傳熱學(xué)：第二章 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)2.1導(dǎo)熱基本定律——傅里葉定律

2.2導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描寫(xiě)2.3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解法2.4通過(guò)肋片的導(dǎo)熱2.5具有內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1.重點(diǎn)內(nèi)容：

①傅立葉定律及其應(yīng)用；②導(dǎo)熱系數(shù)及其影響因素；

③導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

2.掌握內(nèi)容：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解法

3.了解內(nèi)容：多維導(dǎo)熱問(wèn)題

導(dǎo)熱換熱應(yīng)用背景介紹

物體的各部分之間不發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，依靠?jī)?nèi)部微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的熱量傳遞稱(chēng)為導(dǎo)熱（熱傳導(dǎo)）。工程上利用這種換熱方式來(lái)實(shí)現(xiàn)許多裝置的熱交換問(wèn)題。冰箱的保溫層的導(dǎo)熱問(wèn)題核反應(yīng)堆等內(nèi)熱源的導(dǎo)熱一、導(dǎo)熱機(jī)理（1）氣體：導(dǎo)熱是氣體分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)相互碰撞的結(jié)果，溫度升高，動(dòng)能增大，不同能量水平的分子相互碰撞，使熱能從高溫傳到低溫處。

§2.1導(dǎo)熱基本定律——傅里葉定律

（2）導(dǎo)電固體：

其中有許多自由電子，它們?cè)诰Ц裰g像氣體分子那樣運(yùn)動(dòng)。自由電子的運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)電固體的導(dǎo)熱中起主導(dǎo)作用。

（3）非導(dǎo)電固體：導(dǎo)熱是通過(guò)晶格結(jié)構(gòu)的振動(dòng)所產(chǎn)生的彈性波來(lái)實(shí)現(xiàn)的，即原子、分子在其平衡位置附近的振動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

（4）液體的導(dǎo)熱機(jī)理：存在兩種不同的觀點(diǎn)：第一種觀點(diǎn)類(lèi)似于氣體，只是復(fù)雜些，因液體分子的間距較近，分子間的作用力對(duì)碰撞的影響比氣體大；第二種觀點(diǎn)類(lèi)似于非導(dǎo)電固體，主要依靠彈性波（晶格的振動(dòng)，原子、分子在其平衡位置附近的振動(dòng)產(chǎn)生的）的作用。

說(shuō)明：只研究導(dǎo)熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律。

導(dǎo)熱特點(diǎn)

1)物體之間不發(fā)生宏觀相對(duì)位移。

2)依靠微觀粒子（分子、原子、電子等）的無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)。

3)是物質(zhì)的固有本質(zhì)。

概念：溫度場(chǎng)是指在各個(gè)時(shí)刻物體內(nèi)各點(diǎn)溫度分布的總稱(chēng)。由傅立葉定律知，物體的溫度分布是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：其中為空間坐標(biāo)，為時(shí)間坐標(biāo)。

二、溫度場(chǎng)

（Temperaturefield）溫度場(chǎng)分類(lèi)

1）穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（定常溫度場(chǎng)）

是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點(diǎn)的溫度分布不隨時(shí)間的改變而變化的溫度場(chǎng)，其表達(dá)式：設(shè)備或裝置穩(wěn)定運(yùn)行過(guò)程中,溫度僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)，不隨時(shí)間而變。2）非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（非定常溫度場(chǎng)）

是指在變動(dòng)工作條件下，物體中各點(diǎn)的溫度分布隨時(shí)間而變化的溫度場(chǎng)稱(chēng)非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，其表達(dá)式：

若物體溫度僅一個(gè)方向有變化，這種情況下的溫度場(chǎng)稱(chēng)一維溫度場(chǎng)。

設(shè)備或裝置等啟動(dòng)、停機(jī)等過(guò)程中，溫度隨空間和時(shí)間變化。等溫面與等溫線等溫線：用一個(gè)平面與各等溫面相交，在這個(gè)平面上得到一個(gè)等溫線簇等溫面：同一時(shí)刻、溫度場(chǎng)中所有溫度相同的點(diǎn)連接起來(lái)所構(gòu)成的面等溫面與等溫線的特點(diǎn)：(1)溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交(2)在連續(xù)的溫度場(chǎng)中，等溫面或等溫線不會(huì)中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上。物體的溫度場(chǎng)通常用等溫面或等溫線表示。等溫線圖的物理意義：若每條等溫線間的溫度間隔相等時(shí)，等溫線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇笮?。三、?dǎo)熱基本定律

