圓形有界磁場中磁聚焦規(guī)律有答案

圓形有界磁場中“磁聚焦”的相關(guān)規(guī)律練習(xí)當(dāng)圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等時(shí)，存在兩條特殊規(guī)律；規(guī)律一：帶電粒子從圓形有界磁場邊界上某點(diǎn)射入磁場，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡A甲半徑相等，則粒子的出射速度方向與圓形磁場上入射點(diǎn)的切線方向平行，如甲圖所示。A甲規(guī)律二：平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等，則所有粒子都從磁場邊界上的同一點(diǎn)射出，并且出射點(diǎn)的切線與入射速度方向平行，如乙圖所示。【典型題目練習(xí)】如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)卜磁場，MN是一豎直放置的感光板?從圓形磁場最高點(diǎn)P垂直磁場射八X.xXXh2tn1入大量的帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m，速度為v的粒子，不考慮%f粒子間的相互作用力，關(guān)于這些粒子的運(yùn)動以下說法正確的是（）只要對著圓心入射，出射后均可垂直打在MN上對著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長線不一定過圓心對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的弧長越長，時(shí)間也越長D?只要速度滿足vqBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m如圖所示，長方形abed的長ad=0.6m，寬ab=0.3m，O、e分別是ad、be的中點(diǎn)，以e為圓心eb為半徑的四分之一圓弧和以O(shè)為圓心Od為半徑的四分之一圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（邊界上無磁場）磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0?25T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m=3X10-7kg、電荷量q=+2X10-3C的帶正電粒子以速度v=5X102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射人磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是（）從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊從ad邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部通過b點(diǎn)如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為O]（a，0），圓內(nèi)分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在直線y=a的上方和直線x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿X軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E,—質(zhì)量為m、電荷量為+q(q>0)的粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場方向射入，當(dāng)入射速度方向沿x軸方向時(shí)，粒子恰好從O］點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場，不計(jì)粒子重力，求：磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；粒子離開第一象限時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角；若將電場方向變?yōu)檠貀軸負(fù)方向，電場強(qiáng)度大小不變，粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場方向、并與X軸正方向夾角0=300射入第一象限，求粒子從射入磁場到最終離開磁場的總時(shí)間t。如圖所示的直角坐標(biāo)系中，從直線x=-2l0到y(tǒng)軸區(qū)域存在兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場，其中x軸上方的電場方向沿y軸負(fù)方向，x軸下方的電場方向沿y軸正方向。在電場左邊界從A(-210，-10)點(diǎn)到C(-210，0)點(diǎn)區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m1!IP1IE討z/1oJx=2打的粒子。從某時(shí)刻起，A點(diǎn)到C點(diǎn)間的粒子依次連續(xù)以相同速度v°沿x軸正方向射入電場。c\A6:/f*bJIJECx從A點(diǎn)射入的粒子恰好從y軸上的A(0,-1。)點(diǎn)沿沿X軸正方向射出電場，其軌跡如圖所示。不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用。