武漢大學線性代數(shù)3-1課件

第三章線性方程組向量組的秩及其極大線性無關組

矩陣的秩齊次線性方程組有非零解的條件及解的結構非齊次線性方程組有解的條件及解的結構維向量及其線性相關定義1：數(shù)域F上的n個有次序的數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為數(shù)域F上的一個n維向量,其中稱為第i個分量，

以后我們用小寫希臘字母來代表向量。而用小寫拉丁字母來代表數(shù)。維向量及其線性相關3.1維向量3.1.1分量全為零的向量稱為零向量。向量組,

,…，稱為矩陣A的行向量組．

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣.數(shù)域F上全體n元向量組成的集合，記為3.1.2向量的運算及性質(zhì)定義

向量相等：如果和

是數(shù)域F上的兩個n維向量，如果他們的對應分量都相等，即則稱向量定義

向量的和：如果和

是數(shù)域F上的兩個n維向量負向量：向量稱為向量的負向量向量的差加法運算滿足性質(zhì)注：零向量和負向量是唯一的加法的逆運算是減法。線性運算：上述向量的加法及數(shù)乘運算稱為向量的線性運算注：滿足上述的運算稱為線性運算。

(5)向量方程有唯一解兩個特殊的子向量空間和稱為平凡子空間例1：3維向量的全體是一個向量空間。的一個子向量空間。成的向量空間,是平面上所有向量全體構由xoy例2：RyxyxV},|)0,,({?==a解：所以V是一個向量空間。例4：設a，b為兩個已知的n維向量，判斷集合是否為向量空間.（這個向量空間稱為由向量a，b生成的向量空間）一般地，由向量組所生成的向量空間為記作保留方程組多余方程例5：求解非齊次線性方程組解：方程組（1）對應著向量組由此可抽象出定義：設是數(shù)域F上的n維向量組，

3.1.4線性組合與線性表示對P中的任何一組數(shù)向量稱為向量組A的一個線性組合，若記作：則稱向量是向量組A的線性組合（表示）稱為這個線性組合的系數(shù)。例如：有所以，稱是的線性組合，或可以由線性表示。定義：3.1.5線性相關,線性無關注意例7

討論向量組的線性相關性。例8

設問能否由線性表示。3.1.6線性相關性的刻畫

至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示

向量組線性相關定理1存在一組不全為零的數(shù)使證明：1）不妨設線性相關，于是例81）如果向量組中有一部分向量組線性相關，則整個向量組必線性相關。

2）如果向量組線性無關，則其任一部分向量組線性相也必線性無關。從而有一組不全為零的數(shù)使由定義知線性相關。所以如果向量組中有一部分向量組線性相關，則整個向量組必線性相關。2）用反證法，若任一部分組線性相關，則由1）知整體組線性相關，矛盾，故整體組無關，部分組必線性無關。線性方程組的向量表示（*）3.1.7線性相關性的判斷.定理2

設向量組則向量組線性相關的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量的齊次線性方程組有非零解，且它的一個非零解就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。有非零解，且它的一個非零解就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。推論2

n個n維向量線性無關的充分必要條件是它們構成的方陣的行列式不等于零推論3

n個n維向量線性相關的充分必要條件是它們構成的方陣的行列式等于零推論4：當m>n時，m個n維向量一定線性相關。證明：若向量組線性相關，則線性相關。若向量組線性無關，則方程組系數(shù)矩陣行列式故方程組有唯一非零解，故向量組線性相關，故線性相關。

則向量必能由向量組A線性表示，且表示式唯一.定理3向量組線性無關,而向量組線性相關,且所以可由線性表示。兩式相減下面證明惟一性，設能由向量組線性表示，推論5則表示式唯一的充要條件是向量組線性無關。向量證明：充分性，由定理5即得必要性，由能由向量組線性表示向量故存在一組數(shù)使由表示式唯一性知：（1）又存在一組數(shù)使（2）（1）+（2）得故所以，向量組線性無關

則向量組，必線性無關。推論6向量組線性無關,而向量不能由向量組A線性表示，定理與推論都是重要的！例10:證明n維基本向量組線性無關.解:只有零解故線性無關。例11

判斷向量組由故線性無關解：設數(shù)使得成立。即未知量為系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關。向量對應分量不成比例，所以線性無關。例12:試討論向量組及向量組的線性相關性.例13已知向量組線性無關,證明:用定義設只有零解.所以,證明：記由于方程組的前n個方程即是的n個方程。故的解一定是的解。由于線性無關，故方程組只有零解，從而也只有零解，因此也是線性無關的，反之，如果線性相關，即有非零解，則也有非零解，故線性相關。定理4如果一組n維向量線性無關，那么，將

這組向量各任意添加m個分量所得新（m+n維）向

量

組也線性無關；

如果線性相關，那么其各去掉相同

的若干個分量所得新向量組也線性相關。推論7

如果在數(shù)域P上的n維向量空間中，有n個向量線性無關，則中的任一向量都可由線性表示，且表法惟一。？定理咋這多哎！難！例14已知向量組線性相關，線性無關，

證明：1）可以由線性表示，2）不能由線性表示。證明：1）因為線性相關，線性無關，

故線性無關，所以可由線性表

示。所以可由線性表示。

故可由線性表示，故線性相關，與題設矛盾，所以不能由線性表示2）由1）知，可由線性表示，即存在一組

不全為零的數(shù)使

若可由線性表示，則存在一組不

全為零的數(shù)使：例15設A是n階方陣，是n維列向量，如果證明：線性無關。證明：設是一組數(shù)，且（1）將（1）式兩邊同時左乘則此時有：（2）將（2）式兩邊同時左乘依次類推得：故（1）式只有在時才成立。所以線性無關。例16設向量線性無關，又

討論向量組的線性相關性。解：設有數(shù)使（1）即由線性無關，故有：

（2）又所以（2）只有零解，所以線性無關。例17設1）問t為何值時，向量組線性相關；2）問t為何值時，向量組線性無關；3）當線性相關時，將表示為的線性組合。解：設有數(shù)使得即得：此方程組的系數(shù)行列式為：1）當t=5時，方程組有非零解，故線性相關；2）當t5時，方程組只有零解，故線性無關；3）當t=5時，向量組構成的矩陣為：

（1）故上例告訴我們：矩陣的行初等變換不改變列向量組的線性關系；矩陣的列初等變換不改變行向量組的線性關系。在求解向量線性組合時，可用上例方法求解，即將向量表成矩陣的列，對矩陣進行行初等變換，將矩陣變換成行最簡形即可寫出向量的線性組合。其理論證明后面給出。

由以上例題,你可得出什么結論?例18A是矩陣，B是矩陣，其中，若AB=I

證明：B的列向量組線性無關。證明：設其中是B的列向量。

若（1）式兩邊左乘A得：故只有當時，才有：（1）成立，所以線性無關，所以B的列向量線性無關。例19設A是n階矩陣，是n維線性無關向量，證明A可逆的充分必要條件是線性無關。證明：必要性設A可逆，且（1）（1）式兩邊左乘由線性無關，故只有時（1）式才成立。所以線性無關。充分性若線性無關，故由所以A可逆。例20設A是n階矩陣，是n