第10煉函數(shù)零點個數(shù)問題

第10煉函數(shù)零點的個數(shù)問題第10煉函數(shù)零點的個數(shù)問題第10煉函數(shù)零點的個數(shù)問題第10煉函數(shù)零點的個數(shù)問題一、知識點解說與剖析：1、零點的定義：一般地，對于函數(shù)yfxxD，我們把方程fx0的實數(shù)根x稱為函數(shù)yfxxD的零點2、函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且fafb0，那么在開區(qū)間a,b內(nèi)起碼有函數(shù)fx的一個零點，即起碼有一點x0a,b，使得fx00。1〕fx在a,b上連續(xù)是使用零點存在性定理判斷零點的前提2〕零點存在性定理中的幾個“不必定〞〔假定fx連續(xù)〕①假定fafb0，那么fx的零點不必定只有一個，能夠有多個②假定fafb0，那么fx在a,b不必定有零點③假定fx在a,b有零點，那么fafb不必定一定異號3、假定fx在a,b上是單一函數(shù)且連續(xù)，那么fafb0fx在a,b的零點獨一4、函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像交點之間的聯(lián)系設函數(shù)為yfx，那么fx的零點即為知足方程fx0的根，假定fxgxhx,那么方程可轉變成gxhx，即方程的根在座標系中為x,hx交點的橫坐標，其范圍和個數(shù)可從圖像中獲得。由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特色，且能互相轉變，在解決相關根的問題以及根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈巧轉變?！苍斠姺椒记伞扯⒎椒ㄅc技巧：1、零點存在性定理的應用：假定一個方程有解但沒法直接求出時，可考慮將方程一邊結構為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確立在一個較小的范圍內(nèi)。比如：對于方程lnxx0，沒法直接求出根，結構函數(shù)fxlnxx，由f10,f1即可判021定其零點必在,1中22、函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用1〕函數(shù)的零點：工具：零點存在性定理作用：經(jīng)過代入特別值精準計算，將零點圈定在一個較小的范圍內(nèi)。弊端：方法單一，只好判斷零點存在而沒法判斷個數(shù)，且可否獲得結論與代入的特別值相關〔2〕方程的根：工具：方程的等價變形作用：當所給函數(shù)不易于剖析性質和圖像時，可將函數(shù)轉變成方程，從而利用等式的性質可對方程進行變形，結構出便于剖析的函數(shù)弊端：能夠直接求解的方程種類較少，好多轉變后的方程沒法用傳統(tǒng)方法求出根，也沒法判斷根的個數(shù)〔3〕兩函數(shù)的交點：工具：數(shù)形聯(lián)合作用：前兩個主假如代數(shù)運算與變形，而將方程轉變成函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉變?yōu)閳D形特色，是數(shù)形聯(lián)合的表達。經(jīng)過圖像可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)〔即零點，根的個數(shù)〕或許確立參數(shù)的取值范圍。弊端：數(shù)形聯(lián)合可否解題，一方面受制于利用方程所結構的函數(shù)〔故當方程含參時，往常進行參變分離，其目的在于假定含x的函數(shù)可作出圖像，那么因為此外一個只含參數(shù)的圖像為直線，因此便于察看〕，另一方面取決于作圖的精準度，因此會波及到一個結構函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的均衡〔作圖問題詳見：函數(shù)的圖像〕3、在高中階段主要觀察三個方面：〔1〕零點所在區(qū)間——零點存在性定理，〔2〕二次方程根散布問題，〔3〕數(shù)形聯(lián)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。此中第〔3〕個種類常要用到函數(shù)零點，方程，與圖像交點的轉變，請經(jīng)過例題領會怎樣利用方程結構出函數(shù)，從而經(jīng)過圖像解決問題的。三、例題精析：例1：直線ya與函數(shù)yx33x的圖象有三個相異的交點，那么a的取值范圍為( )．A．2,2B．2,2C．2,D．,2思路：考慮數(shù)形聯(lián)合，先做出yx33x的圖像，y'3x233x1x1，令y'0可解得：x1或x1，故yx3x3在,1,1,單一遞加，在1,1單一遞減，函數(shù)的極大值為f12，極小值為f12，做出草圖。而ya為一條水平線，經(jīng)過圖像可得，ya介于極大值與極小值之間，那么有在三個相異交點?？傻茫篴2,2答案：A小煉有話說：作圖時可先作常系數(shù)函數(shù)圖象，對于含有參數(shù)的函數(shù)，先剖析參數(shù)所飾演的角色，而后數(shù)形聯(lián)合，即可求出參數(shù)范圍。