人教版2021中考數(shù)學(xué)總復(fù)習 第46講 中考壓軸解答題專練-代數(shù)與幾何綜合題課件

第46講中考壓軸解答題專練(3)——代數(shù)與幾何綜合題第46講中考壓軸解答題專練(3)技巧突破

類型一：

函數(shù)與幾何綜合題【例1】（2019·新疆）如圖3-46-1，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（0，4）三點.（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）將（1）中的拋物線向下平移個單位長度，再向左平移h（h＞0）個單位長度，得到新拋物線.若新拋物線的頂點D′在△ABC內(nèi)，求h的取值范圍；技巧突破類型一：函數(shù)與幾何綜合題【例1】（2012（3）點P為線段BC上一動點（點P不與點B，C重合），過點P作x軸的垂線交（1）中的拋物線于點Q，當△PQC與△ABC相似時，求△PQC的面積.（3）點P為線段BC上一動點（點P不與點B，C重合），過點P3解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x+1）（x-4）＝a（x2-3x-4）.將C（0，4）代入，得-4a＝4.解得a＝-1.故拋物線的解析式為y＝-x2+3x+4=∴頂點D解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x+1）（x-4）＝a（x24（2）拋物線向下平移個單位長度，再向左平移h（h＞0）個單位長度，得到新拋物線的頂點D′由題意，得直線BC的表達式為y=-x+4,直線AC的表達式為y＝4x+4.當點D′在直線BC上時，

+4.解得h=0.當點D′在直線AC上時,得+4.解得h＝∵點D′在△ABC內(nèi)，∴0＜h＜（2）拋物線向下平移個單位長度，再向左平移h（h＞0）5（3）如答圖3-46-1，過點P作y軸的平行線分別交拋物線和x軸于點Q，H.∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，直線BC的表達式為y＝-x+4.則AB＝5，BC＝4AC＝（3）如答圖3-46-1，過點P作y軸的平行線分別交拋物線和6S△ABC＝×5×4＝10.設(shè)點Q（m，-m2+3m+4）（0<m<4），點P（m，-m+4），則CP＝m，PQ＝-m2+3m+4-(-m+4)＝-m2+4m.①當△CPQ∽△CBA時，解得m1=0(舍去)，m2＝S△ABC＝×5×4＝10.7②當△CPQ∽△ABC時，解得m3=0(舍去)，m4=利用面積比等于相似比的平方可得，S△PQC＝②當△CPQ∽△ABC時，8類型二:

變換綜合題【例2】(2020·菏澤）如圖3-46-3①，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA=OC，OB=OD+CD．（1）過點A作AE∥DC交BD于點E，求證：AE=BE；（2）如圖3-46-3②，將△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求證：BD′∥CD；②若AD′∥BC，求證：CD2=2OD·BD．類型二:變換綜合題【例2】(2020·菏澤）如9（1）證明：∵AE∥DC，∴∠CDO=∠AEO，∠EAO=∠DCO.又∵OA=OC，∴△AOE≌△COD（AAS）.∴CD=AE，OD=OE.∵OB=OE+BE，OB=OD+CD，∴BE=CD.∴AE=BE.（1）證明：∵AE∥DC，10（2）①證明：如答圖3-46-2，過點A作AE∥DC交BD于點E.由（1）可知，△AOE≌△COD，AE=BE，∴∠ABE=∠BAE.∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD′，∴∠ABD′=∠ABD.∴∠ABD′=∠BAE.∴BD′∥AE.又∵AE∥CD，∴BD′∥CD．（2）①證明：如答圖3-46-2，過點A作AE∥DC交BD于11②證明：如答圖3-46-3，過點A作AE∥DC交BD于點E，延長AE交BC于點F.∵AD′∥BC，∴∠D′AB=∠ABC.由翻折可知∠D′AB=∠DAB，∴∠ABC=∠DAB.∵AE=BE，∴∠EAB=∠ABD.∴∠ABC－∠ABD=∠DAB-∠EAB.∴∠DBC=∠DAE.∵AE∥DC，∴∠AED=∠CDB.∴△ADE∽△BCD.∴

