第6講正弦定理、余弦定理及解三角形

1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．(

)在△ABC

中，A＞B

必有

sin

A＞sin

B．(

)在△ABC中，若

sin

Asin

B＜cos

Acos

B，則此三角形是鈍角三角形．(

)(4)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為

0，π2

.(

)(5)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系．(

)夯基釋疑考點一利用正、余弦定理解三角形考點突破例1

設(shè)△ABC

的內(nèi)角A，B，C

所對的邊分別為

a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos

B＝7

(1)求a，c

的值；(2)求sin(A－B)的值．9.2ac2

2

2

2

2a

＋c

－b

a

＋c

－4cos

B＝

＝2ac＝9，14即a2＋c2－4＝

9

ac.14∴(a＋c)2－2ac－4＝

9

ac，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，得a＝c＝3.7(2)在△ABC

中，cos

B＝9∴sin

B＝

1－cos2B解(1)

由余弦定理得：

724

2＝

1－

＝

.7

9

9

ab由正弦定理得：sin

A＝sin

B3×4

2∴sin

A＝asin

B

＝b

239

＝2

2.2又A＝C，∴0＜A＜π，21∴cos

A＝

1－sin

A＝3，∴sin(A－B)＝sin

Acos

B－cos

Asin

B3

×9－3×＝2

2

7

1

4

2

10

29

＝

27

.規(guī)律方法解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．考點突破考點一利用正、余弦定理解三角形考點突破【訓(xùn)練1】設(shè)△ABC

的內(nèi)角A，B，C

所對邊的長分別是

a，b，

πc，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a

的值；(2)求sinA＋4的值．解析(1)因為A＝2B，所以

sinA＝sin2B＝2sin

BcosB.由正、余弦定理得

a＝2b·a2＋c2－b22ac.考點一利用正、余弦定理解三角形因為

b＝3，c＝1，所以

a2＝12，a＝2

3.(2)由余弦定理得cos

A＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－1261＝－3.簡答由于

0<A<π，所以

sin

A＝1－cos

2A

＝1

2

21－9＝

3

.

ππ

π故sinA＋4＝sin

Acos4＋cos

Asin4

12

2

2

2＝

3

×

2

＋－3×

2

＝4－

26.考點二利用正、余弦定理判定三角形的形狀考點突破∴cos

A＝b2＋c2－a22bc1由sin

B＋sin

C＝3，得sin

B＋sin(120°－B)＝

3，∴sin

B＋sin

120°cos

B－cos

120°sin

B＝

3.3

3∴2sin

B＋

2

cos

B＝∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.

∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC

為等邊三角形．3，即sin(B＋30°)＝1.【例2】在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角

A，B，C的對邊，且2asin

A＝(2b－c)sin

B＋(2c－b)sin

C.(1)求角A

的大??；(2)若sin

B＋sin

C＝

3，試判斷△ABC

的形狀解(1)

由2asin

A＝(2b－c)sin

B＋(2c－b)sin

C得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，(2)

∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.＝2，∵0°＜A＜180°∴A＝60°.規(guī)律方法三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等．判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形．邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理．考點突破考點二利用正、余弦定理判定三角形的形狀考點突破【訓(xùn)練

2】

(1)在△ABC

中，內(nèi)角

A、B、C

的對邊分別為

a，b，c，且

2c2＝2a2＋2b2＋ab，則△ABC

是(

)A．鈍角三角形C．銳角三角形B．直角三角形D．等邊三角形考點二利用正、余弦定理判定三角形的形狀解析

(1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，

得

a2＋b2－c2＝－1所以cos

C＝a2＋b2－c22ab1－2ab1＝

2ab

＝－4＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC為鈍角三角形．簡答2ab，考點突破【訓(xùn)練2】(2)在△ABC

中，角A、B、C

所對的邊分別為

a、b、c，若c<cos

A，則△ABC

為(

)bA．鈍角三角形

B．直角三角形

C．銳角三角形D．等邊三角形考點二利用正、余弦定理判定三角形的形狀(2)依題意得sin

C

s

A，sin

B<co解析sin

C<sin

Bcos

A，所以sin(A＋B)<sin

Bcos

A，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cos

Bsin

A<0.又sin

A>0，于是有cos

B<0，B

為鈍角，△ABC

是鈍角三角形答案

(1)A

(2)A簡答考點三和三角形面積有關(guān)的問題考點突破例

3

(2015·

Ⅱ卷)△ABC

中，D

是

BC

上的點，AD

平分∠BAC，△ABD

面積是△ADC

面積的2

倍．(1)

sin

B

2求sin

C；(2)若AD＝1，DC＝

2

，求BD

和AC

的長．解析

(1)S△ABD12＝

AB·ADsin∠BAD△ADC12，S

＝

AC·ADsin∠CAD.因為

S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，AC

1sin

C＝AB＝2.所以

AB＝2AC.由正弦定理可得sin

B2.(2)因為

S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以

BD＝在△ABD

和△ADC

中，由余弦定理知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以

AC＝1.規(guī)律方法三角形面積公式的應(yīng)用原則考點突破1

1(1)對于面積公式

S＝1

sin

C＝

acsin

B＝

bcsin

A，一般是2ab

2

2已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．考點三和三角形面積有關(guān)的問題考點突破1解析(1)在△ABC