例2：設函數(shù)fxx22x2lnx1，假定對于x的方程fxx2xa在0,2上恰有兩個相異實根，那么實數(shù)a的取值范圍是_________思路：方程等價于：x22x2lnx1x2xaax2lnx1，即函數(shù)ya與gxx2lnx1的圖像恰有兩個交點，剖析gx的單一性并作出草圖：g'x121x1xx1令g'x0解得：x1gx在0,1單一遞減，在1,2調遞增，單g112ln2,g00,g222ln3，由圖像可得，水平線ya位于g1,g2之間時，恰巧與gx有兩個不一樣的交點。12ln2a22ln3答案：12ln2a22ln3小煉有話說：〔1〕本題中的方程為x22x2lnx1x2xa，在結構函數(shù)時，進行了x與a的分離，此法的利處在于一側函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像因為不含x因此為一條水平線，便于上下平移，進行數(shù)形聯(lián)合。由此可得：假定對于x的函數(shù)易于作出圖像，那么優(yōu)先進行參變分離。因此在本題中將方程轉變成ax2lnx1，結構函數(shù)gxx2lnx1并進行數(shù)形聯(lián)合?！?〕在作出函數(shù)草圖時要注意界限值能否能夠取到，數(shù)形聯(lián)合時也要注意a可否取到界限值。例3：函數(shù)fxkx2,x0，假定函數(shù)yfxk有三個零點，那么實數(shù)lnx,xkR0k的取值范圍是〔〕A.k2B.1k0C.2k1D.k2思路：函數(shù)yfxk有三個零點，等價于方程fxk有三個不一樣實數(shù)根，從而等價于fx與yk圖像有三個不一樣交點，作出fx的圖像，那么k的正負會致使fx圖像不一樣，且會影響yk的地點，因此按k0,k0進行分類議論，而后經(jīng)過圖像求出k的范圍為k2。答案：D小煉有話說：〔1〕本題表達了三類問題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零點方程的根函數(shù)圖象的交點，運用方程可進行等式的變形從而結構函數(shù)進行數(shù)形聯(lián)合，解決這種問題要選擇適合的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原那么?！?〕本題所求k在圖像中飾演兩個角色，一方面決定fx左邊圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的地點與x軸的關系，因此在作圖時要兼?zhèn)溥@雙方面，進行數(shù)形聯(lián)合。例4：函數(shù)fx知足fxf3x，當x1,3,fxlnx，假定在區(qū)間1,9內(nèi)，函數(shù)gxfxax有三個不一樣零點，那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕ln31B.ln31ln31ln3ln3A．,,C．9,D．,3e93e2e93思路：fxf3xfxfx，當x3,9，fxfxlnx，所333lnx,1x3以fxlnx,3x，而gxfxax有三個不一樣零點yfx與yax93有三個不一樣交點，如所示，可得直yax在中兩條虛之，因此可解得：ln31a3e9答案：B小有：本有以下兩個亮點?！?〕怎樣利用fxfx，x1,3,fx的分析式求x3,9,fx的分析3式?！?〕參數(shù)a的作用直yax的斜率，故數(shù)形合求出三個交點a的范例5：已知函數(shù)f(x)是定在,00,上的偶函數(shù)，當x0，2|x1|1,0x2f(x)1fx2,x2，函數(shù)g(x)4f(x)1的零點個數(shù)〔〕2A．4B．6C．8D．10思路：由fx偶函數(shù)可得：只需作出正半的像，再利用稱性作另一半像即可，當x0,2，能夠利用y2x利用像作出像，x2，fx1fx2，即自量差2個位，函2數(shù)折半，而可作出2,4，4,6，??的像，gx的零點個數(shù)即fx1根的個數(shù)，即f1的x與y44交點個數(shù)，察看圖像在x0時，有5個交點，依據(jù)對稱性可得x0時，也有5個交點。合計10個交點答案：D小煉有話說：〔1〕fx12近似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關系。依舊能夠考慮利用周期fx2性的思想，在作圖時，以一個“周期〞圖像為根基，其他各局部依據(jù)倍數(shù)調整圖像即可2〕周期性函數(shù)作圖時，假定函數(shù)圖像不連續(xù)，那么要注意每個周期的界限值是屬于哪一段周期，在圖像中要正確標出，便于數(shù)形聯(lián)合。3〕奇妙利用fx的奇偶性，能夠簡化解題步驟。比如本題中求交點個數(shù)時，只需剖析正半軸的狀況，而負半軸可用對稱性解決例6：對于函數(shù)fx．．fxfx，稱fx為“局部，假定在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，知足奇函數(shù)〞，假定fx4xm2x1m23為定義域R上的“局部奇函數(shù)〞，那么實數(shù)m的取值范圍是〔〕A.13m13B.13m22C.22m22D.22m13思路：由“局部奇函數(shù)〞可得：4x2m2xm234x2m2xm230，整理可得：4x4x2m2x2x2m260，考慮到4x4可將2x2x視為整體，方程轉變成：2x2x22m2x2

