國(guó)賽初創(chuàng)意平板折疊桌數(shù)學(xué)建模與優(yōu)化設(shè)計(jì)

木條的寬度等加工參數(shù)，并給出了三種形狀的創(chuàng)新平板折疊桌設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。??=0.037??2?0.94??+{??=3.84×105??4?0.014??2+q??+d(???

+

=其中rdXOZ94.62%，充分說(shuō)明仿真模型的正確性。最后本文利用仿真得到了平板變成折疊桌的過(guò)程示意圖。鋼筋位置和開(kāi)槽長(zhǎng)度。分別采用的fgoalattain函數(shù)和遺傳算法對(duì)該規(guī)fgoalattain函數(shù)的利用中，本文克服了該函數(shù)只能得到一個(gè)兩種求解方法，桌高70cm，桌面直徑80cm時(shí)以穩(wěn)定性作為優(yōu)先因子時(shí)的最優(yōu)關(guān)鍵一、問(wèn)題重鉸鏈的活動(dòng)從而完成創(chuàng)意平板折疊桌的實(shí)現(xiàn)，各組桌腿（除最外側(cè)的桌腿）均有空槽存在各組桌腿形成的曲線為直紋曲面造型美觀請(qǐng)你觀察資料，120cm×50cm×53cm3、此公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)。這個(gè)可以根據(jù)客戶任意設(shè)定的折接近客戶所期望的形狀。請(qǐng)你幫助給出這一設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所8張以上動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。二、問(wèn)題分2可以得到題目所0的限制等。對(duì)于該規(guī)劃問(wèn)題的求解，可以考慮用優(yōu)化工具箱相應(yīng)函求解或遺傳算法去搜索最優(yōu)解。三、符號(hào)定義說(shuō)??,??,W????(??????,??????,????(??????,??????,????(??????,??????,θαP最長(zhǎng)木條上的鋼筋到頂端距離與最長(zhǎng)e,P(X,Y,Z),qdxoz四、模型假1234五、模型建立與求為方便，本文首先將長(zhǎng)方形平板的長(zhǎng)、寬、高分別記為??,??,??，每條桌ZaYZaYOXRWb圖5-1長(zhǎng)方形平板的切割示意 圖5-2空間直角坐標(biāo)b桌面圓形中心的直線為z5-2所示。由于長(zhǎng)方形平板存在一定的厚度??（0.3?′=?? 由桌腿木條的切割方式得到???? ????=2????122 =√ 22

()?(? {其中，i=1,2,3??

????=?′=??????=2? 將鋼筋在各木條中的位置記為????，其x,y,z坐標(biāo)分別記為??????????????????上任意一點(diǎn)的??軸坐標(biāo)處處相等。結(jié)合公式（3）可知?????? =

????=2

???1（4，得到 ??1=????1?(2?????1)??cos ′????1=′

?(2?????1)??sin 基于之前的分析，本文得知鋼筋所在直線1和長(zhǎng)方形寬所在的直線記2構(gòu)成一個(gè)平面。因此，對(duì)于不同木條上的鋼筋位置??，其對(duì)應(yīng)的????與??保持不變，結(jié)合公式（4（5（6，得到??的坐標(biāo)表達(dá)式： =

????=2

???1 =

=

?(?

)??cos

=

??1=

?(2?????1)??sin本文將木條的底端所在點(diǎn)記為????，其x,y,z坐標(biāo)分別記為??????,??????,??????。下面本

=

=

由公式（8）可知??????=????????= 利用公式（9）??=????

)+

=?????????????????

??=k??(?????????)+

??={??=k??(?????????)+

????(??????,??????,??????)和木條長(zhǎng)度??????????=??(?????????????)+ ??????=??(?????????????)+

??????=(?????????????)+(???????求解上述方程組，得到??????,?????? =± +

=±??????+

結(jié)合之前的有關(guān)分析，最終本文得到??????????= =± +??

√1+

=±??????+{

√1+

（4????（3（10（11|????|′=

?

（3

??

