)H,K,L當(dāng)H,K,L奇偶混雜時(shí)FHKL=0即面心立方晶格只出現(xiàn)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)晶面的衍射。6.利用德拜＜Debye）模型推導(dǎo)一維簡單晶格的比熱。一維單式晶格的q點(diǎn)密度為公ds區(qū)間格波數(shù)為：ds區(qū)間格波數(shù)為：g（ffl＞drn=22兀dq=1d3 L = d3兀dwwq所以一維單式晶格的格波密度函數(shù)：g（s＞=一iL^JPkT＜-B-K,由德拜模型可知，只有3 %的格波才能被激發(fā)，已激發(fā)的格波數(shù)為;K,/㈠Lg（3）d3= 兀U

P

力3在極低溫度下，一維單式格子主要是長聲波激發(fā)，對滿足＜＜1的格波能量為kbt。LK2T2此時(shí)晶格的內(nèi)能為:U=4KT=——,^-此時(shí)晶格的內(nèi)能為:B冗vp則晶格熱容為:LK2T2 B——兀UP7.證明正交晶系7.證明正交晶系（hkl＞晶面族的晶面間距d1hkld8.證明立方晶系d8.證明立方晶系（hkl＞晶面族的晶面間距\k1hklhh2+k2+12證：~ZTZa,bbcc對于正交晶系，晶胞基矢 相互垂直，但晶格常數(shù)i,i,j,k設(shè)沿晶軸的單位矢量分別為則正格子基矢為:倒格子基矢為:j倒格子基矢為:j,c*與晶面族正交的倒格矢為:-ha-ha*-+kb*+1c*由晶面間距與倒格矢的關(guān)系式:hkl由晶面間距與倒格矢的關(guān)系式:hkldhkldhklKhkl得:hkl(k)2

+VbJhkl9.試推導(dǎo)自旋量子數(shù)S=1/2原子體系順磁性的居里定律。證：S=1/2貝i1ms=+1/2,-1/2,g=2則原子磁矩為：資料資料.原子磁矩在磁場方向的分量為：R=-gRm=±RZ Bs B磁場中的原子能級為：U=-口-B=-uB=+RBZ B設(shè)單位體積中原子個(gè)數(shù)為N,N為低能級上的原子數(shù)，N2為高能級上的原子數(shù)，則在上述兩個(gè)能級上的原子占據(jù)比例分別為：RBx—Z

令 ~kT~NexN e-xi— i— Nex+e-xNex+e-x；單位體積總磁化強(qiáng)度M為：ex—e-xM—(N-N)R=NR-=NR-tanhx1 2ZZex+e-x Zx="zB?1 tanhxxx若kT ，則M=NrrBM=NrZZkT10.試從布拉格（Brag＞方程出發(fā)，導(dǎo)出勞埃＜Laue）方程。證:2dsin0=n九證:h(dhbh(dhbsi2b23k+G=kklksin0—G/2一—?a?ak=2兀hi-11.計(jì)算三價(jià)Fe3+離子＜3d5）的總自旋量子數(shù)不總、軌翼kL^、吃量量量左數(shù)人g因子以及離子有效磁矩P#PKX2qx0n622.解：Fe3+—3d5組態(tài)： _^根據(jù)洪德＜Hund）規(guī)則，基態(tài)電子排布為:a?ak=2兀i, 1m +2 +1 20 -1 -2T因此：總自旋量子數(shù)S=5/2總軌道量子數(shù)L=0總角動量量子數(shù)J=5/2g因子為：J(J(J+1)+s(S+1)—L(L+1)。g=1+ =22J(J+1)pKX2qx0n62離子有效磁矩Peff為:Peff=gJJ(J+1)口B=5.92口12.計(jì)算三價(jià)EU3+離子⑷6＞的總自旋量子數(shù)S、總軌道量子數(shù)L、總角動量量子數(shù)J、g因子以及離子有效磁矩Peff。pKX2qx0n62解：Eu3+----4f5組態(tài):m+3+2+10-1-2-3根據(jù)洪德＜Hund）規(guī)則，基態(tài)電子排布為:因此：總自旋量子數(shù)S=3總軌道量子數(shù)L=3總角動量量子數(shù)J=0g因子為：1 J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)1g=1+ =12J(J+1)pKX2qx0n62離子有效磁矩Peff為：P=gJ(J+1)口=0口effV BB13.已知銀是單價(jià)金屬，費(fèi)M面近似為球形，銀的密度p=10.5x103kg.m-3,原子量A=107.87,試計(jì)算0K時(shí)銀的費(fèi)M波矢kF,費(fèi)M能EF,費(fèi)M溫度TF和費(fèi)M速度VF。(■=1.05X10-34J?s；k=1.38X10-23J?K-1;m=9.1x1031Kg)解:10.5 - -一n=x106x6.023x1023=5.86x1028/m3107.87(2分)k=(3k2n)/3=1.2x1010m-(2分)FE=」(3兀2n}/3=8.7x10-19J=5.5eV(2分)F2mTOC\o"1-5"\h\zT=&=6.3x104K (2分)kv=—口=1.38x106m/s (2分)FmpKX2qx0n62.利用布」［i式，的—中母波函數(shù)—:pKX2qx0n62K K K a求電子在這些狀態(tài)的波矢K(a為晶格常數(shù)〉V(x+a)=u(x+a)eik(%+a)kku(x+a)=u(x)kkV(x)=u(x)eikxkksin1(sin1(x+a)=sina(兀_x+兀Ia?兀=-sin—x

asin1(x+a)=eikasin1x

a aeika=-1ka=兀.在指定立方體中用陰影畫出的四個(gè)相應(yīng)得晶面;、立方體的邊長為a,三個(gè)坐標(biāo)的正方向已經(jīng)標(biāo)出。10<a>(101>; <b>(021>; <c> ;(d>

.證明立方晶系（hkl＞晶面族的晶面指數(shù)dhkla—b—c證：對于立方晶系，晶胞基矢 相互垂直，晶格常數(shù)44—i,j,kTOC\o"1-5"\h\z設(shè)沿晶軸的單位矢量分別為 ，則正格子基矢為:―— 倒格子基矢為:a=a,b=aj,c=ak倒格子基矢為: 2兀2兀2兀\o"CurrentDocument"a*= i,b*= j,c*= ka a a與晶面族"l，正交的倒格矢為：K=ha*+kb*+1C*hki由晶面間距與倒格矢的關(guān)系式：2兀d=hkikhkl得：dhkl[32Idhkl[32Ia)+fk]2Ia)+[i]2Ia)hh2+k2+1217.試從勞埃＜Laue）17.試從勞埃＜La