x2x2x22，從而x2m280，利用換元設t2x2x〔t2〕，那么問題轉變成只需讓方程t22mt2m280存在大于等于2的解即可，故分一個解和兩個解來進行分類議論。設gtt22mt2m280?！?〕假定方程有一個解，那么有相切〔切點xm大于等于2〕或訂交〔此中交點在x2雙側〕，即00，解得：m22或13m13或g2m2022m22〔2〕假定方程有兩解，那么g20，解得：m13,m1313m22，m2m2綜上所述：13m22答案：A小煉有話說：本題借用“局部奇函數(shù)〞觀點，實質為方程的根的問題，在化簡時將2x2x視為整體，從而將原方程進行轉變，轉變成對于2x2x的二次方程，將問題轉變成二次方程根散布問題，進行求解。例7：已知函數(shù)yfx的圖像為R上的一條連續(xù)不停的曲線，當x0時，f'xfx0，那么對于x的函數(shù)gxfx1的零點的個數(shù)為〔〕xxA．0B．1C．2D．0或2''思路：f'fxxfxfxxfxx00，聯(lián)合gx0的零點個數(shù)xxx即為方程fx10，聯(lián)合條件中的不等式，可將方程化為xfx10，可設xhxxfx1，即只需求出hx的零點個數(shù)，當x0時，h'x0，即hx在0,上單一遞加；同理可得：hx在,0上單一遞減，hxminh01，故hxh010，因此不存在零點。答案：A小煉有話說：1〕本題因為fx分析式未知，故沒法利用圖像解決，因此依據(jù)條件考慮結構函數(shù)，利用單一性與零點存在性定理進行解決?！?〕所給不等式f'xfx0體現(xiàn)出fx輪番求導的特色，猜想可能是切合導數(shù)的x'xfx乘法法那么，變形后可得0，而gx的零點問題可利用方程進行變形，從而與條x件中的xfx相聯(lián)系，從而結構出hx例8：定義域為R的偶函數(shù)fx知足對xR，有fx2fxf1，且當x2,3時，fx2x212x18，假定函數(shù)yfxlogax1在0,上起碼有三個零點，那么a的取值范圍是〔〕A.2B.3C.0,5D.0,60,0,5623思路：fx2fxf1表達的是間隔2個單位的自變量，其函數(shù)值差f1，聯(lián)想到周期性，考慮先求出f1的值，由fx為偶函數(shù)，可令x1，得f1f1f1f10fx2fx，fx為周期是2的周期函數(shù)。條件中函數(shù)yfxlogax1有三個零點，可將零點問題轉變成方程fxlogax10即fxlogax1起碼有三個根，因此fx與ylogax1有三個交點。先利用fx在x2,3的函數(shù)分析式及周期性對稱性作圖，經(jīng)過圖像可得：a1時，不會有3個交點，考慮0a1的圖像。設gxlogax，那么yloagx1gx，利用1圖像變換作圖，通過察看可得：只需當x2時，ylogax1的圖像在fx上方即可，即loga21f22loga32logaa2133因此a20a3答案：B小煉有話說：本題有以下幾個亮點：〔1〕fx的周期性的判斷：fx2fxf1可猜想與fx周期性相關，可帶入特別值，解出f1，從而判斷周期，配合對稱性作圖〔2〕在選擇出交點的函數(shù)時，假定要數(shù)形聯(lián)合，那么要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，比如在本題中，fx的圖像可做，且ylogax1可經(jīng)過圖像變換做出例9：已知定義在R上的函數(shù)fx知足fx2fx，當x1,3時，fx1x2,x1,10，假定方程3fxx恰有三個不一樣的實數(shù)根，t1x2,x，此中t1,3那么實數(shù)t的取值范圍是〔〕A.4B.2C.4,3D.20,,23,333思路：由fx2fx可得fx4fx2fx，即fx的周期為4，所yfx與gxx解方程可視為的交點，而t的作用為3影響yt1x2圖像直線的斜率，也絕對此段的最值〔ymaxt〕，先做出yx的圖像，再依據(jù)三個交點的條3件作出fx的圖像〔如圖〕，可發(fā)現(xiàn)只需在x2處，fx的圖像高于gx圖像且在x6處fx的圖像低于gx圖像即可。因此有f6g6f(6)f(t2)222，即t2f2g2f(2t)33答案：B例10：〔2021甘肅天水一中五月考〕函數(shù)

