八年級數(shù)學(xué)培訓(xùn)

一、“圖形與幾何”部分關(guān)于圖形的運動變化對“圖形的運動變化”，要確立如下理念：只有通過圖形的運動或圖形的變換，才能真正把握圖形的性質(zhì).案例1

P11（閱讀

圖形的運動）圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折（對稱）是剛體運動（剛體運動的特征是保距、保角，即一個圖形經(jīng)過多次的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，所得到的圖形與運動前的圖形仍然全等），因而圖形的許多性質(zhì)都可以通過圖形的運動變化去實現(xiàn).案例2

探索“三角形中位線的性質(zhì)”.問題情境：怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？操作：在三角形紙片ABC中，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE（為什么？）；沿DE將△ABC剪成兩部分，并將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)1800到△CFE的位置（如圖1）.圖1探索：點段DF上嗎？四邊形BCFD是平行四邊形嗎？如果是，DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？FEDCBA2.圖形的運動變化是“圖形與幾何”中十分重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對象，也是認識數(shù)學(xué)的思想方法.一方面，數(shù)學(xué)中，

接觸的最基本的圖形是“對稱”（軸對稱和中心對稱，如：圓、正多邊形、等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等）；另一方面，認識“不對稱圖形”時，又往往是運用這些“對稱圖形”為工具的.案例3

P52（

：線段垂直平分線外的點到這條線段兩端的距離相等嗎？為什么？）線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.案例4

P68（數(shù)學(xué)活動:折紙與證明）教學(xué)中，要通過實例，引導(dǎo)學(xué)生較為充分地認識到：認識“不對稱圖形”時，往往要運用一些“對稱圖形”為工具.3.對“對稱（軸對稱和中心對軸）、旋轉(zhuǎn)、平移”的基本性質(zhì)，要通過“探索”得到，即通過圖形的運動變化去發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)，而不是單純地把這些性質(zhì)作為現(xiàn)成的結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生.進行這樣的探索活動，有助于學(xué)生感受圖形運動變化過程中的不變量和不變關(guān)系.案例5P43（通過操作、思考活動，探索軸對稱的基本性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分）.同樣，在七（下）

中，

也曾通過“操作、思考”活動，探索了平移的基本性質(zhì)；還將在八（下)

中，通過“操作、思考”活動，探索中心對稱的基本性質(zhì).案例6

P13：對三角形全等的判定（1），通過剪紙、觀察、作圖，得到基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，再通過“讀一讀”用圖形運動變化的思想給予證實.教學(xué)時，對基本事實--兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用圖形運動變化的思想給予證實：在△ABC和△A，B，C，中，BC=B，C，，∠B=∠B，∠C=∠C，.把△ABC疊合到△A，B，C，上，使BC

與B，C，重合，∠B與∠B，、∠C與∠C，落在BC的同一側(cè).因為∠B

=∠B，，所以BA落在射線B，A，上.又因為∠C=∠C，，所以CA落在射線C，A，上.根據(jù)“兩條直線相交只有一個交點”，可以知道點A與點A，重合.于是△ABC

與△A，B，C，重合，即△ABC

≌△A，B，C，.以“圖形的運動變化”為主線，展開對“圖形與幾何”的研究.將“圖形與幾何”課程整合為全等變換、相似變換和對稱變換3個主體內(nèi)容，其中，對稱變換包括：軸對稱圖形：主要研究軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)及等腰三角形；中心對稱圖形：主要

對稱圖形的性質(zhì)及平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）；對稱圖形：主要從軸對稱性及旋轉(zhuǎn)不變性的角度研究圓.布魯納認為，如果學(xué)生沒有掌握一般原理，就不能激發(fā)智慧；如果學(xué)生學(xué)的知識沒有結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系起來，就容易遺忘；如果不教給學(xué)生學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，就不能從已知推斷未知.以“對稱”為基本結(jié)構(gòu)來探索圖形的基本性質(zhì)：由“軸對稱”探索等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線、線段的垂直平分線的性質(zhì)；由“中心對稱”探索平行四邊形、矩形、菱形、正方形、三角形中位線的性質(zhì)；由“對稱變換（軸對稱、中心對稱及旋轉(zhuǎn)不變性）”探索圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系以及垂徑定理、切線長定理等.這樣處理

