2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第六章立體幾何第六講空間坐標(biāo)系與空間向量課件

第六講空間坐標(biāo)系與空間向量課標(biāo)要求考情分析1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，能判斷向量的共線.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的垂直本講是空間向量的基礎(chǔ)內(nèi)容，涉及空間直角坐標(biāo)系、空間向量的有關(guān)概念、定理、公式及四種運(yùn)算等內(nèi)容.一般不單獨(dú)命題，常以簡(jiǎn)單幾何體為載體，以解答題的形式出現(xiàn)，考查平行、垂直關(guān)系的判斷和證明及空間角的計(jì)算，解題要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力1.空間向量的概念在空間，既有大小又有方向的量，叫做空間向量，記2.空間向量的運(yùn)算(3)數(shù)乘向量：λa(λ∈R)仍是一個(gè)向量，且λa與a共線，|λa|＝|λ||a|.(4)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b是一個(gè)實(shí)數(shù).3.空間向量的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)一般不成立].(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】

(3)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

(4)用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍離不開(kāi)立體幾何中的定理.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.題組一走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()(3)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.()(4)若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角.())(5)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.(答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×題組二走進(jìn)教材2.(教材改編題)若直線l的一個(gè)方向向量為a＝(2,5,7)，平面α的一個(gè)法向量為u＝(1,1，－1)，則()

B.l⊥αD.l與α斜交A.l∥α或l?αC.l?α答案：A3.(教材改編題)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k值是()答案：D

題組三真題展現(xiàn)

4.(2019年上海)已知向量

a＝(1,0,2)，b＝(2,1,0)，則a與b的夾角為_(kāi)_______.

考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)圖6-6-1答案：D圖D51答案：ABC考點(diǎn)二共線定理、共面定理的應(yīng)用[例1]如圖6-6-2，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).圖6-6-2(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：BD∥平面EFGH.由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.圖6-6-3平面EFGH，

所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD所以BD∥平面EFGH.【題后反思】證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較【變式訓(xùn)練】圖6-6-4

考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

[例2]如圖6-6-5所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn). (1)求證：EG⊥AB； (2)求EG的長(zhǎng)； (3)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.圖6-6-5【題后反思】

(1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過(guò)向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置. (2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角.(3)可以通過(guò)|a|＝

，將向量的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問(wèn)題求解.【變式訓(xùn)練】圖6-6-6考點(diǎn)四向量法證明平行、垂直

[例3]如圖6-6-7所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角.求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.圖6-6-7

證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖6-6-8所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.圖6-6-8∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，【題后反思】(1)用向量證明平行的方法

①線線平行，只需證明兩直線的方向向量是共線向量； ②線面平行，證明直線的方向向量能用平面的兩個(gè)基底表示，或證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；③面面平行，證明兩平面的法向量是共線向量.(2)用向量證明垂直的方法①線線垂直，只需證明兩直線的方向向量互相垂直；②線面垂直，證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；③面面垂直，證明兩平面的法向量互相垂直.【變式訓(xùn)練】圖6-6-9

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖D52所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.圖D52設(shè)AB＝2，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0,2,2).⊙用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問(wèn)題

[例4]如圖6-6-10，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.圖6-6-10面BCEF？若存在，求出(1)求證：AC⊥BF；(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖6-6-11

假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，【題后反思】解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本方法(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.

(2)探索性問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)：①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x，y，z)；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)為0，如xOy面上的點(diǎn)為(x，y,0)；③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)為0，如z軸上【高分訓(xùn)練】1.(2021年泰安一模)如圖6-6-12，在三棱錐

P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2，E，G分別為PC，PA的中點(diǎn). (1)求證：平面BCG⊥平面PAC； (2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)N，使PN⊥BE？證明你的結(jié)論.圖6-6-12(1)證明：∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PB，又AB⊥BC，AB∩BP＝B，∴BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥PA.又AB＝PB＝2，△PAB為等腰直角三角形，G為斜邊PA的中點(diǎn)，∴BG⊥PA，又BG∩BC＝B，∴PA⊥平面BCG，又PA?平面PAC，∴平面BCG⊥平面PAC.

(2)解：如圖D53，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0,0)，圖D53

2.(2021年桂林模擬