馬科維茨投資組合理論

第2章馬科維茨投資組合理學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)收益和風(fēng)（risk收益率（requiredrateofreturn，會(huì)在后面的內(nèi)容詳細(xì)這個(gè)概念。持有期收益yieldHPR期末價(jià)格期初價(jià)格現(xiàn)金股期初價(jià)HPR期末價(jià)格期初價(jià)格期初價(jià)

歷史平均收份收益率低，因此投資者可能會(huì)更關(guān)心投資收益率的總體數(shù)值，例如評(píng)估共同基金過(guò)去5算術(shù)平均收益率（arithmetricaveragereturn）是計(jì)算各個(gè)持有期收益率的算術(shù)平均值，R

術(shù)平均法能更方便地利用歷史數(shù)據(jù)未來(lái)的收益率。R1HPR1n 表示連乘。幾何平均收益率意味著在投資期中對(duì)總收益率貢獻(xiàn)相同的平均單期收return此外，對(duì)于多個(gè)時(shí)期投資收益率的度量，還可以用收益（dollar‐weightedreturn。例如當(dāng)考慮基金管理的規(guī)模變動(dòng)時(shí)，實(shí)際上是把基金的現(xiàn)金流量看作公司財(cái)務(wù)中的資本問(wèn)題。收益率就是投資項(xiàng)目的收益率（IRR），收益率是使得投資組合所實(shí)現(xiàn)的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值與為建立投資組合所投入的相等的利率。一個(gè)投資者在做出投資決策之前應(yīng)當(dāng)明白像儲(chǔ)蓄存單這類(lèi)金融工具上所給出的是利率（nominalinterestrate，因而投資者應(yīng)當(dāng)從中減去預(yù)期通貨膨脹率才能得到投資項(xiàng)目rate際利率仍然是不確定的。名義利率指貨幣的增長(zhǎng)率，而實(shí)際利率是指力的增長(zhǎng)率。設(shè)名義利率為R，實(shí)際利率為r，通貨膨脹率為i，那么名義利率和實(shí)際利率之間有如下關(guān)系：

1r11rR

保證投資項(xiàng)目所提供的實(shí)際利率不變。歐文?費(fèi)雪(IrvingFisher)（1930）認(rèn)為名義利率應(yīng)當(dāng)隨著預(yù)期通脹率的增加而增加。若假設(shè)目前的預(yù)期通脹率將持續(xù)到下一期，記為E(i)，那么Rr 產(chǎn)的必要收益率加上通脹噪聲的值。與實(shí)際收益累進(jìn)等級(jí)決定。假設(shè)給定稅率t，名義收益率R，稅后名義收益率R(1‐t)，稅后實(shí)際收益R(1t)i(ri)(1t)ir(1t) 收益率的表示方tntAPRHPR 1

(1RAPRn

)1/n1] (10.06)21 n(1RAPR)n會(huì)逐漸趨近于eRAPRnREAReRAPR RAPRln(1REAR 如本例中e0061.0618365，因此連續(xù)REAR0.0618365，即每年6.18365%return受到和客觀兩部分因素影響，因素主要包括消費(fèi)者對(duì)當(dāng)前消費(fèi)的偏好，即時(shí)間的投資機(jī)會(huì)集合，這由長(zhǎng)期的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率決定。當(dāng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率高時(shí)，提供的投資者就會(huì)通貨膨脹溢價(jià)（inflationpremiumIP）是對(duì)實(shí)際無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的調(diào)整，以給投資者對(duì)由于Rf(1rf)(1IP)

Rfrf 益率（expectedreturn）可以表述為E(R)(1rf)(1IP)(1RP) E(R)rfIP 們?cè)?.1.2節(jié)的是已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了的歷史收益率，而投資者對(duì)可能選擇的投資進(jìn)行評(píng)估時(shí)，則需要預(yù)期收益率。未來(lái)收益率存在著一種概率分布，可以用期望或稱(chēng)均值E(R)變量取值的平均值”之意，當(dāng)然這個(gè)平均，是指以概率為權(quán)的平均。設(shè)收益率R為一表示為，那么預(yù)期收益率即收益率的期望（expectedrateofreturn）E(R)Ri