1、導(dǎo)熱基本定律（傅立葉定律）

1）定義：在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)給定截面所傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反，即

2）數(shù)學(xué)表達(dá)式：

（負(fù)號(hào)表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反）

3）傅里葉定律用熱流密度表示：其中——熱流密度(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的熱流量)

——物體溫度沿x軸方向的變化率當(dāng)物體的溫度是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，其形式為:是空間某點(diǎn)的溫度梯度；

是通過(guò)該點(diǎn)等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向；是該處的熱流密度矢量。

式中：當(dāng)?shù)葴鼐€圖上每?jī)蓷l相鄰等溫線間的溫度間隔相等時(shí),等溫線的疏密可直觀地反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊南鄬?duì)大。

1）熱流線

一組與等溫線處處垂直的曲線，通過(guò)平面上任一點(diǎn)的熱流線與該點(diǎn)的熱流密度矢量相切。2）在整個(gè)物體中，熱流密度矢量的走向可用熱流線表示。2、溫度梯度與熱流密度的關(guān)系1、導(dǎo)熱系數(shù)的含義

導(dǎo)熱系數(shù)的定義式由傅里葉定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出：

數(shù)值上等于在單位溫度梯度作用下物體內(nèi)所產(chǎn)生的熱流密度矢量的模。

2、影響熱導(dǎo)率的因素：物質(zhì)的種類(lèi)、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等三、導(dǎo)熱系數(shù)（導(dǎo)熱率、比例系數(shù)）實(shí)用計(jì)算中，大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)都可以用線性近似關(guān)系，即λ=λ0（a+bt），式中，t為溫度，a,b為常量，

λ0是直線段的延長(zhǎng)線在縱坐標(biāo)軸上的截距。3、保溫材料（隔熱、絕熱材料）

把導(dǎo)熱系數(shù)小的材料稱(chēng)保溫材料。我國(guó)規(guī)定：≤350℃時(shí)，≤0.12w/mk保溫材料導(dǎo)熱系數(shù)界定值的大小反映了一個(gè)國(guó)家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高。4、保溫材料熱量轉(zhuǎn)移機(jī)理(高效保溫材料)

高溫時(shí)：（1）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱（2）穿過(guò)微小氣孔的導(dǎo)熱更高溫度時(shí)：（1）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱（2）穿過(guò)微小氣孔的導(dǎo)熱和輻射5、超級(jí)保溫材料

采取的方法：（1）夾層中抽真空（減少通過(guò)導(dǎo)熱而造成熱損失）（2）采用多層間隔結(jié)構(gòu)（1cm達(dá)十幾層）

特點(diǎn)：間隔材料的反射率很高，減少輻射換熱，垂直于隔熱板上的導(dǎo)熱系數(shù)低達(dá)：10-4w/m.k6、各向異性材料

指有些材料（木材，石墨）各向結(jié)構(gòu)不同，各方向上的λ也有較大差別，這些材料稱(chēng)各向異性材料。此類(lèi)材料必須注明方向?！?-2導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描寫(xiě)

（1）對(duì)于一維導(dǎo)熱問(wèn)題，根據(jù)傅立葉定律積分，可獲得用兩側(cè)溫差表示的導(dǎo)熱量。（2）對(duì)于多維導(dǎo)熱問(wèn)題，首先獲得溫度場(chǎng)的分布函數(shù)，然后根據(jù)傅立葉定律求得空間各點(diǎn)的熱流密度矢量。

一、導(dǎo)熱微分方程

1、定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場(chǎng)應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱(chēng)為導(dǎo)熱微分方程。

2、導(dǎo)熱微分方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式

導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)方法，假定導(dǎo)熱物體是各向同性的。

1）針對(duì)笛卡兒坐標(biāo)系中微元平行六面體

微元體的導(dǎo)熱熱平衡分析空間任一點(diǎn)的熱流密度矢量可以分解為三個(gè)坐標(biāo)方向的矢量，通過(guò)空間任一點(diǎn)任一方向的熱流量也可分解為x、y、z坐標(biāo)方向的分熱流量。