長(zhǎng)方形平板折疊之后，本文將鋼筋所在點(diǎn)????到各木條頂端????的距離記為2|????????|。根據(jù)木條頂端????坐標(biāo)和鋼筋在各木條中的位置????坐標(biāo)，得到|????????|的表2|????|=

?

??

（7，????（2??=|????|?|????|′=

??

??

+(???????

??????其中

,

,

（3??（4，

??=2,3,4?

]?根據(jù)問(wèn)題一所給的長(zhǎng)方形平板尺寸??=120,??=50,??=3，以及每條木條的的長(zhǎng)度??1，??149.10。桌底面到地面的高度?′=50。1。故本文對(duì)公式（4）進(jìn)行修正，得到如下公式：??′=(???(??(?????′=

2??

()?(?????)? ??′=?′=??槽長(zhǎng)度。由于折疊桌前后左右對(duì)稱，故本文取第2條到第10條桌腿木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度進(jìn)行分析（為從兩邊到中間。結(jié)果如下：5-1210j123456789開(kāi)槽長(zhǎng)度0531789621基于上述分析，本文根據(jù)公式（16）20根桌腿木條底端的坐標(biāo)。坐標(biāo)5086-

05-3通過(guò)分析桌角邊緣線到Y(jié)OZ平面和XOY平面的曲線形狀本文猜想y的函數(shù)可能為二次函數(shù)，xyzy的二次函數(shù)，xyyy987圖5- z關(guān)于y的二次函數(shù)擬合yy8 x關(guān)于y的四次函數(shù)擬合 y1=??1??2+??1??+??1=-y2=??2??4+??2??2+??2=3.843e-??2=-??=0.037??2?0.94??+ 5

??=3.84×10???

+??=??1??2+??1??+{??=

+

+

得到的前三個(gè)底端坐標(biāo)??1(????1????1????1)??1(????1????1????1??1(????1????1????1)代入兩????=??1????2+

+ {????=??1????2+

+

????=??1????2+

+ ????=??2????4+??2????2+ {????=??2????4+??2????2+

????=??2????4+??2????2+ 設(shè)有動(dòng)點(diǎn)P（X,Y,Z),其運(yùn)動(dòng)方程為：X=X(t),Y=(t),Z= 另有動(dòng)點(diǎn)Q(ξ,η,ρ)ξ=ξ(t),η=η(t),ρ=ρ(t); 其中t為參數(shù)，當(dāng)t取一切允許值時(shí)，PQx=X(t)+λξ(t)y=Y(t)+λη(t) {x=Z(t)+λρ(t){，根據(jù)折疊桌的空間分布建立滿足以下條件的空間直角坐標(biāo)系，將折疊桌變形最大角度時(shí)候的鋼筋位置平移到XOY平面，桌面平行于XOY平面，z軸穿，，本文設(shè)P點(diǎn)在第一卦限和第二卦限中，二分之一的橢圓邊緣線上運(yùn)動(dòng)。其P點(diǎn)的X=ecost,Y=fsint,Z= 第一象限和第二象限中，并且在鋼筋所在直線上運(yùn)動(dòng)。Qξ=ecost,η=d,ρ= 其中，dxoz平面的垂直距離x=ecost,y=bsint+d??,z=

(32)PQ(4)式最后一項(xiàng)得??=q?1(32)

??????t

?????

q??+??(???結(jié)合（32）q??+??(???q) x(

)+()=由公式（13）和公式（30）20個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，本文利用擬合上述方程，擬合示意圖如下：Yvs.X,YY5

X

5-6q??+d(???