E(R1R2Rn)E(R1)E(R2)E(RnE(cR)cE散布程度的數(shù)字特征，其中最重要的是方差。設(shè)隨量R的均值為a，而隨量的取值當(dāng)然不一定恰好是a會(huì)有所偏離偏離的量Ra本身也是隨機(jī)的要取這個(gè)偏離Ra的某種有代表性的數(shù)字來(lái)刻畫(huà)偏離即散布程度的大小。不能取Ra的均值，因?yàn)镋(RaE(Ra0——RaRaERaRERa（variance益率的方差，它是收益率圍繞期望的散布程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)測(cè)度。設(shè)R為隨量，分布F，則2ERER2RER2 i i devia為。方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，說(shuō)明收益率的散布程度越大，即與均值的偏離越大，未來(lái)收益精確測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)。特別地，當(dāng)假設(shè)概率分布為正態(tài)分布時(shí)，E(R)與就可以充分準(zhǔn)確地表征概如果單個(gè)的收益都服從正態(tài)分布時(shí)，包含任意一組的資產(chǎn)組合的收益也服從正態(tài)分n按照上述定義，如果利用未來(lái)收益的值來(lái)進(jìn)行計(jì)算，那么需要估計(jì)每種可能情n

E(R)Rnn(R2

t 以使用樣本方差來(lái)估計(jì)，即用n/(n‐1)來(lái)與上式相乘以消除預(yù)期變動(dòng)的統(tǒng)計(jì)誤差。方差的無(wú) n(R2 n1 風(fēng)險(xiǎn)的其他由于投資人會(huì)更關(guān)注損失，所以度量低于收益率均值的偏差會(huì)更加有意義。（arianc）就是僅考慮低于均值的偏差的測(cè)度。半方差的一個(gè)擴(kuò)展就是計(jì)算預(yù)期收益率低于零或某些特定值時(shí)的偏差，例如下半標(biāo)準(zhǔn)差（D，即負(fù)偏差的標(biāo)準(zhǔn)差。這些風(fēng)險(xiǎn)a‐t‐rik,aaRaR已經(jīng)被廣泛地使用，尤其被資產(chǎn)組合管理人和者用來(lái)度量潛在的損失。但是，當(dāng)從單個(gè)資產(chǎn)轉(zhuǎn)移到投資組合時(shí)，這些方法應(yīng)用起來(lái)就非常。如果收益分布是對(duì)稱(chēng)的，均值‐方差空間內(nèi)的投資組合排序，與均值‐半方差空間或其他已的下行風(fēng)險(xiǎn)效用函，消費(fèi)計(jì)劃賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，叫做它的效用，使得任意消費(fèi)ab，ab意味著a的效用值不小于b的效用值。這種從消費(fèi)計(jì)劃到實(shí)數(shù)的叫做效用函數(shù)（utilityvalue。同樣可以建立的效用函數(shù)。效用的概念是丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli）在解釋圣彼得堡悖論（St.Petersburg在1738年的里。1964年，諾依曼（Von 零；隨著的增加，滿足程度的增加速度不斷下降，即效用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)小于零。風(fēng)險(xiǎn)厭惡（riskaversion）是指投資者偏好更低風(fēng)險(xiǎn)的情況。風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者在既定2‐1I1，I2，I3代表無(wú)差異curve可以把上面的表述為：如果E(rA)E(rB)和AB至少有一項(xiàng)不相等，則criterion2‐1UERb2bMbMbM 其中，Mn代表n階中心矩。注意到這里不同階矩之前系數(shù)的符號(hào)不同，即“對(duì)投資者在這個(gè)表述下，把偏好表示成了定義在R的所有矩上的偏好。但如果偏好只依，（1）高于方差的所有階矩的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于期望與方差。也就是說(shuō)，忽略大于方差的矩.,U(R)E(R)0.005A 其中，U為效用值，A為投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度（0.005表示一個(gè)按比例計(jì)算的方法， URER0.005 ERER0.005A f風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高（A值越大與風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者相比，風(fēng)險(xiǎn)中性（riskneutral）的投資者只是按期望收益率來(lái)判斷風(fēng)以投資于一項(xiàng)可以獲得固定收益10萬(wàn)元的投資，或者投資于另外一項(xiàng)投資，情況好時(shí)可15000010000050000圖2‐2一個(gè)公平的例，其邊際效用遞減。圖2‐4表明損失5萬(wàn)元造成的效用的減少超過(guò)了5萬(wàn)元帶來(lái)的效用的增加。先考慮效用增加的情況，有p=0.5的概率從10萬(wàn)元增加到15萬(wàn)元，而效用將從②ZviBodie,AlexKane,AlanJ.Marcus.Investmentsfifthedition)[MMcGraw‐Hill/Irwin2001:用計(jì)算，增加值pG0.50.410.21?？紤]另一種情況，從10萬(wàn)元降到5萬(wàn)元，圖L是效用的損失，L=u(100,000)‐u(50,000)=11.51‐10.82=0.69，因而期望效用的損失為(1p)G0.50.690.35，它大于期望效用的增加。同樣，可以從以下的角度來(lái)分E[u(W)]pu(W)(1p)u(W)1u(150000)1u(50000) 如果該投資，那么10萬(wàn)元的效用值u(100,000)=11.51比公平的期望效用11.37還大，因此，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者將參加該公平。的確定等價(jià)值。風(fēng)險(xiǎn)投資的期望效用為11.37，這個(gè)效用值對(duì)應(yīng)的水平是如圖2‐3顯示W(wǎng)CEe1137因此，WCE86681.87元與有風(fēng)險(xiǎn)的100000元的效用值相等，因此這兩者之間有相同的。W圖2‐3對(duì)數(shù)效用函數(shù)的效GLYGLYU(50W1=50 E(W)=100