①通過(guò)x=x、y=y、z=z，三個(gè)微元表面而導(dǎo)入微元體的熱流量：фx

、фy

、фz

的計(jì)算。根據(jù)傅立葉定律得(a)②通過(guò)x=x+dx

、y=y+dy

、z=z+dz

三個(gè)微元表面而導(dǎo)出微元體的熱流量фx+dx

、фy+dy

、фz+dz

的計(jì)算。根據(jù)傅立葉定律得：

(b)③對(duì)于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時(shí)間間隔內(nèi)有以下熱平衡關(guān)系：

導(dǎo)入微元體的總熱流量+微元體內(nèi)熱源的生成熱=導(dǎo)出微元體的總熱流量+微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量(c)微元體熱力學(xué)能的增量=微元體內(nèi)熱源的生成熱=其中——

微元體的密度、比熱容、單位時(shí)間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成熱及時(shí)間。導(dǎo)入微元體的總熱流量導(dǎo)出微元體的總熱流量

將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得：

這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式。其物理意義：反映了物體的溫度隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系。

1）對(duì)上式化簡(jiǎn)：

①導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)

式中，，稱(chēng)為熱擴(kuò)散率。②導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源

③導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)

④導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源

綜上說(shuō)明：

（1）導(dǎo)熱問(wèn)題服從能量守恒定律；（2）等號(hào)左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)）；（3）等號(hào)右邊前三項(xiàng)之和是通過(guò)界面的導(dǎo)熱使微分元體在單位時(shí)間內(nèi)增加的能量(擴(kuò)散項(xiàng))；（4）等號(hào)右邊最后項(xiàng)是源項(xiàng)；（5）若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散項(xiàng)即從導(dǎo)熱微分方程中消失。通過(guò)r=r,Φ=Φ,z=z三個(gè)微元面而導(dǎo)入微元體的熱量可以根據(jù)傅立葉定律寫(xiě)出來(lái)。2）圓柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：通過(guò)r+dr,,Φ=Φ+dΦ,z=z+dz三個(gè)表面而導(dǎo)出微元體的熱流量也可以按傅立葉定律寫(xiě)出如下：導(dǎo)入導(dǎo)出微元體的熱量微元體熱力學(xué)能的增量=微元體內(nèi)熱源的生成熱=其中——

微元體的密度、比熱容、單位時(shí)間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成熱及時(shí)間。③對(duì)于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時(shí)間間隔內(nèi)有以下熱平衡關(guān)系：

導(dǎo)入微元體的總熱流量+微元體內(nèi)熱源的生成熱=導(dǎo)出微元體的總熱流量+微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量熱平衡關(guān)系：

導(dǎo)入微元體的總熱流量+微元體內(nèi)熱源的生成熱=導(dǎo)出微元體的總熱流量+微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量3）球坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：

1、定義：是指使導(dǎo)熱微分方程獲得適合某一特定導(dǎo)熱問(wèn)題的求解的附加條件。

二、定解條件2、分類(lèi)

1）初始條件：初始時(shí)間溫度分布的初始條件；

2）邊界條件：導(dǎo)熱物體邊界上溫度或換熱情況的邊界條件。說(shuō)明：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有兩個(gè)；②穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件只有邊界條件，無(wú)初始條件。（1）第一類(lèi)邊界條件：規(guī)定了邊界上的溫度值。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類(lèi)邊界條件要求給出以下關(guān)系式：3、導(dǎo)熱問(wèn)題的常見(jiàn)邊界條件可歸納為以下三類(lèi)（2）第二類(lèi)邊界條件。規(guī)定了邊界上的熱流密度值，稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類(lèi)邊界條件要求給出以下關(guān)系式：（3）第三類(lèi)邊界條件。規(guī)定了邊界上物體與周?chē)黧w間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及周?chē)黧w的溫度，稱(chēng)為第三類(lèi)邊界條件。第三類(lèi)邊界條件可表示為復(fù)雜情況下遇到的另外兩種邊界條件（1）輻射邊界條件如果導(dǎo)熱物體表面與溫度為T(mén)e的外界環(huán)境只發(fā)生輻射換熱，則應(yīng)有：（2）界面邊界條件接觸良好的兩種材料的分界面上：1、熱擴(kuò)散率的物理意義