+

=94.62%，5.1.5動(dòng)態(tài)過(guò)程中α的取值都會(huì)發(fā)生變化，且θ=????????。綜上所述，本文分別取八個(gè)不同的α，然后利用進(jìn)行模型真得到八個(gè)不同的α下的動(dòng)態(tài)變化圖并錄制了（見(jiàn)附件,程序見(jiàn)附錄二00

0

00

0

00

0

00

0a=0

a=11.25

a=22.5

a=33.7500

0

00

0

00

0

00

0a=45

a=56.25

a=67.5

a=78.75 本文以折疊桌的穩(wěn)固性、加工方便、用材最少為目標(biāo)建立多目標(biāo)規(guī)劃模型。折疊桌的穩(wěn)固性主要影響因素為桌子重心位置和最外側(cè)木條與地面構(gòu)成的S=2b|????1 由公式（21）可以得到桌腿木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度????C=2×

V= 1。選取的偏差變量為{???,??+,??+}。 ③折疊桌前后左右對(duì)稱且每條木條完整。折疊桌每一側(cè)的桌腿木條數(shù)i是正b一定為木板寬度W的整數(shù)倍，且該倍數(shù)是偶數(shù)；坐標(biāo)都大于0，右邊木條底端y軸坐標(biāo)都小于0。由公式（18）可以得到左邊木??????> ????1={??????≠i=2,3,4

ahWb（5（19）????????=2???????

2?????1≥ ⑨折疊桌完全變形后，鋼筋出所有的桌腳木條??????< 由上述參數(shù)的絕對(duì)約束，本文建立以下多目標(biāo)規(guī)劃模型min{???+??++ P<s.

??bi>????1=??????≠??≥??<??,??,???,??+,??+≥

????????=2??????? ≥ ??????< i=2,3,4其中，2??|b代表2??能被b由于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題很難找到最優(yōu)解，本文分別采用的優(yōu)化fgoalattain函數(shù)和遺傳算法對(duì)該規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。fgoalattainfgoalattain解供客戶。fgoalattain滿意滿意解個(gè)數(shù)50 初始解個(gè)5-8fgoalattain10050個(gè)滿意解和對(duì)應(yīng)的 槽支撐面材料體長(zhǎng)鋼筋位木條槽長(zhǎng)最1-面積最-用材最-進(jìn)行多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解多目標(biāo)遺傳算法的就是協(xié)調(diào)各目標(biāo)函數(shù)之間的得 群開(kāi)代數(shù)加開(kāi)代數(shù)加 選前N 產(chǎn)生父代群Pt-否達(dá)到規(guī)定的最代數(shù)是結(jié)選擇運(yùn)算：輪賽制選 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行速非支配排對(duì)Rt中的元素進(jìn)行潮計(jì)算，求各目標(biāo)函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生初始群體輸入網(wǎng)絡(luò)參數(shù)、NSGA- 本文通過(guò)遺傳算法工具箱的gamultiobj函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)上述算法，具當(dāng)木條相交時(shí)，即左邊各桌腿木條的??bi<0時(shí)，使得目標(biāo)槽長(zhǎng)C=99999，支撐面積S=0，所用材料的體積V=99999，這樣該樣本的適應(yīng)度很低，會(huì)馬支撐面支撐面積的相反數(shù)00

0支撐面支撐面積的相反數(shù)

支撐面支撐面積的相反數(shù)

5-10500559-0-10000-10000區(qū)域.600綜上所述，本文將600作為遺傳算法的種群繁衍代數(shù)，利用 得到遺傳算法的求解結(jié)果由于結(jié)果數(shù)據(jù)的龐大具體數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄四具體如下 槽支撐面材料體長(zhǎng)鋼筋位木條槽長(zhǎng)最2面積最1用材最12cmgoalattain函39.99cm，顯然與實(shí)際脫離。由上述兩種求解方法得到了不同用戶偏好的最優(yōu)方案（表5-4和表5-6。對(duì)表5- 槽支撐面材料體長(zhǎng)鋼筋位木條槽長(zhǎng)最1-面積最用材最1

050

-500

50

-500

50

-500

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050

-500

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50

-500

50

-500

x，y軸坐標(biāo)的改變。故本文先對(duì)問(wèn)題一中桌腿木條頂端x，y軸坐標(biāo)進(jìn)行修正。為方便，本文將橢圓的長(zhǎng)短半軸記為δ和μ。xoy空間直角坐標(biāo)系。因此，橢圓的短半軸與長(zhǎng)方形平板寬度的1相等，即μ=2

1??2

????=2

???1由于橢圓方程為??2+??2=1，得到??′′

??′′??′′=??√1?