W2=150圖2‐4公平與期望效風(fēng)險(xiǎn)厭惡的數(shù)學(xué)化定E[u(Wg)]()E[u(W)]，E[g]好的強(qiáng)度就可以用風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)來(lái)衡量?？梢詫?duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)給出一個(gè)一般化的定義定義一個(gè)參與者參與一個(gè)公平所要求的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，定義E[u(Wg)]u(W加上它前面的符號(hào)，也成為風(fēng)險(xiǎn)的確定等價(jià)值。風(fēng)險(xiǎn)厭惡的Arrow‐Pratt度量，又稱(chēng)為A(W)u(Wu(W

u(W

③本節(jié)參考：王江.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].：大學(xué)，2006，投資組合和選理論的基本最基本的投資組合模型由馬科維茨創(chuàng)立，資產(chǎn)投資組合（o）的預(yù)期收（或分散化）財(cái)務(wù)理論出現(xiàn)前就已經(jīng)存在很長(zhǎng)時(shí)間了。直到1952年，馬科維茨了投資組合投資者把任何投資機(jī)會(huì)均看作是在投資期間內(nèi)收益的概率分投資者最大化其投資期內(nèi)的期望效用且他們的效用函數(shù)對(duì)是邊際效用遞減的投資者基于預(yù)期收益率的波動(dòng)來(lái)估計(jì)投資組合的風(fēng)投資組合收益率的期望和方資產(chǎn)在投資組合中的比例。假設(shè)n項(xiàng)資產(chǎn)的投資組合，資產(chǎn)jwj表示，則nnRPwjj

那么，投資組合的預(yù)期收益率是構(gòu)成投資組合的每項(xiàng)資產(chǎn)收益率的期望的平均值， E(RP)EwjRjEwjRjwjEj1 j1 j1 E(RP)wiE(Ri)wjE(Rj協(xié)方差（covariance）衡量的是兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之間相互影響的方向和程度。Covi,jERiE(Ri)RjE(Rjn{[Rt,iRi][Rt,jRjCovi,jt

相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，即兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)是它們的協(xié)方差除以各自的標(biāo)準(zhǔn)差，這使相關(guān)系數(shù)的值介于‐1到+1ρ來(lái)代i,

covi,i 2pp2p

iinw2ii1jinwwi i,因素不是該的方差而是它與投資組合中所有其他投資的平均協(xié)方差。1952年，才出現(xiàn)了解釋如何有效發(fā)揮多樣化的效用模型，馬科維茨也因此獲得了經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。資組合。因此，利用兩種資產(chǎn)的組合來(lái)說(shuō)明多樣化的好處所在。假設(shè)投資兩類(lèi)資產(chǎn)，一個(gè)是專(zhuān)門(mén)投資于長(zhǎng)期債券的債券基金D，一個(gè)是專(zhuān)門(mén)投資于股權(quán)的基金E，投資收益為rpwDrDwErE，從前面的內(nèi)容可知，資產(chǎn)組合的期望收益是資產(chǎn)組合中各種證E(rp)wDE(rD)wEE(rE

D E D D2w22w222w D E D DCov(rD,rE)得 D E DEDED2w22w2 D E DEDED由于1DE1，則 D E DEDE2w22w2 D E DEDED E DEDw22w2D E DEDww EPwDDwE2(ww D EPwDDDE1時(shí)，則PwDDwEE，即資產(chǎn)組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差小于資產(chǎn)組合中各收益整體風(fēng)險(xiǎn)有特殊的作用。當(dāng)DE1，上式簡(jiǎn)化為2(ww D EPwDDwEwDDwEEDw ，wD 1wDDDED DEwDwE，投資組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差P相關(guān)系數(shù) ，隨w的增加會(huì)先降再升，因?yàn)榉讲? 下面通過(guò)一個(gè)兩項(xiàng)資產(chǎn)投資組合的簡(jiǎn)單例子④，來(lái)說(shuō)明不同資產(chǎn)間的協(xié)方差對(duì)投E(R1)0.2,1E(R2)0.2,2