1）λ是物體的導(dǎo)熱系數(shù)，越大，在相同溫度梯度下，可以傳導(dǎo)更多的熱量。

2）ρc是單位體積的物體溫度升高1℃所需的熱量。越小，溫度升高1℃所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。三、有關(guān)說(shuō)明ɑ物理意義：

①ɑ越大，表示物體受熱時(shí)，其內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大，因此有熱擴(kuò)散率的名稱(chēng)。②ɑ越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，ɑ也是材料傳播溫度變化能力大小的指標(biāo)，亦稱(chēng)導(dǎo)溫系數(shù)。2、導(dǎo)熱微分方程的適用范圍

1）不適用于時(shí)間極短，而且熱流密度極大的導(dǎo)熱。2）不適用于接近低溫度（-273℃）時(shí)的導(dǎo)熱。3）不適用于空間尺度極小，與微觀粒子的平均自由程接近時(shí)的導(dǎo)熱。

§2-3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解本節(jié)將針對(duì)一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無(wú)內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：

1.單層平壁的導(dǎo)熱a幾何條件：?jiǎn)螌悠桨?，b物理?xiàng)l件：、c、

已知；無(wú)內(nèi)熱源c時(shí)間條件：d邊界條件：第一類(lèi)通過(guò)平壁的導(dǎo)熱一、通過(guò)平壁的導(dǎo)熱根據(jù)上面的條件可得：第一類(lèi)邊條：控制方程邊界條件通過(guò)平壁的導(dǎo)熱直接積分，得：帶入邊界條件：帶入Fourier定律線性分布實(shí)驗(yàn)條件下求材料的導(dǎo)熱系數(shù)2、熱阻的含義

熱量傳遞是自然界的一種轉(zhuǎn)換過(guò)程,與自然界的其他轉(zhuǎn)換過(guò)程類(lèi)同,如:電量的轉(zhuǎn)換,動(dòng)量、質(zhì)量等的轉(zhuǎn)換。其共同規(guī)律可表示為:過(guò)程中的轉(zhuǎn)換量=過(guò)程中的動(dòng)力/過(guò)程中的阻力。在電學(xué)中，這種規(guī)律性就是歐姆定律，即在平板導(dǎo)熱中，與之相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可改寫(xiě)為式中：熱流量為導(dǎo)熱過(guò)程的轉(zhuǎn)移量；溫壓為轉(zhuǎn)移過(guò)程的動(dòng)力；分母為轉(zhuǎn)移過(guò)程的阻力。由此引出熱阻的概念：1）熱阻定義：熱轉(zhuǎn)移過(guò)程的阻力稱(chēng)為熱阻。

2）熱阻分類(lèi)：不同的熱量轉(zhuǎn)移有不同的熱阻，其分類(lèi)較多，如：導(dǎo)熱阻、輻射熱阻、對(duì)流熱阻等。對(duì)平板導(dǎo)熱而言又分：面積熱阻RA

：?jiǎn)挝幻娣e的導(dǎo)熱熱阻稱(chēng)面積熱阻。

熱阻R：整個(gè)平板導(dǎo)熱熱阻稱(chēng)熱阻。3）熱阻的特點(diǎn)：

串聯(lián)熱阻疊加原則：在一個(gè)串聯(lián)的熱量傳遞過(guò)程中，若通過(guò)各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱流量相同，則串聯(lián)過(guò)程的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分熱阻之和。

3.多層平壁的導(dǎo)熱多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁—

白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

邊界條件：

熱阻：由熱阻分析法：?jiǎn)枺含F(xiàn)在已經(jīng)知道了q，如何計(jì)算其中第i層的右側(cè)壁溫？第一層：第二層：第i層：例如圖所示的雙層平壁中，導(dǎo)熱系數(shù)為定值，假定過(guò)程為穩(wěn)態(tài)，試分析圖中三條溫度曲線所反映的和

的相對(duì)大小所以對(duì)情形1有解由于過(guò)程是穩(wěn)態(tài)的，因此在三種情況下，熱流量分別為常數(shù)