（41（42 ??????=2????1?? ??′′=??√1?(2????1

{

δ??′′=?′=??為方便，本文將菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度記為m和nxoy空間直角坐標(biāo)系。因此菱形一條對(duì)角線長(zhǎng)度與長(zhǎng)方形平板的寬相等，即m=b。基于問(wèn)題一的分析本文得到??′′′

????=2

???1由于菱形方程為??+??=1，得到??′′′

??′′′=???(1????? （45

????=2

???1?? ??′′′=??×(1?2????1

{

??′′′=?′=??客戶給客戶給出折疊判斷桌面形狀為橢圓菱得到折疊桌菱客戶選擇滿意的桌腳邊緣得到滿足用仿真出解集邊緣線形狀變化動(dòng)態(tài)圖5- a=0

a=6

a=12

a=18 00

-50

050

0

-50

050

0

-50

050

0

-50a=24

a=30

a=36

a=42 00

-50

50

0

-50

50

0

-50

50

0

-505-13 （對(duì)角線長(zhǎng)邊度橢圓一（短半軸為桌面寬）0

0

0

0

0

0

0

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0

0

0

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0

0

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0

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0

0

0

0

5-14表5- （短半軸度軸橢圓二（長(zhǎng)半軸為桌面寬）六、模型評(píng)模型優(yōu)為折疊桌生成提供了程序支持?？梢愿鶕?jù)客戶需求通過(guò)程序輸出折疊桌模型缺對(duì)折疊桌穩(wěn)固性的缺乏力學(xué)理論分析，需要根據(jù)實(shí)際的木工理論進(jìn)行下七、參考文曾君蓮，直紋面及其應(yīng)用，通訊，1910（3：胡運(yùn)權(quán)，運(yùn)籌學(xué)，：，2012的應(yīng)用，電工技術(shù)學(xué)報(bào)，22（12：147-150，2007年。Pareto多目標(biāo)遺傳算法，系統(tǒng)工程，21（5：24-28，2003年。張晶，翟鵬程等，懲罰函數(shù)法在遺傳算法處理約束問(wèn)題中的應(yīng)用，理工大學(xué)學(xué)報(bào)，24（2：57-29，2002年。史潔玉，，R2012a超級(jí)學(xué)習(xí)手冊(cè)，：人民郵電孟曉剛 函數(shù)庫(kù)查詢辭典中國(guó)鐵 智能算法30個(gè)案例分析（第一版： 姜啟源等，數(shù)學(xué)模型（第四版，：高等教育，2011八、附空間直角坐標(biāo)系xaW為方便，將鋼筋所在的直線記為??1，將長(zhǎng)方形寬所在的直線記為??2，將長(zhǎng)方aW 鋼M?鋼AbZZYOX??1??2x??1??2x1??軸與??1??′′1{??軸與??′′??′′相互垂

由上述位置關(guān)系以及直線垂直平面的判定定理可知??軸垂直于平面??′′??1??1??′′，即空間直角坐標(biāo)系x 端????的xy??????????????????

=(???(??(???222 =√ 22

()?(? i=1,2,3?高度?。桌面離地的真實(shí)高度?′就是桌腿木條各個(gè)頂端????的z坐標(biāo)，記為????。其滿????=?′=?? 綜上所述，本文得到桌腿木條各個(gè)頂端???? ????(??????,??????,

=(???(??×(???222 =√ 22

()?(???× ????=?′=?? i=1,2,3?????=2? 本文將鋼筋在各木條中的位置記為????，其x,y,z坐標(biāo)分別記為??????,??????,??????由之前的分析本文已經(jīng)知道??軸垂直于平面??′′??1??1??′′ 坐標(biāo)處處相等。結(jié)合公式（6）可知????的??