求從AC間入射的粒子穿越電場區(qū)域的時(shí)間t和勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E的大小。求在A、C間還有哪些坐標(biāo)位置的粒子通過電場后也能沿x軸正方向運(yùn)動？⑶為便于收集沿x軸正方向射出電場的所有粒子，若以直線x=21°上的某點(diǎn)為圓心的圓形磁場區(qū)域內(nèi)，設(shè)計(jì)分布垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，使得沿x軸正方向射出電場的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，都能通過x=21°與圓形磁場邊界的一個(gè)交點(diǎn)。則磁場區(qū)域最小半徑是多大？相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是多大？5?如圖所示，在xoy坐標(biāo)系中分布著三個(gè)有界場區(qū)：第一象限中有一半徑為r=0.1m的圓形磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B]=1T,方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時(shí)與x軸、y軸相切，切點(diǎn)分別為A、C；第四象限中，由y軸、拋物線FG（y=-10x2+x-0.025，單位：m）和直線DH（y=x-0.425，單位：m）構(gòu)成的區(qū)域中，存在著方向豎直向下、強(qiáng)度E=2.5N/C的勻強(qiáng)電場；以及直線DH右下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B2=0.5T。現(xiàn)有大量質(zhì)量m=1x10-6kg（重力不計(jì)），電量大小為q=2x10-4C，速率均為20m/s的帶負(fù)電的粒子從A處垂直磁場進(jìn)入第一象限，速度方向與y軸夾角在0至18Oo之間。（1）求這些粒子在圓形磁場區(qū)域中運(yùn)動的半徑；6.如圖所示，真空中一平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，存在著兩個(gè)邊長為L的正方形勻強(qiáng)電場區(qū)域I、U和兩個(gè)直徑為L的圓形磁場區(qū)域皿、W。電場的場強(qiáng)大小均為E,區(qū)域I的場強(qiáng)方向沿x軸正方向，其下邊界在x軸上，右邊界剛好與區(qū)域U的邊界相切；區(qū)域U的場強(qiáng)方向沿y軸正方向，其上邊界在x軸上，左邊界剛好與剛好與區(qū)域W的邊界相切。磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為2^2mE，區(qū)域皿的圓心坐標(biāo)為（0，L）、磁場方向垂直于xOy平qL2面向外；區(qū)域W的圓心坐標(biāo)為（0，--）、磁場方向垂直于xOy平面向里。兩個(gè)質(zhì)量均為2m、電荷量均為q的帶正電粒子M、N，在外力約束下靜止在坐標(biāo)為（-3L，L）、（--L，222出巨L、的兩點(diǎn)。在x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）放置一塊足夠長的感光板，板面垂4直于xOy平面。將粒子M、N由靜止釋放，它們最終打在感光板上并立即被吸收。不計(jì)粒子的重力。求：7?如圖所示，半圓有界勻強(qiáng)磁場的圓心°】在x軸上，OO］距離等于半圓磁場的半徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B］。虛線MN平行x軸且與半圓相切于P點(diǎn)。在MN上方是正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場場強(qiáng)大小為E，方向沿X軸負(fù)向，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為BQ。B］，BQ方向均垂直紙面，方向如圖所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向從原點(diǎn)O射入第I象限，其中沿x軸正方向進(jìn)入磁場的粒子經(jīng)過P點(diǎn)射入MN后，恰好在正交的電磁場中做直線運(yùn)動，粒子質(zhì)量為m,電荷量為q(粒子重力不計(jì))。求：粒子初速度大小和有界半圓磁場的半徑。若撤去磁場B2,貝I」經(jīng)過P點(diǎn)射入電場的粒子從y軸出電場時(shí)的坐標(biāo)。試證明：題中所有從原點(diǎn)O進(jìn)入第I象限的粒子都能在正交的電磁場中做直線運(yùn)動。&如圖甲所示，真空中有一個(gè)半徑r=0.5m的圓形磁場，與坐標(biāo)原點(diǎn)相切，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.0X10-3T，方向垂直于紙面向里，在x=r處的虛線右側(cè)有一個(gè)方向豎直向上的寬度L=0.5m的勻強(qiáng)電場區(qū)域，電場強(qiáng)度E=1.5X103N/C，在x=2m處有一垂直x方向的足夠長的熒光屏，從O點(diǎn)處向不同方向發(fā)射出速率相同的比荷纟=1.0x109C/kg帶負(fù)電m的粒子，粒子的運(yùn)動軌跡在紙面內(nèi)。一個(gè)速度方向沿y軸正方向射入磁場的粒子m，恰能從磁場與電場的相切處進(jìn)入電場。