由①知AE=CD，OD=EO，∴DE=2OD.∴CD2=2OD·BD．②證明：如答圖3-46-3，過點A作AE∥DC交BD于點E，12【例3】如圖3-46-5，已知A,B兩點的坐標分別為（40，0）和（0，30），動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個單位長度的速度向原點O運動,動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E,F，連接EP,FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為ts.（1）當t＝15時，求△PEF的面積；（2）直線EF，點P在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由;（3）當t為何值時，△EOP與△BOA相似.【例3】如圖3-46-5，已知A,B兩點的坐標分別為（40，13解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF＝∠BOA.又∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BOA.∴∵OA=40,OB=30，則當t＝15時，OE＝BE＝15.∴EF=

=20.∴S△PEF＝EF·OE＝×20×15=150.解：（1）∵EF∥OA，14（2）∵△BEF∽△BOA，∴EF=令

×t=160，整理，得t2-30t+240＝0.∵Δ＝302-4×1×240＝-60＜0，∴方程沒有實數(shù)根.∴不存在使得△PEF的面積等于160的t值.（2）∵△BEF∽△BOA，15（3）①當∠EPO＝∠BAO時，△EOP∽△BOA，∴解得t＝12；②當∠EPO＝∠ABO時，△EOP∽△AOB，∴解得t=∴當t＝12或t=

時，△EOP與△BOA相似.（3）①當∠EPO＝∠BAO時，△EOP∽△BOA，16變式診斷1.（2019·廣東）如圖3-46-2①，在平面直角坐標系中，拋物線y＝

與x軸交于點A，B（點A在點B右側(cè)），點D為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點A恰好旋轉(zhuǎn)到點F，連接BE．（1）求點A，B，D的坐標；（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；變式診斷1.（2019·廣東）如圖3-46-2①，在平面直17（3）如圖3-46-2②，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標；②直接回答這樣的點P共有幾個.（3）如圖3-46-2②，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點18解：（1）令解得x1＝1，x2＝-7．∴A（1，0），B（-7，0）．由

（x+3）2-2得D（-3，-2）.解：（1）令19（2）證明：過點D作DD1⊥x軸于點D1.∴∠DD1F＝∠COF＝90°.∵∠DFD1＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF.∴∵D（-3，-2），∴D1D＝2，OD1＝3.∵AC＝CF，CO⊥AF,∴OF＝OA＝1.∴D1F＝OD1-OF＝3-1＝2.∴

∴C(0,).∴CA＝CF＝FA＝2.（2）證明：過點D作DD1⊥x軸于點D1.20∴△ACF是等邊三角形.∴∠AFC＝∠ACF.∵△CAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，∴∠ECF=∠DCA＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF.∵EC＝DC＝

＝6，BF＝OB-OF=7-1=6，∴EC＝BF.∴四邊形BFCE是平行四邊形.∴△ACF是等邊三角形.∴∠AFC＝∠ACF.21（3）①∵點P是拋物線上一動點，∴設(shè)PⅠ.如答圖3-46-4,當點P在點B的左側(cè)時，m<-7.∵△PAM與△DD1A相似，（3）①∵點P是拋物線上一動點，22解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-11或m1＝1（不合題意，舍去）,m2＝解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-1123Ⅱ.如答圖3-46-5,當點P在點A的右側(cè)時，m>1.∵△PAM與△DD1A相似，Ⅱ.如答圖3-46-5,當點P在點A的右側(cè)時，m>1.24解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）或m1＝1（不合題意，舍去），m2＝