fxsinx1,x02的圖像logaxa0,a1,x0上對于y軸對稱的點起碼有3對，那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕A.0,55C.3D.3B.,1,10,5533思路：考慮設對稱點為x0,x0，此中x00，那么問題轉變成方程fx0fx0起碼有三個解。即sinx1logax有三個根，因此問題轉變成2gxsinx1與hxlogax有三個交點，先做出ysinx1的圖像，22經(jīng)過察看可知假定ylogax與其有三個交點，那么0a1，進一步察看圖像可得：只需g5h5，那么知足題意，因此51loga52loga5115，因此a5sinlogaloga52a2a25答案：A三、最近幾年模擬試題題目優(yōu)選：1、f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當x[0,1]時，f(x)x，那么在區(qū)間(1,3)內(nèi)，對于x的方程f(x)kxk(kR)有4個根，那么k的取值范圍是( )．A．013k或k46C．013k或k46

B．01k4D．01k42、〔2021吉林九校聯(lián)考二模，16〕假定直角坐標平面內(nèi)A,B兩點知足條件：①點A,B都在函數(shù)fx的圖像上；點A,B對于原點對稱，那么稱A,B是函數(shù)fx的一個“姊妹點對〞x22x,x0〔A,B與B,A可看作同一點對〕，fx2x,x0，那么fx的“姊妹點e對〞有______個2x,x2,函數(shù)gxbf2x3、〔2021，天津〕函數(shù)fx2,x2,，此中x2bR，假定函數(shù)yfxgx恰有4個零點，那么b的取值范圍是〔〕A.7,B.,7C.0,7D.7,244444、〔2021，湖南〕fxx3,xaxfxb有兩x2,x，假定存在實數(shù)b，使函數(shù)ga個零點，那么a的取值范圍是______5、〔2021，新課標全國卷I〕函數(shù)fxax33x21，假定fx存在獨一的零點x0，且x00，那么a的取值范圍是〔〕A.2,B.1,C.,2D.,16、〔2021，山東〕函數(shù)fxx21,gxkx，假定方程fxgx有兩個不相等的實根，那么實數(shù)k的取值范圍是〔〕A.0,1B.1,1C.1,2D.2,22、〔，天津〕函數(shù)fxx23x,xR，假定方程fxax10恰有472021個互異的實數(shù)根，那么實數(shù)a的取值范圍是_________8、〔2021，江蘇〕函數(shù)fxlnx,gx0,0x1，那么方程x242,x1fxgx1實根的個數(shù)為__________9、函數(shù)fxax33x21，假定fx存在獨一的零點x0，且x00，那么a的取值范圍是〔〕A.2,B.1,C.,2D.,110、對于函數(shù)fx,gx，設mx|fx0,nx|gx0，假定存在m,n使得mn1，那么稱fx與gx互為“零點關系函數(shù)〞，假定函數(shù)fxlog2x1e1x與gxx2axa3互為“零點關系函數(shù)〞，那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕A.77C.2,3D.2,42,B.,33311、已知偶函數(shù)f(x)知足對隨意xR，均有f(1x)f(3x)且f(x)m(1x2),x[0,1]，假定方程3f(x)x恰有5個實數(shù)解，那么實數(shù)m的取值范圍x1,x(1,2]是.122021fxcos2xasinx在區(qū)間0,nnN、〔，河南中原第一次聯(lián)考〕函數(shù)內(nèi)恰有9個零點，那么實數(shù)a的值為________13、〔2021，四川〕函數(shù)fxexax2bx1,a,bR,e為自然對數(shù)的底數(shù)〔1〕設gx是函數(shù)

f

x

的導函數(shù)，求函數(shù)

gx在區(qū)間

0,1

上的最小值〔2〕假定f1

0，函數(shù)