不計(jì)重力及阻力的作用。求：粒子M進(jìn)入電場時(shí)的速度。速度方向與y軸正方向成30°(如圖中所示)射入磁場的粒子N,最后打到熒光屏上，畫出粒子N的運(yùn)動軌跡并求該發(fā)光點(diǎn)的位置坐標(biāo)。9?如圖甲所示，質(zhì)量m=8.OX1O-25kg，電荷量q=1.6x10-i5C的帶正電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，且在與x方向夾角大于等于30°的范圍內(nèi)，粒子射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為v°=2.OX1O7m/s?，F(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.1T，若這些粒子穿過磁場后都能射到與y軸平行的熒光屏MN上，并且當(dāng)把熒光屏MN向左移動時(shí)，屏上光斑長度和位置保持不變。(n=3.14)求:粒子從y軸穿過的范圍。熒光屏上光斑的長度。打到熒光屏MN上最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的粒子運(yùn)動的時(shí)間差。畫出所加磁場的最小范圍(用斜線表示)。參考答案1.當(dāng)v丄B時(shí)，粒子所受洛倫茲力充當(dāng)向心力，做半徑和周期分別為R=mv、T=沁的qBqB勻速圓周運(yùn)動；只要速度滿足v=qBR時(shí)，在磁場中圓周運(yùn)動的半徑與圓形磁場磁場的半徑m相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上,選項(xiàng)D正確。mv2?由R=--=0.3m知，在磁場中圓周運(yùn)動的半徑與圓形磁場磁場的半徑相等，從Oa入qB射的粒子，出射點(diǎn)一定在b點(diǎn)；從Od入射的粒子，經(jīng)過四分之一圓周后到達(dá)be，由于邊界無磁場，將沿be做勻速直線運(yùn)動到達(dá)b點(diǎn)；選項(xiàng)D正確。3.解析:(1)當(dāng)粒子速度沿x軸方向入射，從A點(diǎn)射出磁場時(shí)，幾何關(guān)系知：r=a；

v2mvmv由qvB=m知：B==-rqrqa從A點(diǎn)進(jìn)入電場后作類平拋運(yùn)動;沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動：vEqaX\m沿豎直方向做勻速直線運(yùn)動：vy=v0；二粒子離開第一象限時(shí)速度與y軸的夾角：tan0=^-r=v\mv2y0粒子從磁場中的P點(diǎn)射出，因磁場圓和粒子的軌跡圓的半徑相等，。。占。?構(gòu)成菱形,故粒子從P點(diǎn)的出射方向與OO］平行，即與y軸平行；軌跡如圖所示；???粒子從o到p所對應(yīng)的圓心角為q=60。，粒子從o到p用時(shí)：t=-=竺。1163v由幾何知識可知，粒子由P點(diǎn)到x軸的距離S=asin0=3a;12粒子在電場中做勻變速運(yùn)動的時(shí)間：t=處;2Eq粒子磁場和電場之間勻速直線運(yùn)動的時(shí)間：t=2(a-S)=(2一'；'3)a3vv粒子由P點(diǎn)第2次進(jìn)入磁場，從Q點(diǎn)射出，PO’QO3構(gòu)成菱形；由幾何知識可知Q點(diǎn)13在x軸上，即為(2a，0)點(diǎn)；粒子由P到Q所對應(yīng)的圓心角02=12Oo,粒子從P到Q用時(shí)：t時(shí)：t4=|2na???粒子從射入磁場到最終離開磁場的總時(shí)間：t=t+1+1+1貝+(2f"+如。1234vvEq4?解析：(1)帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，沿水平方向勻速運(yùn)動，有t=2lov0從A點(diǎn)入射的粒子在豎直方向勻加速運(yùn)動，由軌跡對稱性性可知l=-Eq(-)202m2解得E解得E=8mloqt22mv2oql0(2)設(shè)距C點(diǎn)為Ay處入射的粒子通過電場后也沿x軸正方向，第一次達(dá)x軸用時(shí)At，有水平方向Ax=v°At豎直方向Ay=-qE(At)22m欲使粒子從電場射出時(shí)的速度方向沿x軸正方向，有2lo=n-2Ax(n=1,2,3,…)

解得：Ay=—qE(-l^)2=-^0-n22mvn20n2‘0⑴"，2,3,…)即在n2‘0⑴"，2,3,…)當(dāng)n=1時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為y=110當(dāng)n=2時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為y=-11240當(dāng)n>3時(shí)，沿X軸正方向射出的粒子分布在丫］到y(tǒng)2之間(如圖)丫］到y(tǒng)2之間的距離為L=y-y=：1;1240則磁場的最小半徑為R=-=51o28若使粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后匯聚于一點(diǎn)，粒子的運(yùn)動半徑與磁場圓的半徑相等(如圖)，TOC\o"1-5"\h\z軌跡圓與磁場圓相交，四邊形PO1QO2為mv28mv棱形，由qvB=o得：B=o0R5ql05?解析：(1)由qvB=m知：R==iRiB11(2)考察從A點(diǎn)以任意方向進(jìn)入磁場的的粒子，設(shè)其從K點(diǎn)離開磁場，O］和O2分別是磁場區(qū)域和圓周運(yùn)動的圓心，因?yàn)閳A周運(yùn)動半徑和磁場區(qū)域半徑相同，因此O］AO2K為菱形,離開磁場時(shí)速度垂直于O2K，即垂直于x軸，得證。