復(fù)數(shù)知識點歸納及習(xí)題

復(fù)數(shù)一．知識網(wǎng)絡(luò)圖

二．復(fù)數(shù)中的難點

(1)復(fù)數(shù)的向量表示法的運算.對于復(fù)數(shù)的向量表示有些學(xué)生掌握得不好，對向量的運算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對此應(yīng)認(rèn)真體會復(fù)數(shù)向量運算的幾何意義，對其靈活地加以證明.

(2)復(fù)數(shù)三角形式的乘方和開方.有部分學(xué)生對運算法則知道，但對其靈活地運用有一定的困難，特別是開方運算，應(yīng)對此認(rèn)真地加以訓(xùn)練.

(3)復(fù)數(shù)的輻角主值的求法.

(4)利用復(fù)數(shù)的幾何意義靈活地解決問題.復(fù)數(shù)可以用向量表示，同時復(fù)數(shù)的模和輻角都具有幾何意義，對他們的理解和應(yīng)用有一定難度，應(yīng)認(rèn)真加以體會.

三．復(fù)數(shù)中的重點

(1)理解好復(fù)數(shù)的概念，弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的不同點.

(2)熟練掌握復(fù)數(shù)三種表示法，以及它們間的互化，并能準(zhǔn)確地求出復(fù)數(shù)的模和輻角.復(fù)數(shù)有代數(shù)，向量和三角三種表示法.特別是代數(shù)形式和三角形式的互化，以及求復(fù)數(shù)的模和輻角在解決具體問題時經(jīng)常用到，是一個重點內(nèi)容.

(3)復(fù)數(shù)的三種表示法的各種運算，在運算中重視共軛復(fù)數(shù)以及模的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的運算是復(fù)數(shù)的主要內(nèi)容，掌握復(fù)數(shù)各種形式的運算，特別是復(fù)數(shù)運算的幾何意義更是重點內(nèi)容.

（4）復(fù)數(shù)集中一元二次方程和二項方程的解法.四．基礎(chǔ)知識1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。(1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0；(2)z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；(3)z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；(4)a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個點相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。4．復(fù)數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運算：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則：(1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i；(2)z1.z2=(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；(3)z1÷z2=(z2≠0);幾個重要的結(jié)論：(1)(2)性質(zhì)：T=4；；(3)。；⑷運算律：（1）共軛的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶；⑷。模的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶；⑷；5.復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個復(fù)數(shù)實部和虛部分別對應(yīng)相等。6．復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.五．習(xí)題1．已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)為虛數(shù)，則a的值為()A．－eq\f(3,2)B.eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)2．復(fù)數(shù)eq\f(i,1＋2i)(i是虛數(shù)單位)的實部是()A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D．－eq\f(1,5)3．復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是（）Ａ． Ｂ． Ｃ．為實數(shù) Ｄ．為實數(shù)4．若復(fù)數(shù)滿足，則等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5．等于（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．6．，若，則（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7．已知復(fù)數(shù)，，若，則（）Ａ．或 Ｂ．Ｃ． Ｄ．8．表示（）Ａ．點與點之間的距離Ｂ．點與點之間的距離Ｃ．點與原點的距離Ｄ．點與點之間的距離9．已知，，則的最大值和最小值分別是（）Ａ．和 Ｂ．3和1Ｃ．和 Ｄ．和310．設(shè)0<θ<eq\f(π,2)，(a＋eq\f(\r(2),2)i)(1－i)＝cosθ＋eq\f(\r(2),2)i，則θ的值為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,4)11．若，則方程的解是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．12．滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是（）Ａ．雙曲線 Ｂ．雙曲線的一支 Ｃ．兩條射線 Ｄ．一條射線13．設(shè)，為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面（）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限14．已知復(fù)數(shù)，那么當(dāng)a=_______時，z是實數(shù)；當(dāng)a__________時，z是虛數(shù)；當(dāng)a=______時，z是純虛數(shù)。15．若，已知，，則．16．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點在第一象限內(nèi)，則實數(shù)的取范圍是．17．已知，則復(fù)數(shù)，對應(yīng)點的軌跡是．18．設(shè)，若對應(yīng)的點在直線上，則的值是．19.已知向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則+對應(yīng)的復(fù)數(shù)是______