f

x

在區(qū)間

0,1

內(nèi)有零點，求

a的取值范圍習題答案：1、答案：B分析：依據(jù)周期性和對稱性可作出fx的圖像，直線f(x)kxk(kR)過定點1,0聯(lián)合圖像可得：假定(1,3)內(nèi)有四個根，可知k0,1。假定直線與fx在2,3相切，聯(lián)4立方程：yx2ky2y3k0，令0可得：k3，當k3時，解得ykxk66x52,3，綜上所述：k0,142、答案：2y2分析：對于原點對稱的兩個點為x,y和x,y，不如設x0，那么有ex，yx22x22x222x2從而xx，因此“姊妹點對〞的個數(shù)為方程xx的個數(shù)，即曲線eey22x與y2的交點個數(shù)，作出圖像即可得有兩個交點xex3、答案：D2x,x2,得f(2x)22x,x0分析：由fx22x2,x2,，x,x02xx2,x0因此yf(x)f(2x)4x2x,0x2，22x(x2)2,x2

8642x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0x2x25x8,x2

15105510152468yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,因此yfxgx恰有4個零點等價于方程f(x)f(2x)b0有4個不一樣的解，即函數(shù)yb與函數(shù)yf(x)f(2x)的圖象的4個公共點，由圖象可知72.b44、答案：a,01,分析：gxfxb由兩個零點，即方程fxb有兩個根，從而yfx與yb有兩個交點?？稍谕騺斫亲鴺讼迪伦鞒鰕x3,yx2，察看圖像可得：a0時，水平線與yx2有兩個交點，故切合題意；當0a1時，fx為增函數(shù)，因此最多只有一個零點，不符題意；當a1時，存在水平線與yx3,yx2分別有一個交點，共兩個切合題意。綜上所述：a,01,5、答案：C分析：ax33x210a31，令1t，依題意可知ya與y3tt3應在xx3x有獨一交點且位于t0的地區(qū)。設gt3tt3，因此g't33t231t1t，那么gt在1,0,0,1單增，在,1,1,單減，g12,g12，作出圖像可知只有當a2時，ya與y3tt3有獨一交點，且在t0的地區(qū)。6、答案：B分析：方法一：方程fxgx有兩個不等實根可轉變成函數(shù)yfx與ygx的圖像有兩個不一樣交點，此中k為直線的斜率。經(jīng)過數(shù)形聯(lián)合即可獲得k1,12方法二：本題還能夠先對方程進行變形，再進行數(shù)形聯(lián)合，x21kx中x0明顯不x21x211,x2是方程的解，當x01x，那么問題時，k，設hx3xx1,x2x轉變成yk與yhx交點為2個。作出圖像后即可察看到k的范圍7、答案：0,19,分析：方程為：x23xax1，x1明顯不是方程的解，因此x1時，ax23x，即ax145，令tx1，那么ya與yt45有4個x1x1t交點即可，作出圖像數(shù)形聯(lián)合即可獲得a0,19,8、答案：4分析：方程等價于fxgx1，即fxgx1或fxgx1共多少1,0x1個根，y1gxx21,1x2，數(shù)形聯(lián)合可得：fx與y1gx有兩個交7x2,x21,0x1點；y1gxx23,1x2，同理可得fx與y1gx有兩個交點，所5x2,x2以合計4個9、答案：C133，令t1分析：ax33x210a，依題意可知at33t只有一個xxx零點t0且t00，即ya與gtt33t只有一個在橫軸正半軸的交點。gt3t23可知gt在,1,1,減，在1,1增，g12作出圖像可得只有a2時，ya與gtt33t只有一個在橫軸正半軸的交點。10、答案：C分析：先從fxlog2x1e1x下手，可知fx為單增函數(shù)，且f10，因此fx有獨一零點x1，即m1；因此1n10n2，即gxx2axa3在0,2有零點?？紤]方程x2axa30ax23x1412，即ya與x1xyx142在0,2有公共點即可，數(shù)形聯(lián)合可得：a2,3x111、答案：(837,415)(415,837)6666分析：當m0時，方程恰有5個解方程3m[1(x2]x有兩個解且方程4)3m[1(x8)2]x無解，考慮這兩個方程的鑒別式可得154m837；由對稱66性，當m0時，方程恰有5個解的范圍是837m154；因此m的取值范66圍是(837415415837)6,6)(6,612、答案：a1分析：由f(x)0，得cosx2asxin，即22asxin．1設=0six