設(shè)粒子在第四象限進(jìn)入電場時(shí)的坐標(biāo)為(x，yi)，離開電場時(shí)的坐標(biāo)為(x，y2)，離開電場時(shí)速度為v2；在電場中運(yùn)動過程，動能定理：Eq(y—y)=mv2—mv221222其中y=—10x2+X—0.0025，y=x—0.425解得v°=100x122在日2磁場區(qū)域做圓周運(yùn)動的半徑為R有qvB=m孚解得R2=x2222R22因?yàn)榱Ｗ釉贐2磁場區(qū)域圓周運(yùn)動的半徑剛好為x坐標(biāo)值，則粒子做圓周運(yùn)動的圓心必在y軸上；又因v2的方向與DH成45°,且直線HD與y軸的夾角為45。，貝I」所有粒子在此磁場中恰好經(jīng)過四分之一圓周后剛好到達(dá)H處，H點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-0.425)。6?解析：(1)粒子在區(qū)域I中運(yùn)動，由動能定理得EqL=—mv2解得v=?EqL200Ym(2)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有qvB=m聳，又有B=2.，2mE，解得r=竺0=-0rVq-qB2因M運(yùn)動的軌道半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相同，故M在磁場皿中運(yùn)動四分之一個(gè)22周期后經(jīng)過原點(diǎn)進(jìn)入磁場W,再運(yùn)動四分之一個(gè)周期后平行于X軸正方向離開磁場，進(jìn)入電場U后做類平拋運(yùn)動。假設(shè)M射出電場后再打在x軸的感光板上，則M在電場U中運(yùn)動的的時(shí)間t=—（1分）v0沿電場方向的位移2分）TOC\o"1-5"\h\z1EqLLL2分）=—at2=XX()2=<2mv420假設(shè)成立，運(yùn)動軌跡如圖所示。沿電場方向的速度v沿電場方向的速度vy速度的偏向角tan0=乙v0L_L設(shè)射出電場"后沿x軸方向的位移xi,有曽需=|M擊中感光板的橫坐標(biāo)x=-+L+兀廣2L，位置坐標(biāo)為（2L,0）（1分）21（3）N做圓周半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相同，分析可得N將從b點(diǎn)進(jìn)入磁場皿，從原點(diǎn)O離開磁場皿進(jìn)入磁場W,然后從d點(diǎn)離開磁場W,沿水平方向進(jìn)入電場U。軌跡如圖。亙L在磁場皿中，由幾何關(guān)系cos0二二二迢L22則0=300，圓弧對應(yīng)的圓心角^=1800-300=1500粒子在磁場中運(yùn)動的周期T=2k粒子在磁場中運(yùn)動的周期T=2kx2粒子在磁場山中運(yùn)動的時(shí)間［=蓋t由對稱關(guān)系得粒子在磁場皿、W中運(yùn)動時(shí)間相等;故粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t=2t1=需7.解析：（1）粒子在正交的電磁場做直線運(yùn)動，有Eq=qvB02解得v0粒子在磁場B1中勻速圓周運(yùn)動，有化叮吟mEqBB12解得R=mEqBB12qB1qBB12由題意知粒子在磁場B］中圓周運(yùn)動半徑與該磁場半徑相同，即R=qBB12(2)撤去磁場B2，,在電場中粒子做類平拋運(yùn)動，有水平方向勻加速R=2牛2豎直方向勻速y=vot豎直方向勻速y=vot=B22mREq從y軸出電場的坐標(biāo)為y'二y+R)(3)證明：設(shè)從O點(diǎn)入射的任一粒子進(jìn)入B］磁場時(shí)，速度方向與x軸成。角，粒子出B］磁場與半圓磁場邊界交于Q點(diǎn)，如圖所示，找出軌跡圓心，可以看出四邊形OO］O2Q四條邊等長是平行四邊形，所以半徑O2Q與OO］平行。所以從Q點(diǎn)出磁場速度與O2Q垂直,即與x軸垂直，所以垂直進(jìn)入MN邊界。進(jìn)入正交電磁場E、B2中都有Eq=qvB故做直2o2線運(yùn)動。&解析：⑴由沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能從磁場與電場的相切處進(jìn)入電場可知粒子M在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑R=r=0.5m。粒子M在磁場中勻速圓周運(yùn)動有：qvB=m-解得v=qBR=1x106m/sm(2)由圓周運(yùn)動的半徑與圓形磁場的半徑相等粒子N在磁場中轉(zhuǎn)過120°角后從P點(diǎn)垂Wm:直電場線進(jìn)入電場，運(yùn)動軌跡如圖所示。Wm:在電場中運(yùn)動的加速度大小a=Eq=1.5x1012m/s2m穿出電場的豎直速度v=at=aL=7.5x105m/syv速度的偏轉(zhuǎn)角tana=-^=0.75v在磁場中從P點(diǎn)穿出時(shí)距O點(diǎn)的豎直距離Ay1=1.5r=0.75m在電場中運(yùn)動沿電場方向的距離%=2at2=1弓(v)2=0-1875m射出電場后勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上Ay=(x-r-L)tana=0.75m3最好達(dá)到熒光屏上的豎直坐標(biāo)y=Ay-(Ay+Ay)=-0.1875m123故發(fā)光點(diǎn)的位置坐標(biāo)(2m，-0.1875m)9.解析：粒子在磁場中勻速圓周