有3個好處：（1）有了圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等基本結(jié)構(gòu)，學(xué)生再動手、動腦就會理解透徹、印象深刻；抓住了圖形的共性，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形的共性都是中心對稱圖形，具有中心對稱的一切性質(zhì)；等腰三角形、等邊三角形、角、線段都是軸對稱圖形，具有軸對稱的一切性質(zhì)；有了“對稱”這樣一根主線，綱舉目張，使知識更顯、和諧.教學(xué)時，要將“圖形與幾何”的教學(xué)置于“幾何變換”的基本結(jié)構(gòu)中.為體現(xiàn)圖形運動變化的理念，在八年級“軸對稱圖形”、“中心對稱圖形”兩章中，對圖形的性質(zhì)定理，一般從圖形運動變化的角度加以證實；對圖形的判定定理，采用傳統(tǒng)的“三段論證”的方法加以證明；在九年級“對稱圖形─圓”中，對圓中的一些主要定理，則先用“觀察、操作─探索、猜想”的方法“發(fā)現(xiàn)”定理，再從圖形運動變化的角度證實定理（實質(zhì)上是對前面的“操作、探索”過程的合理性做出解釋），最后用傳統(tǒng)的“證”的方法證明定理.案例7

研究等腰三角形的軸對稱性.探索(合情推理）：把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？圖2

圖3證實發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：如圖2，在△ABC中，AB=AC.沿三角形的角平分線AD所在的直線把△ABC翻折，因為∠BAD=∠CAD，所以AB落在射線AC上.因為AB=AC，所以點B與點C重合，于是△ABD與△ACD重合（如圖3）.ABCDDC(B)A點評：通過將圖形翻折，

不僅可以發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)：等腰三角形是軸對稱圖形；等腰三角形的兩底角相等；等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.而且在接下來的演繹推理時，折痕就是

要作的輔助線，它將等腰三角形分成兩個全等的三角形，這是翻折（合情推理）給

帶來的啟示（這樣，接下來的演繹推理也就不難了）.由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理，它們具有不同的功能，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具（從某種意義上說，合情推理是解決問題的“源”，而接下來的演繹推理只是它的“流”).案例8

研究平行四邊形的中心對稱性.圖4操作：如圖4，O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點.用透明紙覆蓋在圖4上，描出平行四邊形ABCD及對角線AC，再用大頭針釘在點O處，將透明紙上的平行四邊形旋轉(zhuǎn)1800.你發(fā)現(xiàn)了什么？運用圖形的運動變化證實圖形的性質(zhì)：當平行四邊形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)1800時，因為O是AC的中點，所以點C與點A重合.AB由AB

∥CD，可知∠BAC

=∠DCA，于是AB落在射線CD上；由AD

∥BC，可知∠DAC=∠BCA，于是CB落在射線AD上.圖5因為“兩條直線相交只有一個交點”，所以點B（AB與CB的交點）與點D（CD與AD的交點）重合.同理，點D與點B重合.連接BD，因為點B與點D關(guān)于點O對稱，由“成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分”，知BD經(jīng)過點O且被點O平分（如圖5）.這樣，就通過圖形的運動變化，發(fā)現(xiàn)：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.OB(D)A(C)D

(B)C

(A)拓展、延伸：在證實平行四邊形ABCD是中心對稱圖形的過程中，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形還有哪些性質(zhì)？（平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分）“案例8”中，

編寫的思路是：通過合情推理和圖形的運動變化，確認平行四邊形是中心對稱圖形，并把它看成一個剛體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點）旋轉(zhuǎn)1800

，去認識、理解平行四邊形的其他性質(zhì).讓圖形“動”起來，充分利用圖形的運動變化去認識、理解幾何圖形，是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的好方法.

應(yīng)關(guān)注的問題.幾何圖形的直觀，為運用圖形運動的方法研究圖形性質(zhì)提供了有利條件.通過圖形的運動，探索發(fā)現(xiàn)并確認圖形的一些性質(zhì)，有利于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的

，并從中體會研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法.《課標》強調(diào)研究圖形的方法應(yīng)是多樣的，傳統(tǒng)的“

證”是研究圖形的

法，但不是唯一的方法.研究圖的方法是否科學(xué)，其標準是：（1）有出發(fā)點（從基本事實、定義及已證明了的定理出發(fā)）；（2）說理的過程是有根有據(jù)的；（3）得出的結(jié)論是經(jīng)得起檢驗的.較3.運用“對稱性”的語言加以表述，對學(xué)生來說比.教學(xué)時，一方面要重視運用“對稱性”的語言（圖形運動的方法）證實圖形的性質(zhì)，另一方面又不應(yīng)要求學(xué)生嚴格地運用“對稱性”的語言寫出推理過程（重在引導(dǎo)學(xué)生認識到“證明的多樣性”，初步學(xué)會用圖形運動的方法研究圖形）.基于此，建議：教學(xué)中，必要時，可像“對稱圖形—圓”那樣，用合情推理的方法進行探索，并提出猜想—用圖形運動變化的方法加以確認—用演繹推理加以證明.案例9