（不合題意，舍去）；解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）25Ⅲ.如答圖3-46-6，當點P在AB之間時，-7<m<1.∵△PAM與△DD1A相似，Ⅲ.如答圖3-46-6，當點P在AB之間時，-7<m<1.26解得m1＝1（不合題意,舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）或m1＝1（不合題意,舍去），m2＝綜上所述，點P的橫坐標為-11或②一共存在三個點P，使得△PAM與△DD1A相似．解得m1＝1（不合題意,舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）272.(2020·濰坊）如圖3-46-4①，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=+1，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=1，連接DE．現(xiàn)將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），如圖3-46-4②，連接CE，BD，CD．（1）當0°＜α＜180°時，求證：CE=BD；（2）如圖3-46-4③，當α=90°時，延長CE交BD于點F，求證：CF垂直平分BD；2.(2020·濰坊）如圖3-46-4①，在△ABC中，∠A28（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)29（1）證明：根據(jù)題意可知，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD.在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS）.∴CE=BD.AC=AB,∠CAE=∠BAD,AE=AD,（1）證明：根據(jù)題意可知，AB=AC，AC=AB,30（2）證明：由（1）可知，△ACE≌△ABD，∴∠ACE=∠ABD.∵∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90°.∴∠EFB=90°，即CF⊥BD.∵AB=AC=+1，AD=AE=1，（2）證明：由（1）可知，31∠CAB=∠EAD=90°，∴BC=AB=+2，CD=AC+AD=+2.∴BC=CD.又∵CF⊥BD，∴CF垂直平分BD.∠CAB=∠EAD=90°，32（3）解：在△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時，△BCD的面積有最大值.∴當點D在線段BC的垂直平分線上時，△BCD的面積取得最大值，如答圖3-46-7.∵AB=AC=+1，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90°，DG⊥BC于點G，（3）解：在△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最33∴AG= ∠GAB=45°.∴DG=AG+AD=∠DAB=180°-45°=135°.∴△BCD的面積的最大值為BC·DG＝×(+2)× 旋轉(zhuǎn)角α=135°．∴AG= ∠GAB=45°.343.(2016·長春改編)如圖3-46-6，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=8，∠BAD=60°.點E從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點E不與點A重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作EG∥AD交AC于點G，過點G作GH⊥AD交AD（或AD的延長線）于點H，得到矩形EFHG.設(shè)點E運動的時間為ts.（1）求線段EF的長；（用含t的代數(shù)式表示）（2）求點H與點D重合時t的值；（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.3.(2016·長春改編)如圖3-46-6，在菱形ABC35解：（1）由題意知AE=2t，0≤t≤4.∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，∴sin∠BAD=∴EF=t.解：（1）由題意知AE=2t，36（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t.當點H與點D重合時，此時FH=8-t，∴GE=8-t.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC=30°.∵EG∥AD，∴∠EGA=∠DAC=30°.∴∠BAC=∠EGA=30°.∴AE=EG.∴2t=8-t.∴t=（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t.37（3）①當0＜t≤

時，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，∴由（2）可知EG=AE=2t.∴S=EF·EG=t·2t=2t2.（3）①當0＜t≤ 時，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部38②當＜t≤4時，如答圖3-46-8，設(shè)CD與HG交于點I，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分的圖形為五邊形FEGID.∵AE=2t，∴AF=t，EF=t.∴DF=8-t.∵AE=EG=FH=2t，∴DH=2t-（8-t）=3t-8.②當＜t≤4時，如答圖3-46-8，設(shè)CD與HG交于點39∵∠HDI=∠BAD=60°，∴tan∠HDI=∴HI=DH=(3t-8).∴S=EF·EG-DH·HI=2t2-·（3t-8）2=∵∠HDI=∠BAD=60°，40強化訓(xùn)練4.（2016·河西二模）如圖3-46-7①，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分別以O(shè)A,OB邊所在的直線建立平面直角坐標系，D點為x軸正半軸上的一點，以O(shè)D為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ODE.強化訓(xùn)練4.（2016·河西二模）如圖3-46-7①，41(1)如圖3-46-7①,當點E恰好落在線段AB上時，求點E的坐標；(2)若點D從原點出發(fā)沿x軸正方向移動，設(shè)點D到原點的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，當點E到達△AOB的外面，且點D在點B左側(cè)時，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)在(1)的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移，如圖3-46-7②，圖中是否存在一條與線段OO′始終相等的線段？如果存在，請直接指出這條線段；如果不存在，請說明理由.(1)如圖3-46-7①,當點E恰好落在線段AB上時，求點E42解：(1)如答圖3-46-9，過點E作EH⊥OB于點H.∵△OED是等邊三角形，∴∠EOD=60°.又∵∠ABO=30°，∴∠OEB=90°.∵BO=4，∴OE=OB=2.∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°，∴OH=1，EH=∴E(1，).解：(1)如答圖3-46-9，過點E作EH⊥OB于點H.43(2)∵點E在△AOB的外面，且點D在點B左側(cè)，∴當2＜x＜4時，符合題意.如答圖3-46-10，所求重疊部分四邊形OD′NE的面積為y=S△OD′E′-S△E′EN=