Covi,ji,ji1,21;Cov1,210.10.11,20.5;Cov1,1,20;cov1,200.10.11,20.5;cov1,2(0.5)0.10.11,21;cov1,2(1)0.10.1www2ww2 21 2 1

pp(a)0.1；b.p(b)0.0868；b.p(c)0.0707；d.p(d)0.05；e.p(e)2‐5給出了上述例子中五種情況的收益‐風(fēng)④例子來(lái)源：FrankK.Reily,KeithC.Brown. ysisandPortfolioManagement(7thedition)[M].Western,（以標(biāo)準(zhǔn)差衡量EDEDCBA0 圖2‐5期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差均相同的兩項(xiàng)資產(chǎn)在不同相關(guān)系數(shù)下投資組合的風(fēng)險(xiǎn)‐收i2‐1i資 12E(RP)0.2p(a)0.085；b.p(b)0.07399；b.p(c)0.061；d.p(d)0.0444e.p(e)2E2EDCBA10 0.010.020.030.040.050.060.070.08 收益的標(biāo)準(zhǔn)差圖2‐6期望收益和方差不同的兩項(xiàng)資產(chǎn)在不同相關(guān)系數(shù)情況下投資組合的風(fēng)險(xiǎn)‐收如果保持兩項(xiàng)資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)不變，改變兩項(xiàng)資產(chǎn)的權(quán)重，那么得到如圖2‐721c2‐2所示，計(jì)算合的風(fēng)險(xiǎn)‐收系。2‐2不同權(quán)重構(gòu)成的投資組合收益率的期望和標(biāo)準(zhǔn)差（兩項(xiàng)資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)為零ERif01ghijkm10ff2ghjik 0 收益的標(biāo)準(zhǔn)差2‐7不同相關(guān)系數(shù)不同權(quán)重情況下的兩項(xiàng)資產(chǎn)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)‐有效前沿的可能權(quán)重下的收益‐風(fēng)險(xiǎn)曲線，那么得到如圖2‐8所示的圖形。能包含所有可能組合中的最好組合的曲線被稱(chēng)為有效前沿（efficientfrontier。有效前沿代表了那些對(duì)特定風(fēng)險(xiǎn)前沿可如圖2‐82‐9所示。由于有效前沿的性質(zhì)，那么圖2‐9中投資組合A優(yōu)于投資組CC相等的風(fēng)險(xiǎn)卻有更高的預(yù)期收益率。應(yīng)該注意的是，所有單項(xiàng)資產(chǎn)都位于邊界內(nèi)右側(cè)，至少當(dāng)允許通過(guò)賣(mài)空來(lái)構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合時(shí)時(shí)這樣的。前沿（見(jiàn)圖2‐9。標(biāo)準(zhǔn)差2‐8B全局最小CA2‐9估計(jì)與計(jì)估值和定價(jià)的方法，現(xiàn)在假設(shè)已經(jīng)獲得了這些數(shù)據(jù)。）假設(shè)資產(chǎn)組合計(jì) 后（1）的預(yù)期價(jià)格：E(P1)，…E(P1)，和這一時(shí)期的預(yù)期股利E(D，…E(D) E(P1)E(D E(RP PiinE(R)nn協(xié)方差矩陣的估計(jì)值，其中對(duì)角線上是n個(gè)方差，2的估計(jì)，n2nn(n1)個(gè)非對(duì)角線上的元素為任兩種收益的協(xié)方i率的估計(jì)值、5050549/2=1255個(gè)不同的協(xié)方差的估計(jì)值。這是一個(gè)令人生畏的工作！一旦估算完成，對(duì)于每種權(quán)重為wi的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的期望收益和方nE(Rp)wiE(Riip2p

ni1j

wiwjCov(Ri,Rj方差邊界的形狀就呈現(xiàn)出來(lái)了。丟棄底部（如圖2‐10所示的虛線）部分，因?yàn)樗鼪](méi)有風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的全局最小