P60（

：你還可用什么方法證明上述定理？關(guān)于“推理能力”關(guān)于“推理教學(xué)”的基本結(jié)構(gòu).推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們在學(xué)習(xí)和生活中，經(jīng)常使用的思維方式.具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要目標.推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中.關(guān)于“推理教學(xué)”的基本結(jié)構(gòu)是：（1）在七（上）第6章“平面圖形的認識（一）”中，在定義“線段的中點”、“角平分線”概念后，在探索、確認“余角、補角、對頂角”的性質(zhì)后，用“因為……，所以……”的句式進行簡單推理（這一階段，只出“因”和“果”，引導(dǎo)學(xué)生弄清因與果的關(guān)系）.在七（下）第7章“平面圖形的認識（二）”中，在探索發(fā)現(xiàn)直線平行的條件、平行線的性質(zhì)后，用“因為……，所以……，理由是……”的句式進行推理（此時出三段論證的3個要素，但沒有形式化地表達推理過程）.在七（下）第12章“證明”中，正式給出形式化的三段論證“∵……，∴……（……）”，并以“三角形內(nèi)角和定理”為范例，完整地呈現(xiàn)命題證明的全過程.對“推理教學(xué)”給出了3個層次，目的是對“推理教學(xué)”應(yīng)重在引導(dǎo)學(xué)生弄清“因”與“果”，弄清“由因得果的理由”，而不是急于進行形式化的“證”，因為過早地進行形式化的訓(xùn)練，反而會削弱學(xué)生“有條理的思考與表達”的能力.

關(guān)于推理論證的層次性.《標準》強調(diào)：推理能力的形成不同于知識和技能的掌握，需要一個長期、緩慢的過程，要遵循小步子、多層次的原則，由易到難、由淺入深地逐步發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力案例10

“八（上）第1章

全等三角形”是學(xué)生學(xué)習(xí)采綜合法證明的關(guān)鍵內(nèi)容，為使所有學(xué)生能“過關(guān)”，用如下方法呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容：直接用所給條件加以判定，如P14中的例1.適當準備條件，如P15、16中的例2、例3.“準備條件”是對“直接用條件”的一次提升，涉及到對基本概念的理解（如線段的中點、角平分線、余角和補角、平行和垂直等）以及圖形的一些性質(zhì)（如平行線的性質(zhì)等）；涉及到從較復(fù)雜的圖形中抽象出簡單圖形.既要準備條件，又要對結(jié)論進行延伸，如P18中的例4、P20中的例5.“例5”需要綜合運用全等三角形的性質(zhì)和三角形全等的條件加以證明，并通過對結(jié)論的延伸，引導(dǎo)學(xué)生探索“全等三角形的對應(yīng)線段相等”的證明過程.安排了例7（P24）.目的是：給出添加“輔助線”的方法；為運用圖形運動變化的思想得到“HL”做準備.在上述過程的基礎(chǔ)上，強化證明的綜合性，如P28中的例8（涉及2次證明三角形全等）.例8的教學(xué)關(guān)系到“圖形與幾何”教學(xué)是否能成功，學(xué)生對“推理論證”的學(xué)習(xí)是否能“過關(guān)”.“八（上）第1章

全等三角形”證明的層次性表現(xiàn)為：（1）判定兩個三角形全等，直接可用的條件由多到少；（2）論證由一次全等過渡到兩次全等；（3）圖形由簡單到復(fù)雜；（4）論證的結(jié)論由“全等”遞進到邊或角相等，兩線平行或垂直；（5）從不需要添加輔助線過渡到需要添加常見的輔助線；（6）從命題以“圖形和符號語言”的形式給出到以“文字語言”的形式給出等.這樣的“推理論證”層次分明，坡度平緩，有助于學(xué)生拾級而上逐步學(xué)會綜合法證明.如果脫離學(xué)生實際，任意拔高，將使部分學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的.八（上）“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，除了“全等三角形”外，還包括“軸對稱圖形”，主要研究軸對稱與軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)，線段、角的對稱性，等腰三角形的軸對稱性.對“等腰三角形”，

除了探索并證明它的性質(zhì)（側(cè)重于用“圖形的運動變化”加以確認）和判定方法（側(cè)重于運用演繹推理加以證明）外，

設(shè)計了“思考與表達”欄目注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析證明思路、學(xué)會有條理的表達（怎樣想？怎樣寫？）案例11