對(duì)情形3同理，對(duì)情形2有二、單層圓筒壁的導(dǎo)熱圓柱坐標(biāo)系：?jiǎn)喂荛L(zhǎng)度為l，圓筒內(nèi)外壁面均維持均勻恒定的溫度。一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性：第一類(lèi)邊界條件：(a)對(duì)上述方程(a)積分兩次:第一次積分第二次積分應(yīng)用邊界條件獲得兩個(gè)系數(shù)將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！求導(dǎo)根據(jù)熱阻的定義，通過(guò)整個(gè)圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻為：5多層圓筒壁由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計(jì)算通過(guò)單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量6、通過(guò)球殼的導(dǎo)熱對(duì)于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的導(dǎo)熱，再球坐標(biāo)系中也是一個(gè)一維導(dǎo)熱問(wèn)題。相應(yīng)計(jì)算公式為：溫度分布：熱流量：熱阻：7其它變面積或變導(dǎo)熱系數(shù)問(wèn)題求解導(dǎo)熱問(wèn)題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場(chǎng)計(jì)算熱流量；此時(shí)，一維Fourier定律：當(dāng)＝(t)時(shí)，分離變量后積分，并注意到熱流量Φ與x無(wú)關(guān)(穩(wěn)態(tài))，得當(dāng)隨溫度呈線性分布時(shí)，即＝0＋at，則實(shí)際上，不論如何變化，只要能計(jì)算出平均導(dǎo)熱系數(shù)，就可以利用前面講過(guò)的所有定導(dǎo)熱系數(shù)公式，只是需要將換成平均導(dǎo)熱系數(shù)。例電熨斗底面散熱示意圖一個(gè)電熨斗，電功率為l200w，底面豎直置于環(huán)境溫度為25℃的房間中，金屬底板厚為5mm，導(dǎo)熱系數(shù)λ＝15w／(m·K)，面積A＝300cm2?？紤]輻射作用在內(nèi)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h＝80w／(m.K)，試確定穩(wěn)態(tài)條件下底板兩表面的溫度。假設(shè)：電鈕斗絕熱層的性能良好，因而加熱器的功率全部通過(guò)底板散到環(huán)境中去；近似處理為一維平板導(dǎo)熱。底板右側(cè)處理成為對(duì)流邊界條件，左側(cè)為給定熱流密度邊界條件，其值為：溫度場(chǎng)的數(shù)學(xué)描寫(xiě)為上述方程的通解為t＝c1x十c2例2-11外直徑50mm的蒸汽管道外表面溫度溫度為400℃,其外包裹有厚度為40mm，導(dǎo)熱系數(shù)為0.11的礦渣棉，礦渣棉外又包有厚為45mm的煤灰泡沫磚，氣導(dǎo)熱系數(shù)于磚層平均溫度的關(guān)系如下：。煤灰泡沫磚外表面溫度為50℃。已知煤灰泡沫磚最高耐溫為300℃。試檢查煤灰泡沫磚的溫度有無(wú)超出最高溫度？并求通過(guò)每米長(zhǎng)該保溫層的熱損失。解:本題的關(guān)鍵在于確定礦渣棉與煤灰泡沫磚交界處的溫度，由題意，煤灰泡沫磚的導(dǎo)熱系數(shù)又取決于該未知的界面溫度，因此計(jì)算過(guò)程具有迭代（試湊）性質(zhì)。先假定界面溫度為，則由題意

§2-4通過(guò)肋片的導(dǎo)熱一基本概念

1、肋片：指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面

2、常見(jiàn)肋片的結(jié)構(gòu)：針肋直肋環(huán)肋大套片3、肋片導(dǎo)熱的作用及特點(diǎn)

1）作用：增大對(duì)流換熱面積及輻射散熱面,以強(qiáng)化換熱2）特點(diǎn)：在肋片伸展的方向上有表面的對(duì)流換熱及輻射散熱，肋片中沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。即：Φ≠const

。

4、分析肋片導(dǎo)熱解決的問(wèn)題

一是：確定肋片的溫度沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向是如何變化的？

二是：確定通過(guò)肋片的散熱熱流量有多少？

二、通過(guò)等截面直肋的導(dǎo)熱已知：矩形直肋肋根溫度為t0，且t0>t肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h.，h和Ac均保持不變求：溫度場(chǎng)t和熱流量分析：假設(shè)

1）肋片在垂直于紙面方向(即深度方向)很長(zhǎng)，不考慮溫度沿該方向的變化，因此取單位長(zhǎng)度分析；

2）材料導(dǎo)熱系數(shù)λ及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h均為常數(shù)，沿肋高方向肋片橫截面積Ac不變；

