拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第二課時(shí)） 同步檢測(cè)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

73.3.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第二課時(shí)）（同步檢測(cè)）一、選擇題1.過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，則這樣的直線(xiàn)()A．有且僅有1條 B．有且僅有2條C．有1條或2條 D．不存在2.拋物線(xiàn)C：x2＝2py的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝16，則p＝()A．2 B．4C．6 D．123.過(guò)點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)4.設(shè)拋物線(xiàn)y2＝8x的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]5.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，則eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝()A．5B．6C．7D．86.過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F作斜率為eq\r(3)的直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若eq\o(AF,\s\up7(→))＝λeq\o(FB,\s\up7(→))(λ>1)，則λ＝()A．3B．4C．5D．67.設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4)B．eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D．eq\f(9,4)8.已知直線(xiàn)y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線(xiàn)C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則實(shí)數(shù)k的值為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(2\r(2),3)9.(多選)下列直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(－3,2)，且與拋物線(xiàn)y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的是()A．x＝－3B．y＝2C．x－3y＋9＝0D．x＋y＋1＝0二、填空題10.設(shè)拋物線(xiàn)x2＝12y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則|AF|＋|BF|＝________11.已知拋物線(xiàn)y2＝4x，過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是______12.已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，則△ABP的面積為_(kāi)_______三、解答題13.設(shè)直線(xiàn)y＝2x＋b與拋物線(xiàn)y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，已知弦AB的長(zhǎng)為3eq\r(5)，求b的值．14.已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D為其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，求△DAB的面積S的取值范圍．15.拋物線(xiàn)y2＝4x和點(diǎn)M(6,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M，且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)．(1)求eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))；(2)若△OAB的面積等于12eq\r(10)，求直線(xiàn)l的方程．16.已知點(diǎn)A，B是拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB.(1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；(2)求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)．17.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物線(xiàn)C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線(xiàn)l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|.參考答案及解析：一、選擇題1.C解析：|AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋5＝(a＋1)2＋4≥4，而通徑的長(zhǎng)為4，所以有1條或2條．2.A解析：拋物線(xiàn)C：x2＝2py的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，直線(xiàn)l：y－eq\f(p,2)＝eq\r(3)x，可得x＝eq\f(1,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(p,2)))，代入拋物線(xiàn)方程，得y2－7py＋eq\f(1,4)p2＝0，則y1＋y2＝7p，|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝7p＋p＝16，解得p＝2.3.B解析：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由直線(xiàn)AB斜率為－2，且過(guò)點(diǎn)(1,0)得直線(xiàn)AB的方程為y＝－2(x－1)，代入拋物線(xiàn)方程y2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，則x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝eq\r(5)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(5)·eq\r(16－4)＝2eq\r(15).4.C解析：準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－2，Q(－2,0)，設(shè)l：y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，x＝0，即交點(diǎn)為(0,0)；當(dāng)k≠0時(shí)，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.綜上，k的取值范圍是[－1,1]．5.D解析：由題意知直線(xiàn)MN的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)．又∵拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F(1,0)，∴eq\o(FM,\s\up7(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up7(→))＝(3,4)．∴eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝0×3＋2×4＝8.6.A解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))可得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)(x1>x2)，因?yàn)閨FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，所以λ＝eq\f(|FA|,|FB|)＝eq\f(x1＋1,x2＋1)＝eq\f(4,\f(4,3))＝3.7.D解析：易知拋物線(xiàn)中p＝eq\f(3,2)，焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直線(xiàn)AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直線(xiàn)AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入拋物線(xiàn)方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(21,2).由拋物線(xiàn)的定義可得弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，結(jié)合圖象可得O到直線(xiàn)AB的距離d＝eq\f(p,2)·sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).8.D解析：由題知拋物線(xiàn)C：y2＝8x的準(zhǔn)線(xiàn)為l：x＝－2，直線(xiàn)y＝k(x＋2)(k>0)恒過(guò)定點(diǎn)P(－2,0)，如圖，過(guò)A，B分別作AM⊥l于點(diǎn)M，BN⊥l于點(diǎn)N，由|FA|＝2|FB|，則|AM|＝2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連接OB，則|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2eq\r(2))，所以k＝eq\f(2\r(2),3).9.BCD解析：顯然，直線(xiàn)斜率k存在，設(shè)其方程為y－2＝k(x＋3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝kx＋3，,y2＝4x，))得ky2－4y＋8＋12k＝0①．當(dāng)k＝0時(shí)，方程①化為－4y＋8＝0，即y＝2，此時(shí)過(guò)(－3,2)的直線(xiàn)方程為y＝2，滿(mǎn)足條件．當(dāng)k≠0時(shí)，方程①應(yīng)有兩個(gè)相等實(shí)根，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,16－4k8＋12k＝0，))得k＝eq\f(1,3)或k＝－1，所以直線(xiàn)方程為y－2＝eq\f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0．故選BCD．二、填空題10.答案：8解析：分別過(guò)點(diǎn)A，B，P作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，Q，根據(jù)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.11.答案：32解析：設(shè)AB的方程為x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，當(dāng)m＝0時(shí)，yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)最小為32.12.答案：36解析：假設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2＝2px，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，將x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，所以p＝6，點(diǎn)P在準(zhǔn)線(xiàn)上，到AB的距離為p＝6，所以△ABP的面積為eq\f(1,2)×6×12＝36.三、解答題13.解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b，,y2＝4x，))消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜eq\f(1,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4).∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1－2b).∴|AB|＝eq\r(1＋22)|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(1－2b)＝3eq\r(5)，∴1－2b＝9，即b＝－4.14.解：拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，D(－1,0)，設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l：x＝ty＋1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))消去x,整理得y2－4ty－4＝0，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，所以S△DAB＝eq\f(1,2)×|FD|×|y2－y1|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(16t2＋16)＝4eq\r(t2＋1)≥4，故△DAB的面積S的取值范圍為[4，＋∞)．15.解：(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝my＋6，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋6與拋物線(xiàn)y2＝4x得y2－4my－24＝0，顯然Δ>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－24，x1x2＝36，可得eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝12.(2)因?yàn)镾△OAB＝eq\f(1,2)|OM|·|y1－y2|＝3eq\r(16m2＋96)＝12eq\r(m2＋6)＝12eq\r(10)，所以m2＝4，m＝±2.故直線(xiàn)l的方程為x＋2y－6＝0或x－2y－6＝0.16.解：(1)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有kOA＝eq\f(y1,x1)，kOB＝eq\f(y2,x2).因?yàn)镺A⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.因?yàn)閥eq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝0.因?yàn)閥1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.(2)證明：因?yàn)閥eq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，兩式相減得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,y1＋y2)，所以kAB＝eq\f(2p,y1＋y2)，故直線(xiàn)AB的方程為y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)，所以y＝eq\f(2px,y1＋y2)＋y1－eq\f(2px1,y1＋y2)，即y＝eq\f(2px,y1＋y2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－2px1＋y1y2,y1＋y2).因?yàn)閥eq\o\al(2,1)＝2px1，y1y2＝－4p2，代入整理得y＝eq\f(2px,y1＋y/r