x2-E′E·EN=x2-(x-2)=x2+2x-2(2<x<4).(2)∵點E在△AOB的外面，且點D在點B左側(cè)，44(3)存在線段EF=OO′.∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，∴∠ABO=∠DFB=30°.∴DF=DB.∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=DE－DF=EF.(3)存在線段EF=OO′.455.（2018·貴港）如圖3-46-8，已知A，B兩點在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM.將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點P．5.（2018·貴港）如圖3-46-8，已知A，B兩點在直線46（1）當P與O重合時（如圖3-46-8②），設(shè)點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；（2）請利用如圖3-46-8①所示的情形，求證：（3）若AO=2且當MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長．（1）當P與O重合時（如圖3-46-8②），設(shè)點C是AO的中47（1）證明:∵2BM=AO，2CO=AO,∴BM=CO.∵AO∥BM，∴四邊形OCBM是平行四邊形.∵∠BMO=90°，∴OCBM是矩形.∵∠ABP=90°，C是AO的中點，∴OC=BC.∴矩形OCBM是正方形．（1）證明:∵2BM=AO，2CO=AO,48（2）證明:如答圖3-46-11,連接AP，OB.∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A，B，O，P四點共圓.由圓周角定理可知∠APB=∠AOB.∵AO∥BM，∴∠AOB=∠OBM.∴∠APB=∠OBM.∴△APB∽△OBM.∴（2）證明:如答圖3-46-11,連接AP，OB.49（3）解：①當點P在點O的左側(cè)時，如答圖3-46-12，過點B作BD⊥AO于點D，設(shè)OA與BP交于點E.易證△PEO∽△BED，∴易證四邊形DBMO是矩形，∴BD=MO，OD=BM.又∵MO=2PO=BD,∴（3）解：①當點P在點O的左側(cè)時，如答圖3-46-12，過點50∵AO=2BM=2

∴BM=∴OE=易證△ADB∽△ABE，∴AB2=AD·AE.∵AD=DO=BM=∴AE=AD+DE=∴AB=由勾股定理可知∴OM=2,PO=1,PM=3.∴PB=∵AO=2BM=2 ∴BM=51②當點P在點O的右側(cè)時，如答圖3-46-13，過點B作BD⊥OA于點D.∵MO=2PO，∴點P是OM的中點.設(shè)PM=x，則OM=2x.又易證四邊形ODBM是矩形，且AO=2BM，∴BD=OM=2x,AD=BM=∵∠AOP=∠ABP=90°，∴A，O，P，B四點共圓.②當點P在點O的右側(cè)時，如答圖3-46-13，過點B作BD⊥52∴四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形.∴∠BPM=∠A.∴△ABD∽△PBM.∴∴BD=2x=2由勾股定理得AB=3PB=3.綜上所述，AB=PB=或AB=3PB=3.∴四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形.536.(2020·廣東）如圖3-46-9，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C，D，BC＝CD．6.(2020·廣東）如圖3-46-9，拋物線y＝54（1）求b，c的值；（2）求直線BD的函數(shù)解析式；（3）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上．當△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．（1）求b，c的值；55解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴點B（3，0），點A（-1，0）.∴拋物線解析式為y＝∴b＝

c＝解：（1）∵BO＝3AO＝3，56（2）如答圖3-46-14，過點D作DE⊥x軸于點E.∴CO∥DE.∴∵BC＝CD，BO＝3，∴

即OE＝∴點D的坐標為（+1）.設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y＝kx+b.由題意，得解得∴直線BD的函數(shù)解析式為y＝x+