=(???(??(??? 2（5 ??1=????1?(2?????1)cosθ×{

′????1=′

?(2?????1)sinθ×（2????1=????2=????3=?=11

=

=

=?=

（7（8（9 ????(??????,??????, =

=(???(??(???2

??1=????1?(2?????1)cosθ×

=????1=

′?(2?????1)sinθ×′{

??=1,2,3?本文將木條的底端所在點(diǎn)記為????，其x,y,z坐標(biāo)分別記為??????,??????,??????。下面本根據(jù)上述分析本文得到各木條頂端坐標(biāo)????(??????,??????,??????)

=

=

由公式（7）可知??????=????????= ??=????

)+

=????????????????? ??=k??×(?????????)+ ??={??=k??×(?????????)+

表達(dá)式時(shí)，本文可以僅??????,??????。利用已知的條件和求解結(jié)果：木條頂端和??????=??×(?????????????)+

??????=(?????????????)+(???????求解上述方程組，本文得到????的??,????????,?????? =±????+{

=±??????+

結(jié)合之前的有關(guān)分析，最終本文得到???? ????(??????,??????,??????= =± +??

√1+

=±??????+{

√1+

,（5；????（6（13（14當(dāng)折疊桌處于平面狀態(tài)時(shí)時(shí)，本文將鋼筋所在點(diǎn)????到各木條頂端????|????|′=

?

（6

??

2為|????????|。根據(jù)木條頂端????坐標(biāo)和鋼筋在各木條中的位置????坐標(biāo)，本文可以得2|????|=

?

??

（10，????（5??=|????|?|????|′=

??

??

+(???????

??????

（10??

（5????

。??=2,3,4 ?。forfori=1:klcao1=[lcao1(a-2*c(i))/2forj=1:101xlim([-80ylim([-80zlim([080]);holdonyg=c(1)+p*cos(theta)*(a-2*c(1))/2;%計(jì)算最木條鋼筋固定點(diǎn)的坐forifzd>h ydd=[yddyd];zdd=[zddzd];xkk=[xkklong=[longsqrt((zd-h)^2-(yd-yk)^2)];%計(jì)算木條長(zhǎng)度ifj==101lcao2=[lcao2sqrt((zg-h)^2+(yg-yk)^2)];%計(jì)算桌子變形最大后槽的位置xkk=[xkk-fliplr(xkk)];ydd=[yddfliplr(ydd)];zdd=[zddfliplr(zdd)];holdoff%%fgoalattainfori=1:nx=[x;x1];fal=[fal;fal1];functionlb=[2.1*h0.4ub=[10*h0.7 fgoalattain8-8-9-9-9---------------------------------8-8-8----4-------1--1-1-2-1---2-1-1-1-2-2--2-1-1-1-1---1--2-2-2-2--loadtga031000.matforif(h/((a/2)-c(1)))>1fori=1:klcao1=[lcao1(a-2*c(i))/4forj=1:8%xlim([-a/2-10ylim([-a/2-10zlim([0a/2+10]);holdonyg=c(1)+p*cos(theta)*(a-2*c(1))/2;%計(jì)算最木條鋼筋固定點(diǎn)的坐forifzd>h ydd=[yddyd];zdd=[zddzd];xkk=[xkklong=[longsqrt((zd-h)^2-(yd-yk)^2)];%計(jì)算木條長(zhǎng)度ifj==101lcao2=[lcao2sqrt((zg-h)^2+(yg-yk)^2)];%計(jì)算桌子變形最大后槽的位置xkk=[xkk-fliplr(xkk)];ydd=[yddfliplr(ydd)];zdd=[zddfliplr(zdd)];gridonholdofffor%%load2tga031000.matforif(h/((a/2)-c(1)))>1fori=1:klcao1=[lcao1(a-2*c(i))/4for%xlim([-a/2-10ylim([-a/2-10zlim([0a/2+10]);holdonyg=c(1)+p*cos(theta)*(a-2*c(1))/2;%計(jì)算最木條鋼筋固定點(diǎn)的坐forifzd>h ydd=[yddyd];zdd=[zddz