3）表面上的換熱熱阻1/h，遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻δ/λ

，即肋片上任意截面上的溫度均勻不變；

4）肋片頂端視為絕熱，即dt/dx=0；

在上述假設(shè)條件下，把復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱如圖（b）所示并將沿程散熱量視為負(fù)的內(nèi)熱源，則導(dǎo)熱微分方程式簡(jiǎn)化為導(dǎo)熱微分方程：引入過(guò)余溫度。令則有：混合邊界條件：方程的通解為：應(yīng)用邊界條件可得：最后可得等截面內(nèi)的溫度分布：雙曲余弦函數(shù)雙曲正切函數(shù)雙曲正弦函數(shù)穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量=通過(guò)肋基導(dǎo)入肋片的熱量肋端過(guò)余溫度：即x

＝H例題

壓氣機(jī)設(shè)備的儲(chǔ)氣簡(jiǎn)里的空氣溫度用一支插入裝油的鐵套管中的玻璃水銀溫度計(jì)來(lái)測(cè)量，如圖所示。已知溫度計(jì)的讀數(shù)為100℃，儲(chǔ)氣簡(jiǎn)與溫度計(jì)套管連接處的溫度為tf＝50℃，套管高H＝140mm、壁厚δ=1mm、管材導(dǎo)熱系數(shù)λ＝58.2w／(m·K)，套管外表面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h＝29.1w／(m2．K)。試分折：(1)溫度計(jì)的讀數(shù)能否準(zhǔn)確地代表被測(cè)地點(diǎn)處的空氣溫度?(2)如果不能，分析其誤差有多大?溫度計(jì)套管分析：由于溫度計(jì)的感溫泡與套管頂部直接接觸．可以認(rèn)為溫度計(jì)的讀數(shù)就是套管頂端的壁面溫度tH。溫度計(jì)套管與其四周環(huán)境之間發(fā)生著三種方式的熱量傳遞，即：從套管頂端向根部的導(dǎo)熱；從壓縮空氣向套管外表面的對(duì)流傳熱；從套管外表面向儲(chǔ)氣簡(jiǎn)簡(jiǎn)身的輻射傳熱。穩(wěn)態(tài)時(shí)，套管從壓縮空氣獲得的熱流量正好等于套筒向筒身的導(dǎo)熱及輻射傳熱之和。因而，套管的壁面溫度必然低于壓縮空氣的溫度，即存在測(cè)溫誤差。溫度計(jì)套管套管中每一截面上的溫度可認(rèn)為是相等得，因而溫度計(jì)套管可看成是截面積為πdδ的一等截面直肋，(d為套管直徑)。測(cè)溫誤差就是套管頂端的過(guò)余溫度θH=tH-tf,此處tf是簡(jiǎn)內(nèi)空氣的溫度。溫度計(jì)套管假設(shè)：通過(guò)上述分折，可以將所研究的問(wèn)題看成是一維穩(wěn)態(tài)等截面直助的導(dǎo)熱問(wèn)題、采用肋片分折中的各項(xiàng)假定。計(jì)篡：據(jù)式換熱周長(zhǎng)πd

，套管截面積Ac=πdδ

。于是,mH的值可根據(jù)定義求出，即由數(shù)學(xué)手冊(cè)查出此ch3.13=11.5,代人tf計(jì)算式得討論：測(cè)量誤差為4.7℃。可從兩個(gè)角度來(lái)分析減小測(cè)溫誤差。首先，從溫度計(jì)套管的一維導(dǎo)熱的物理過(guò)程來(lái)看，可以得出熱阻定性分析圖。因中t∞為儲(chǔ)氣筒外的環(huán)境溫度，R3代表儲(chǔ)氣簡(jiǎn)外側(cè)與環(huán)境間的換熱熱阻，RI、R2分別代表套管頂端與環(huán)境間的換熱熱阻以及頂端與根部之間的熱阻。顯然，要減小測(cè)溫誤差，應(yīng)使tH盡量接近tf，即應(yīng)盡量減小R1，而增大R2及R3。另一方面，從頂端溫度計(jì)算公式看，要減少θH