+1=－k+b,0=3k+b.（2）如答圖3-46-14，過點D作DE⊥x軸于點E.∴CO57（3）∵點B（3，0），點A（-1，0），點D（

+1），∴AB＝4，AD＝2BD＝2+2，對稱軸為直線x＝1.∵直線BD：

與y軸交于點C，∴點C（0，），即OC＝∵tan∠CBO＝

∴∠CBO＝30°.答圖3-46-15，過點A作AK⊥BD于點K.∴AK＝AB＝2.∴DK＝＝2.∴DK＝AK.∴∠ADB＝45°.（3）∵點B（3，0），點A（-1，0），點D（ +1），58如答圖3-46-16，設(shè)對稱軸與x軸的交點為N，即點N（1，0），①若∠PBO＝∠CBO＝30°，則BN＝PN＝2，BP＝2PN.∴PN＝

BP＝當△BPQ∽△BAD時，∴BQ＝

∴點Q如答圖3-46-16，設(shè)對稱軸與x軸的交點為N，即點N（1，59當△BPQ∽△BDA時，②若∠PBO＝∠ADB＝45°，則PN＝BN＝2，BP＝BN＝2當△BPQ∽△DAB時，∴BQ＝2

+2.∴點Q（1-2，0）；當△BPQ∽△BDA時，60當△BPQ∽△DBA時，

-2.∴點Q（5-2，0）.綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為或（1-20）或（5-20）．當△BPQ∽△DBA時，61

謝謝謝謝62第46講中考壓軸解答題專練(3)——代數(shù)與幾何綜合題第46講中考壓軸解答題專練(3)技巧突破

類型一：

函數(shù)與幾何綜合題【例1】（2019·新疆）如圖3-46-1，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（0，4）三點.（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）將（1）中的拋物線向下平移個單位長度，再向左平移h（h＞0）個單位長度，得到新拋物線.若新拋物線的頂點D′在△ABC內(nèi)，求h的取值范圍；技巧突破類型一：函數(shù)與幾何綜合題【例1】（20164（3）點P為線段BC上一動點（點P不與點B，C重合），過點P作x軸的垂線交（1）中的拋物線于點Q，當△PQC與△ABC相似時，求△PQC的面積.（3）點P為線段BC上一動點（點P不與點B，C重合），過點P65解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x+1）（x-4）＝a（x2-3x-4）.將C（0，4）代入，得-4a＝4.解得a＝-1.故拋物線的解析式為y＝-x2+3x+4=∴頂點D解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x+1）（x-4）＝a（x266（2）拋物線向下平移個單位長度，再向左平移h（h＞0）個單位長度，得到新拋物線的頂點D′由題意，得直線BC的表達式為y=-x+4,直線AC的表達式為y＝4x+4.當點D′在直線BC上時，

+4.解得h=0.當點D′在直線AC上時,得+4.解得h＝∵點D′在△ABC內(nèi)，∴0＜h＜（2）拋物線向下平移個單位長度，再向左平移h（h＞0）67（3）如答圖3-46-1，過點P作y軸的平行線分別交拋物線和x軸于點Q，H.∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，直線BC的表達式為y＝-x+4.則AB＝5，BC＝4AC＝（3）如答圖3-46-1，過點P作y軸的平行線分別交拋物線和68S△ABC＝×5×4＝10.設(shè)點Q（m，-m2+3m+4）（0<m<4），點P（m，-m+4），則CP＝m，PQ＝-m2+3m+4-(-m+4)＝-m2+4m.①當△CPQ∽△CBA時，解得m1=0(舍去)，m2＝S△ABC＝×5×4＝10.69②當△CPQ∽△ABC時，解得m3=0(舍去)，m4=利用面積比等于相似比的平方可得，S△PQC＝②當△CPQ∽△ABC時，70類型二:

變換綜合題【例2】(2020·菏澤）如圖3-46-3①，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA=OC，OB=OD+CD．（1）過點A作AE∥DC交BD于點E，求證：AE=BE；（2）如圖3-46-3②，將△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求證：BD′∥CD；②若AD′∥BC，求證：CD2=2OD·BD．類型二:變換綜合題【例2】(2020·菏澤）如71（1）證明：∵AE∥DC，∴∠CDO=∠AEO，∠EAO=∠DCO.又∵OA=OC，∴△AOE≌△COD（AAS）.∴CD=AE，OD=OE.∵OB=OE+BE，OB=OD+CD，∴BE=CD.∴AE=BE.（1）證明：∵AE∥DC，72（2）①證明：如答圖3-46-2，過點A作AE∥DC交BD于點E.由（1）可知，△AOE≌△COD，AE=BE，∴∠ABE=∠BAE.∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD′，∴∠ABD′=∠ABD.∴∠ABD′=∠BAE.∴BD′∥AE.又∵AE∥CD，∴BD′∥CD．（2）①證明：如答圖3-46-2，過點A作AE∥DC交BD于73②證明：如答圖3-46-3，過點A作AE∥DC交BD于點E，延長AE交BC于點F.∵AD′∥BC，∴∠D′AB=∠ABC.由翻折可知∠D′AB=∠DAB，∴∠ABC=∠DAB.∵AE=BE，∴∠EAB=∠ABD.∴∠ABC－∠ABD=∠DAB-∠EAB.∴∠DBC=∠DAE.∵AE∥DC，∴∠AED=∠CDB.∴△ADE∽△BCD.∴

由①知AE=CD，OD=EO，∴DE=2OD.∴CD2=2OD·BD．②證明：如答圖3-46-3，過點A作AE∥DC交BD于點E，74【例3】如圖3-46-5，已知A,B兩點的坐標分別為（40，0）和（0，30），動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個單位長度的速度向原點O運動,動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E,F，連接EP,FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為ts.（1）當t＝15時，求△PEF的面積；（2）直線EF，點P在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由;（3）當t為何值時，△EOP與△BOA相似.【例3】如圖3-46-5，已知A,B兩點的坐標分別為（40，75解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF＝∠BOA.又∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BOA.∴∵OA=40,OB=30，則當t＝15時，OE＝BE＝15.∴EF=

=20.∴S△PEF＝EF·OE＝×20×15=150.解：（1）∵EF∥OA，76（2）∵△BEF∽△BOA，∴EF=令

×t=160，整理，得t2-30t+240＝0.∵Δ＝302-4×1×240＝-60＜0，∴方程沒有實數(shù)根.∴不存在使得△PEF的面積等于160的t值.（2）∵△BEF∽△BOA，77（3）①當∠EPO＝∠BAO時，△EOP∽△BOA，∴解得t＝12；②當∠EPO＝∠ABO時，△EOP∽△AOB，∴解得t=∴當t＝12或t=

時，△EOP與△BOA相似.（3）①當∠EPO＝∠BAO時，△EOP∽△BOA，78變式診斷1.（2019·廣東）如圖3-46-2①，在平面直角坐標系中，拋物線y＝

與x軸交于點A，B（點A在點B右側(cè)），點D為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點A恰好旋轉(zhuǎn)到點F，連接BE．（1）求點A，B，D的坐標；（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；變式診斷1.（2019·廣東）如圖3-46-2①，在平面直79（3）如圖3-46-2②，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標；②直接回答這樣的點P共有幾個.（3）如圖3-46-2②，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點80解：（1）令解得x1＝1，x2＝-7．∴A（1，0），B（-7，0）．由