2‐10應(yīng)用馬科維茨投資組合理論來(lái)估計(jì)一個(gè)包含眾多資產(chǎn)的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)的輸入量將非設(shè)單第4介RiaibiRm 其中bi表示i的收益率與整個(gè)市場(chǎng)收益率關(guān)系的斜率系數(shù)，Rm表示整個(gè)市兩個(gè)i與j之間的相關(guān)系數(shù)就可以表示為2 iji m其中2是整 m有效前沿面的數(shù)學(xué)表可以將上述敘述用數(shù)學(xué)化的形式來(lái)給出更加清晰的表達(dá)，來(lái)參與者具有均值‐RE[R，協(xié)方差矩陣為E[(RR)(RR)R0以把組合定義成投資于各個(gè)/資產(chǎn)上的相對(duì)權(quán)重，令w[w,,w]為組合的權(quán)重向量 益率的期望為RE[R]wTR，方差為2ww，同時(shí)記單位向量為。給定 w

1 s.t.wTRwportfolio 都是風(fēng) 且它們的收益率不是線性相關(guān)的。因此

L1ww(RwTR)(1 wrRRpwTR1ww1R1 a1RbRT1RcT1，和dbca2a0b01正定；由于bdb(bca2aRb)T1aRb0d0Rba時(shí)成立，即所有風(fēng)險(xiǎn)具有相同的期望收益率。在d0時(shí)，前沿組合的解為： 稱(chēng)做均值‐方差前沿（mean‐variancefrontier,MVF。⑤這時(shí)，組合的方差為21cR22aR 由前沿組合的來(lái)源，可以得到如下的結(jié)論：任何一個(gè)有均值‐方差偏好的參與者的但這與最優(yōu)組合的假設(shè)，因均值‐方差效用函數(shù)對(duì)方差是遞減的。這里需要一些實(shí)際情況，即投資者可能會(huì)要求增加限制條件。例如，許多w

12wTRw

⑤該段參考：王江.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].：大學(xué)，2006，wi件所獲得的收益與標(biāo)準(zhǔn)差的比率將低于限制條件少或者條件的投資組合。wpw0Rp(w1w0)(1Rp)w0Rp

wd1(b1a1R)，wwd1(c1Ra 1w是期望收益率為1MVF組合。⑥1定理：任意MVF組合可以w0w1MVF組合而成證明：選擇使得w01)w1w0Rp(w1w0wp，即1Rp。推論2：MVF組合的任意組合也是MVF組合。WweightwRNwT1}RN中的一個(gè)（N‐1）維的超平面。前沿組合只是Wweight 。顯然，w,w 位于RN中連接w和 定理：均值‐方差前沿組合

MVFRN中的一條直線

2wR(ww)TwR(ww

0 0R2.11所示，MVF⑥本節(jié)參考：王江.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].：大學(xué)，2006，11Ra2.11均值‐由圖2.11可以看到在R的平面上，MVF的上半部分在均值‐方差意義上占portfoliosportfolioE(R)。個(gè)人投資者的效用函數(shù)而風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度低的投資者的最高效用產(chǎn)生于圖中的Y點(diǎn)上。YX2‐12本章小結(jié)（編輯建議增加關(guān)鍵術(shù)（returnHPRreturnpremiumreturn；（risk（ariancedvition；（utilityaversecurvecriterionrateneutral；風(fēng)險(xiǎn)喜好者（risklover；（portolio（diectin的波動(dòng)；協(xié)方差（covariance；相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient；frontier思考練一家公司的當(dāng)前價(jià)格為每股40元，該年底分紅與年底時(shí)的價(jià)格取決于年底時(shí)21年初價(jià)格（元年末分紅（元4444一個(gè)投資者在2006年初買(mǎi)入3股該，2007年初又買(mǎi)入2股，2008年初賣(mài)出1股該股票，2009年初賣(mài)出持有的所有該。投資者的算術(shù)平均收益率和幾何平均收益率各是多XYZX和Y的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.2和0.12，二者之間的協(xié)方差為0.0096，二者三只A、B、C的統(tǒng)計(jì)描述如下所示。僅基于這些信息，選擇其中兩只構(gòu)成一個(gè) ABCABCA1B1C1A A和A和9答案1.(1)

504020.3434010.134400.5(2)ERHPRipi0.30.350.10.350.13750.30.098752ERER2RER2P 110100414%

90110414.55%； 95904； ；R1(14%14.55%10%)3.15 n3E(RP)wjERj60.121nj4i,j

covi,

0.2

2w22w222ww 1 2 12121標(biāo)準(zhǔn)差最小的，即BC組合。C.該例如同題4，由于具有相同的標(biāo)準(zhǔn)差，所以你只需要挑選相關(guān)系數(shù)最小的組