，應(yīng)增加ch(mH)(即增加mH)，以及減小θo

。于是可采用以下方法：(1)選用導(dǎo)熱系數(shù)更小的材料作套管(增加熱阻R2)；(2)盡量增加套管高度、并減小壁厚(增加熱阻R2)；(3)強(qiáng)化套管與流體間的換熱(減小RI)；(4)在儲(chǔ)氣簡(jiǎn)外包保溫材料(增加R3)，最后一條措施對(duì)于儲(chǔ)氣簡(jiǎn)雖不十分可取,然而對(duì)于測(cè)量管道中氣流溫度的情形是可以操作的。溫度計(jì)套管溫度計(jì)套管測(cè)溫誤差熱阻分析圖串聯(lián)熱阻疊加的原則在這里不適用，但是作為定性分析，這樣的圖示還是很有用的。三、肋效率與肋面總效率

為了從散熱的角度評(píng)價(jià)加裝肋片后換熱效果，引進(jìn)肋片效率肋片的縱剖面積對(duì)于直肋，如果取單位長(zhǎng)度研究，參與換熱的周界P=2影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導(dǎo)率、肋片表面與周?chē)橘|(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）可見(jiàn)，與參量有關(guān)，其關(guān)系曲線如圖2-19所示。這樣，矩形直肋的散熱量可以不用公式計(jì)算，而直接用圖查出，散熱量

等截面直肋和三角形肋片的效率曲線3通過(guò)環(huán)肋及三角形截面直肋的導(dǎo)熱

為了減輕肋片重量、節(jié)省材料，并保持散熱量基本不變，需要采用變截面肋片，環(huán)肋及三角形截面直肋是其中的兩種。環(huán)肋片的效率曲線肋面總效率：肋化表面示意圖實(shí)際上肋片總是成組地被采用的，如圖所示。設(shè)流體的溫度為tf，流體與整個(gè)表面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，肋片的表面積為Af，兩個(gè)肋片之間的根部表面積為Ar，根部溫度為t。，則所有肋片與根部面積之和為A。，則A。＝Af+Ar，若以t。-tf為溫差，則有：稱(chēng)為肋面總效率，顯然，肋片總效率高于肋片效率，在換熱器設(shè)計(jì)中有所應(yīng)用。四、接觸熱阻(contactresistance)兩固體互相接觸時(shí)，由于表面粗糙度的影響，不可能是理想的組合，會(huì)成為如圖所示的情況。這種情況與兩固體壁面完全接觸相比,增加了附加的傳遞阻力,稱(chēng)為接觸熱阻。接觸熱阻示意固§2-5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問(wèn)題在工程技術(shù)領(lǐng)域中常常遇到有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問(wèn)題，例如:電器及線圈小有電流通過(guò)時(shí)的發(fā)熱；化工中的放熱、吸熱反應(yīng)；核能裝置中燃料元件的放射反應(yīng)等。本節(jié)以核反應(yīng)堆的燃料元件的導(dǎo)熱問(wèn)題為背景，介紹具有內(nèi)熱源的平壁以及圓柱體導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解。物理問(wèn)題,如右圖:平壁具有均勻的內(nèi)熱源，兩側(cè)同時(shí)與溫度為tf的流體發(fā)生對(duì)流傳熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)f,要求確定平板中任意一x處的溫度及通過(guò)該截面出的熱流密度。2.數(shù)學(xué)描述:具有均勻內(nèi)熱源的平壁一次積分得:§2-5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問(wèn)題具有均勻內(nèi)熱源的平壁一、具有內(nèi)熱源的平板導(dǎo)熱平壁具有均勻的內(nèi)熱源，其兩側(cè)同時(shí)與溫度為tf的流體發(fā)生對(duì)流傳熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h．現(xiàn)在要確定平板中任一x處的溫度及通過(guò)該截面處的熱流密度。由于對(duì)稱(chēng)性，只要研究板厚的一半即可。這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)描寫(xiě)為二次積分得:得:任一位置x處的熱流密度仍然可以由溫度分布按傅里葉定律得出：由此可見(jiàn)，與無(wú)內(nèi)熱源的平壁解相比，熱流密度不再是常數(shù)，溫度分布也不再是直線而是拋物線，這些都是由于內(nèi)熱源引起的變化。由于給定壁而溫度的情形可以看成是當(dāng)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)趨于無(wú)窮大，從而流體溫度等于壁面溫度時(shí)的一個(gè)特例，當(dāng)平壁兩例均為給定壁溫tw時(shí)平壁中的溫度分布為例題

圖給出了核反應(yīng)堆中燃料元件散熱的一個(gè)放大的簡(jiǎn)化模型。該模型是