P56中的例3、P61中的例1.（“怎么想”，體現(xiàn)“由未知想須知”的思路，滲透分析的思考方法；“怎么寫”幫助學(xué)生用綜合法書寫證明過程，以利于逐步發(fā)展學(xué)生合乎邏輯的思考能力，并掌握綜合法證明的格式.）注重合情推理與演繹推理的融合.推理，是從一個或幾個命題經(jīng)過推斷得出一個新命題的過程.其中，合情推理（如分類、歸納、類比、聯(lián)想、猜想等）是從范圍較小題得到范圍較大題，是“由特殊到一般”的推理，它常常是得到新結(jié)論的方法和途徑，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力（如，探索多邊形內(nèi)角和公式）.演繹推理是從范圍較大題得到范圍較小題，是“由一般到特殊”的推理（、、結(jié)論）.很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面……用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實驗性的歸納科學(xué).”因此，與之相適應(yīng)，應(yīng)有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；用演繹推理驗證猜想，證明結(jié)論，“兩種推理功能不同，相輔相成.”教學(xué)中，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷“探索結(jié)論、提出猜想”的活動過程，切實克服推理教學(xué)中重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論的現(xiàn)象.教學(xué)不僅僅是“告訴”，更重要的在于如何組織、引導(dǎo)學(xué)生盡可能地重新經(jīng)歷知識的形成過程，并在這個過程中體驗和領(lǐng)悟，探索和發(fā)現(xiàn)，把握和發(fā)展.常講，要把教學(xué)作為過程來進行，而不是作為結(jié)果來進行.

“創(chuàng)設(shè)情境”和“自主探索”是展開數(shù)學(xué)知識的形成和應(yīng)用過程，課程目標的主要教學(xué)方式.創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論是

版初中數(shù)學(xué)

的一個特點.在八（上）“圖形與幾何”

中，創(chuàng)設(shè)了一些能體現(xiàn)通俗性、切實性、適度性（學(xué)生容易接受）的問題情境引導(dǎo)學(xué)生較充分地展開合情推理的過程.案例12

P13（交流、作圖）；P17（

、作圖）.（“案例12”創(chuàng)設(shè)的問題情境，較好地引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理探索出關(guān)于三角形全等的兩個基本事實）案例13

P65（操作、思考）.（“案例13”創(chuàng)設(shè)的問題情境，既引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理，探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又發(fā)現(xiàn)了輔助線添加的“源”）二、“統(tǒng)計與概率”部分●對“統(tǒng)計與概率”課程內(nèi)容的安排“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容在新課程中得到較大重視，成為與“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、

“綜合與實踐”并列的內(nèi)容.對“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容，

共分為5章.其中，八年級（下冊）為：數(shù)據(jù)的收集、整理、描述（主要學(xué)習(xí)通過普查和抽樣

收集數(shù)據(jù)，利用扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直整理、描述數(shù)據(jù)）；認識概率（主要研究事件發(fā)生的可能性大小，并通過大量重復(fù)試驗，用事件發(fā)生的頻率來估計概率）.九年級（上冊）為：數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度（主要學(xué)

均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的概念，并利用它們分析數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度；等可能條件下的概率（主要學(xué)習(xí)等可能條件下的概率，并通過列表、畫樹狀圖等方法計算這類事件發(fā)生的概率）.九年級（下冊）為：統(tǒng)計與概率的簡單應(yīng)用（主要是應(yīng)用統(tǒng)計、概率知識解決一些簡單的實際問題）.“統(tǒng)計、概率”與“數(shù)學(xué)”在許多方面是不一樣的，是“合而不同”的，相對于“數(shù)學(xué)”的科學(xué)性來說，“統(tǒng)計與概率”既是科學(xué)又是藝術(shù).“數(shù)學(xué)”歷來被認為是確定性的科學(xué)，這意味著從同樣的條件出發(fā)就應(yīng)當?shù)玫酵瑯拥慕Y(jié)論，如果得到的結(jié)

論不一樣，就會被認為其中至少有一個結(jié)論是錯誤的.但是，在日常生活中，存在著大量的隨機現(xiàn)象（在自然界

和人類社會，嚴格確定的現(xiàn)象十分有限，不確定現(xiàn)象卻

是大量存在的），

事先無法確定它是否一定會發(fā)生.“統(tǒng)計與概率”從不同的角度研究、刻畫這些隨機現(xiàn)象，為人們合理、理性地制定決策提供依據(jù).一般地，“統(tǒng)計”側(cè)重于用數(shù)據(jù)來刻畫隨機現(xiàn)象；“概率”側(cè)重于建立理論模型來刻畫隨機現(xiàn)象.案例1