（x+3）2-2得D（-3，-2）.解：（1）令81（2）證明：過點D作DD1⊥x軸于點D1.∴∠DD1F＝∠COF＝90°.∵∠DFD1＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF.∴∵D（-3，-2），∴D1D＝2，OD1＝3.∵AC＝CF，CO⊥AF,∴OF＝OA＝1.∴D1F＝OD1-OF＝3-1＝2.∴

∴C(0,).∴CA＝CF＝FA＝2.（2）證明：過點D作DD1⊥x軸于點D1.82∴△ACF是等邊三角形.∴∠AFC＝∠ACF.∵△CAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，∴∠ECF=∠DCA＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF.∵EC＝DC＝

＝6，BF＝OB-OF=7-1=6，∴EC＝BF.∴四邊形BFCE是平行四邊形.∴△ACF是等邊三角形.∴∠AFC＝∠ACF.83（3）①∵點P是拋物線上一動點，∴設(shè)PⅠ.如答圖3-46-4,當點P在點B的左側(cè)時，m<-7.∵△PAM與△DD1A相似，（3）①∵點P是拋物線上一動點，84解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-11或m1＝1（不合題意，舍去）,m2＝解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-1185Ⅱ.如答圖3-46-5,當點P在點A的右側(cè)時，m>1.∵△PAM與△DD1A相似，Ⅱ.如答圖3-46-5,當點P在點A的右側(cè)時，m>1.86解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）或m1＝1（不合題意，舍去），m2＝

（不合題意，舍去）；解得m1＝1（不合題意，舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）87Ⅲ.如答圖3-46-6，當點P在AB之間時，-7<m<1.∵△PAM與△DD1A相似，Ⅲ.如答圖3-46-6，當點P在AB之間時，-7<m<1.88解得m1＝1（不合題意,舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）或m1＝1（不合題意,舍去），m2＝綜上所述，點P的橫坐標為-11或②一共存在三個點P，使得△PAM與△DD1A相似．解得m1＝1（不合題意,舍去），m2＝-3（不合題意,舍去）892.(2020·濰坊）如圖3-46-4①，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=+1，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=1，連接DE．現(xiàn)將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），如圖3-46-4②，連接CE，BD，CD．（1）當0°＜α＜180°時，求證：CE=BD；（2）如圖3-46-4③，當α=90°時，延長CE交BD于點F，求證：CF垂直平分BD；2.(2020·濰坊）如圖3-46-4①，在△ABC中，∠A90（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)91（1）證明：根據(jù)題意可知，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD.在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS）.∴CE=BD.AC=AB,∠CAE=∠BAD,AE=AD,（1）證明：根據(jù)題意可知，AB=AC，AC=AB,92（2）證明：由（1）可知，△ACE≌△ABD，∴∠ACE=∠ABD.∵∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90°.∴∠EFB=90°，即CF⊥BD.∵AB=AC=+1，AD=AE=1，（2）證明：由（1）可知，93∠CAB=∠EAD=90°，∴BC=AB=+2，CD=AC+AD=+2.∴BC=CD.又∵CF⊥BD，∴CF垂直平分BD.∠CAB=∠EAD=90°，94（3）解：在△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時，△BCD的面積有最大值.∴當點D在線段BC的垂直平分線上時，△BCD的面積取得最大值，如答圖3-46-7.∵AB=AC=+1，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90°，DG⊥BC于點G，（3）解：在△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最95∴AG= ∠GAB=45°.∴DG=AG+AD=∠DAB=180°-45°=135°.∴△BCD的面積的最大值為BC·DG＝×(+2)× 旋轉(zhuǎn)角α=135°．∴AG= ∠GAB=45°.963.(2016·長春改編)如圖3-46-6，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=8，∠BAD=60°.點E從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點E不與點A重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作EG∥AD交AC于點G，過點G作GH⊥AD交AD（或AD的延長線）于點H，得到矩形EFHG.設(shè)點E運動的時間為ts.（1）求線段EF的長；（用含t的代數(shù)式表示）（2）求點H與點D重合時t的值；（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.3.(2016·長春改編)如圖3-46-6，在菱形ABC97解：（1）由題意知AE=2t，0≤t≤4.∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，∴sin∠BAD=∴EF=t.解：（1）由題意知AE=2t，98（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t.當點H與點D重合時，此時FH=8-t，∴GE=8-t.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC=30°.∵EG∥AD，∴∠EGA=∠DAC=30°.∴∠BAC=∠EGA=30°.∴AE=EG.∴2t=8-t.∴t=（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t.99（3）①當0＜t≤