中，由cos

A＝－4，可得sin

A＝415.訓(xùn)練

3

(2015·

卷)在△ABC

中，內(nèi)角

A，B，C

所對的邊1分別為

a，b，c.已知△ABC

的面積為

3

15，b－c＝2，cos

A＝－4.(1)求a和sin

C

的值；(2)求cos2A

＋π的值．6

1由

S△ABC＝2bcsin

A＝3

15，得

bc＝24，2＝

3

12

(2cos

A－1)－2×2sin

A·cosA＝

15－7

316.可得a＝8.由考點三和三角形面積有關(guān)的問題a

csin

A

sin

C

8＝

，得sin

C＝

15.又由

b－c＝2，解得

b＝6，c＝4.

由

a2＝b2＋c2－2bccos

A，

ππ

π(2)cos2A＋6＝cos

2A·cos

6－sin

2A·sin6

考點突破考點四正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用例4

如圖，在海岸A

處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向距A

為(3－1)海里的B

處有一艘船，在A

處北偏西75°方向，距A

為2

海里的C

處的緝私船奉命以10

3海里/時的速度追截船．此時走私船正以10海里/時的速度從B

處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上船？并求出所需要的時間(注：6≈2.449)．B450AD750C北北300解析設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t

小時，才能最快截獲(在D

點船，則有

CD＝10

3t(海里)，BD＝10t(海里)考點突破考點四正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用船．BCsin∠ABC＝ACsin

120°＝2×

362

＝

22

.∴∠ABC＝45°易知

CB

方向與正北方向垂直，從而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD

中，根據(jù)正弦定理，可得CD10

3tBDsin∠CBD

10t·sin

120°

1sin∠BCD＝

＝

＝2，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，則有

10t＝

6，t＝10≈0.24故緝私船沿北偏東60°方向，需14.7

分鐘才能追上在△ABC

中，∵AB＝( 3－1)海里，AC＝2

海里∠BAC＝45°＋75°＝120°，根據(jù)余弦定理，可得BC＝ （

3－1）2＋22－2×2×（

3－1）cos

120°＝

6(海里)．規(guī)律方法解三角形應(yīng)用題的兩種情形：實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．考點突破考點三和三角形面積有關(guān)的問題考點突破考點四正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用訓(xùn)練

4

(2015·

卷)如圖，一輛汽車在一條水平的公

向正西行駛，到

A

處時測得公路北側(cè)一山頂

D

在西偏北

30°的方向上，行駛

600

m

后到達

B

處，測得此山頂在西偏北

75°的方向上，仰角為

30°，則此山的高度

CD＝

m.解析

在△ABC

中，AB＝600，∠BAC＝30°∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝BC

ABsin∠BAC

sin∠ACB，

BC

600

2.即sin30°＝sin45°，所以

BC＝300在Rt△BCD

中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD30°30°75°BACD＝300 2·tan

30°＝100

6.

答案100

6思想方法正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形狀的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系．一般地，利用公式

a＝2Rsin

A，b＝2Rsin

B，c＝2Rsin

C(R為△ABC外接圓半徑)，可將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系，然后利用三角函數(shù)知識進行化簡，其中往往用到三角形課堂小結(jié)內(nèi)角和定理

A＋B＋C＝π.利用公式cos

A＝b2＋c2－a22bc，cos

B＝a2＋c2－b2

a2＋b2－c22ac

2ab，cos

C＝

，可將有關(guān)三角形中的角的余弦化為邊的關(guān)系，然后充分利用代數(shù)知識求邊．易錯防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形有時出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類(此類類型也可利用余弦定理求解)．利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制．解三角形實際問題時注意各個角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來．而容易出現(xiàn)的錯誤是把角的含義弄錯，把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯．課堂小結(jié)（見）考點突破考點三和三角形面積有關(guān)的問題備選題：是a，b，c.已知a＝3，cos

A＝

3(1)求b

的值；(2)求△ABC

的面積．解析

(1)在△ABC

中，由題意知，sin

A＝31－cos2A＝

3，π因為B＝A＋2，所以sin

B＝sinA＋2由正弦定理，得b＝

sin

A3考點突破考點三和三角形面積有關(guān)的問題備選題：是a，b，c.已知a＝3，cos

A＝

3(1)求b

的值；(2)求△ABC

的面積．解析π2

π

3(2)