統(tǒng)計與概率都是研究隨機現(xiàn)象的，其是數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；通過對數(shù)據(jù)的分析，可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律）.有一位預(yù)報員這樣預(yù)報天氣：明天下雨的概率是50%，帶不帶傘你自己決定.所有人都認為這則預(yù)報沒有傳遞任何信息，等于沒說（事實上，這位預(yù)報員在100次這樣的預(yù)報中，如果下雨與不下雨約各占一半，那么他的預(yù)報就十分準確了）.假如換一個場景：一條河邊掛著一塊牌子，寫著在這條河里游泳有50%的人會被鰐魚，你還敢在這條河里游泳嗎？你認為這里有沒有向人們提供信息？（事實上，50%的概率是非常高的）“八（下）第7章

數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”分析引導(dǎo)學(xué)生感悟統(tǒng)計思想.在統(tǒng)計里，通常是從總體中抽取樣本，并對樣本數(shù)據(jù)進行整理、描述、分析，目的是獲得樣本的某種特性，從而根據(jù)樣本特性去估計總體的相應(yīng)特性.教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機性：不同的抽樣有可能得到不同的結(jié)果（結(jié)論的“不確定性”）；對于同樣的事件每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的，但只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.教學(xué)時，要通過具體實例，引導(dǎo)學(xué)生對“統(tǒng)計學(xué)”與“數(shù)學(xué)”的主要區(qū)別有所體會.立論基礎(chǔ)不同：從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系角度考慮，“數(shù)學(xué)”是建立在概念和符號基礎(chǔ)上的；統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的（雖然概念、符號對統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展也是重要的，但其本質(zhì)是通過數(shù)據(jù)進行推理的）.推理方法不同：“數(shù)學(xué)”推理的依賴是公理和假設(shè)，推理的方法本質(zhì)上是演繹法；統(tǒng)計學(xué)推理的依賴是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，推理過程在本質(zhì)上是歸納法.判斷原則不同：“數(shù)學(xué)”在本質(zhì)上是確定的，從同樣的條件出發(fā)應(yīng)得到同樣的結(jié)果.因此，“數(shù)學(xué)”對結(jié)果的判斷標準是“對、錯”；統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推理的，即使是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷結(jié)果.因此，統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標準是“好、壞”，即允許“仁者見仁，智者見智”.“八（下）第8章對“概率初步”，認識概率”分析將其分為2章：認識概率和等可能條件下的概率.前者為利用“推斷性數(shù)據(jù)分析”估計概率，后者為計算概率.利用“推斷性數(shù)據(jù)分析”估計概率，與計算概率是完全不一樣的：“估計概率”只能依據(jù)數(shù)據(jù)，參照背景給出估計方法；“計算概率”需要對背景了如指掌（試驗結(jié)果的有限性和等可能性），并給出定義和假設(shè).（這就是“概率初步”知識分成2章──“認識概率”和“等可能條件下的概率”組織教學(xué)的原因）.案例2（某地試題）體育課上，甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，由甲開始發(fā)球，記作第1次傳球，經(jīng)過3次傳球后，球仍回到甲手中的概率有多大？解：用“樹狀圖”列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：∴P（3次傳球后球仍回到甲手中）=2/8=1/4.第二次第一次丙 第三次甲丙乙乙甲乙甲丙丙乙甲丙乙甲點評：利用古典概型計算概率的前提條件是“試驗結(jié)果具有有限性和等可能性”（這需要對背景了如指掌；如果一些試驗不具有有限性和等可能性，這類隨機試驗就不適用于概率的古典定義）.試題中，“甲、乙、丙三人間的傳球”不是等可能的（傳球中，有人為的因素），因此試題及其解答是錯誤的.對本題，命題時至少應(yīng)補充條件：如果假設(shè)甲、乙、丙三人間的傳球是等可能的，那么經(jīng)過3次傳球后，球仍回到甲手中的概率有多大？需關(guān)注的問題：八（下）“認識概率”閱讀材料─概率小故事.

概率主要研究不確定現(xiàn)象，它是隨著保險業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但引起數(shù)學(xué)家思考概率問題的卻是一個

的輸贏問題.，17世紀中葉，法國

公子梅雷參加

，和賭友各押賭注32枚金幣.雙方約定：拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上，梅雷得