時，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，∴由（2）可知EG=AE=2t.∴S=EF·EG=t·2t=2t2.（3）①當0＜t≤ 時，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部100②當＜t≤4時，如答圖3-46-8，設(shè)CD與HG交于點I，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分的圖形為五邊形FEGID.∵AE=2t，∴AF=t，EF=t.∴DF=8-t.∵AE=EG=FH=2t，∴DH=2t-（8-t）=3t-8.②當＜t≤4時，如答圖3-46-8，設(shè)CD與HG交于點101∵∠HDI=∠BAD=60°，∴tan∠HDI=∴HI=DH=(3t-8).∴S=EF·EG-DH·HI=2t2-·（3t-8）2=∵∠HDI=∠BAD=60°，102強化訓(xùn)練4.（2016·河西二模）如圖3-46-7①，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分別以O(shè)A,OB邊所在的直線建立平面直角坐標系，D點為x軸正半軸上的一點，以O(shè)D為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ODE.強化訓(xùn)練4.（2016·河西二模）如圖3-46-7①，103(1)如圖3-46-7①,當點E恰好落在線段AB上時，求點E的坐標；(2)若點D從原點出發(fā)沿x軸正方向移動，設(shè)點D到原點的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，當點E到達△AOB的外面，且點D在點B左側(cè)時，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)在(1)的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移，如圖3-46-7②，圖中是否存在一條與線段OO′始終相等的線段？如果存在，請直接指出這條線段；如果不存在，請說明理由.(1)如圖3-46-7①,當點E恰好落在線段AB上時，求點E104解：(1)如答圖3-46-9，過點E作EH⊥OB于點H.∵△OED是等邊三角形，∴∠EOD=60°.又∵∠ABO=30°，∴∠OEB=90°.∵BO=4，∴OE=OB=2.∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°，∴OH=1，EH=∴E(1，).解：(1)如答圖3-46-9，過點E作EH⊥OB于點H.105(2)∵點E在△AOB的外面，且點D在點B左側(cè)，∴當2＜x＜4時，符合題意.如答圖3-46-10，所求重疊部分四邊形OD′NE的面積為y=S△OD′E′-S△E′EN=

x2-E′E·EN=x2-(x-2)=x2+2x-2(2<x<4).(2)∵點E在△AOB的外面，且點D在點B左側(cè)，106(3)存在線段EF=OO′.∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，∴∠ABO=∠DFB=30°.∴DF=DB.∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=DE－DF=EF.(3)存在線段EF=OO′.1075.（2018·貴港）如圖3-46-8，已知A，B兩點在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM.將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點P．5.（2018·貴港）如圖3-46-8，已知A，B兩點在直線108（1）當P與O重合時（如圖3-46-8②），設(shè)點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；（2）請利用如圖3-46-8①所示的情形，求證：（3）若AO=2且當MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長．（1）當P與O重合時（如圖3-46-8②），設(shè)點C是AO的中109（1）證明:∵2BM=AO，2CO=AO,∴BM=CO.∵AO∥BM，∴四邊形OCBM是平行四邊形.∵∠BMO=90°，∴OCBM是矩形.∵∠ABP=90°，C是AO的中點，∴OC=BC.∴矩形OCBM是正方形．（1）證明:∵2BM=AO，2CO=AO,110（2）證明:如答圖3-46-11,連接AP，OB.∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A，B，O，P四點共圓.由圓周角定理可知∠APB